1、2017年湖南省邵阳市中考数学 一、选择题 (本大题共 10小题，每小题 3分，共 30 分 ) 1. 25的算术平方根是 ( ) A.5 B. 5 C. 5 D.25 解析： 52=25， 25的算术平方根是 5. 答案： A. 2.如图所示，已知 AB CD，下列结论正确的是 ( ) A. 1= 2 B. 2= 3 C. 1= 4 D. 3= 4 解析： AB CD， 1= 4. 答案： C. 3. 3 的绝对值是 ( ) A.3 B. 3 C.3 D. 解析： 3 0， |3 |= 3. 答案： B. 4.下列立体图形中，主视图是圆的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、的主视
2、图是圆，故 A符合题意； B、的主视图是矩形，故 B不符合题意； C、的主视图是三角形，故 C不符合题意； D、的主视图是正方形，故 D不符合题意 . 答案： A. 5.函数 5yx中，自变量 x的取值范围在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析：由题意得， x 5 0， 解得 x 5. 在数轴上表示如下： 答案： B. 6.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为 120 ，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为 ( ) A.120 B.100 C.80 D.60 解析： 铺设的是平行管道， 另一侧的角度为 180 120=60 (两直线平行，同旁内角
3、互补 ). 答案： D. 7.如图所示，边长为 a 的正方形中阴影部分的面积为 ( ) A. 222aa B.a2 a 2 C.a2 a D.a2 2a 解析：由图可得， 阴影部分的面积为： 222aa . 答案： A. 8.“ 救死扶伤 ” 是我国的传统美德，某媒体就 “ 老人摔倒该不该扶 ” 进行了调查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图，根据统计图判断下列说法，其中错误的一项是 ( ) A.认为依情况而定的占 27% B.认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是 234 C.认为不该扶的占 8% D.认为该扶的占 92% 解析：认为依情况而定的占 27%，故 A正确； 认为该
4、扶的在统计图中所对应的圆心角是 65% 360=234 ，故 B正确； 认为不该扶的占 1 27% 65%=8%，故 C正确； 认为该扶的占 65%，故 D错误 . 答案： D. 9.如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，其中 x表示时间， y表示小徐离他家的距离 .读图可知菜地离小徐家的距离为 ( ) A.1.1千米 B.2千米 C.15千米 D.37千米 解析：由图象可以看出菜地离小徐家 1.1千米 . 答案： A. 10.如图所示，三架飞机 P， Q， R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为 ( 1， 1)，( 3， 1)， ( 1， 1)，
5、 30 秒后，飞机 P飞到 P (4， 3)位置，则飞机 Q， R的位置 Q ， R分别为 ( ) A.Q (2， 3)， R (4， 1) B.Q (2， 3)， R (2， 1) C.Q (2， 2)， R (4， 1) D.Q (3， 3)， R (3， 1) 解析：由点 P( 1， 1)到 P (4， 3)知，编队需向右平移 5个单位、向上平移 2个单位， 点 Q( 3， 1)的对应点 Q 坐标为 (2， 3)，点 R( 1， 1)的对应点 R (4， 1). 答案： A. 二、填空题 (本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分 ) 11.将多项式 mn2+2mn+m因式分解的结果是
6、 _. 解析：原式 =m(n2+2n+1)=m(n+1)2. 答案： m(n+1)2. 12. 2016 年，我国又有 1240 万人告别贫困，为世界脱贫工作作出了卓越贡献，将 1240 万用科学记数法表示为 a 10n的形式，则 a的值为 _. 解析： 1240万 =1.24 107， 故 a=1.24. 答案： 1.24. 13.若抛物线 y=ax2+bx+c的开口向下，则 a的值可能是 _.(写一个即可 ) 解析： 抛物线 y=ax2+bx+c的开口向下， a 0， a的值可能是 1. 答案： 1. 14.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜
7、求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a， b， c，则该三角形的面积为22 2 222142a b cS a b，现已知 ABC 的三边长分别为 1， 2， 5，则 ABC的面积为 _. 解析： 22 2 222142a b cS a b， ABC的三边长分别为 1， 2， 5，则 ABC的面积为： 222222 1 2 511 2 142S . 答案： 1. 15.如图所示的正六边形 ABCDEF，连结 FD，则 FDC的大小为 _. 解析 ： 在正六边形 ABCDEF 中， E= EDC=120 ， EF=DE， EDF= EFD=30 ， FDC=90 . 答案： 90 16.如图
8、所示，已知 AOB=40 ，现按照以下步骤作图： 在 OA， OB 上分别截取线段 OD， OE，使 OD=OE； 分别以 D， E为圆心，以大于 12DE的长为半径画弧，在 AOB内两弧交于点 C； 作射线 OC. 则 AOC的大小为 _. 解析 ： 由作法可知， OC是 AOB的平分线， AOC=12 AOB=20 . 答案： 20 . 17.掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如图所示的树状图来分析有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率是 _. 解析 ：画树状图为： 共有 4种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数为 3， 所
9、以掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率 =34. 答案： 34. 18.如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A点时，从位于地面 R处的雷达测得 AR 的距离是 40km，仰角是 30 ， n秒后，火箭到达 B点，此时仰角是 45 ，则火箭在这 n秒中上升的高度是 _km. 解析 ：在 Rt ARL中， c o s 3 0 4 0 2 02 3L R A R (km)， AL=ARsin30=20 (km)， 在 Rt BLR中， BRL=45 ， RL=LB=203 ， AB=LB AL=(203 20)km. 答案： (203 20)km. 三、解答题 (本大题共
10、8小题，共 66分 ) 19.计算： 114 s i n 6 0 1 22 . 解析： 依据特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质进行解答即可 . 答案 ：原式 = 34 2 2 32 =2 3 2 2 3 = 2. 20.如图所示，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC， BD 相交于点 O， OBC= OCB. (1)求证：平行四边形 ABCD是矩形； (2)请添加一个条件使矩形 ABCD为正方形 . 解析： (1)根据平行四边形对角线互相平分可得 OA=OC， OB=OD，根据等角对等边可得 OB=OC，然后求出 AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明； (2
11、)根据正方形的判定方法添加即可 . 答案： (1)证明： 四边形 ABCD是平行四边形， OA=OC， OB=OD， OBC= OCB， OB=OC， AC=BD， 平行四边形 ABCD是矩形； (2)解： AB=AD(或 AC BD答案不唯一 ). 理由： 四边形 ABCD 是矩形， 又 AB=AD， 四边形 ABCD是正方形 . 或： 四边形 ABCD是矩形， 又 AC BD， 四边形 ABCD是正方形 . 21.先化简，再在 3， 1， 0， 2 ， 2中选择一个合适的 x值代入求值 . 22293 2 2x x xx x x x . 解析： 根据分式的乘法和加法可以化简题目中的式子，然
12、后在 3， 1， 0， 2 ， 2中选择一个使得原分式有意义的 x的值代入即可解答本题 . 答案 ： 22293 2 2x x xx x x x = 2 333 2 2xxxxx x x x = 322xx x = 2 32x x xx= 22xxx=x， 当 x= 1时，原式 = 1. 22.为提高节水意识，小申随机统计了自己家 7天的用水量，并分析了第 3 天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图 .(单位：升 ) (1)求这 7天内小申家每天用水量的平均数和中位数； (2)求第 3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比； (3)请你根据统计图中的信息，给小申家提出
13、一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月 (按 30天计算 )的节约用水量 . 解析： (1)根据平均数和中位数的定义求解可得； (2)用洗衣服的水量除以第 3天的用水总量即可得； (3)根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所 . 答案 ： (1)这 7天内小申家每天用水量的平均数为 8 1 5 7 8 0 8 0 0 7 8 5 7 9 0 8 2 5 8 0 57 =800(升 )， 将这 7天的用水量从小到大重新排列为： 780、 785、 790、 800、 805、 815、 825， 用水量的中位数为 800升； (2)100800 100%=12.
14、5%， 答：第 3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为 12.5%； (3)小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所， 采用以上建议，每天可节约用水 100升，一个月估计可以节约用水 100 30=3000升 . 23.某校计划组织师生共 300 人参加一次大型公益活动，如果租用 6 辆大客车和 5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多 17个 . (1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数； (2)由于最后参加活动的人数增加了 30 人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值 .
15、解析： (1)根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多 17 个以及师生共 300人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案； (2)根据 (1)中所求，进而利用总人数为 300+30，进而得出不等式求出答案 . 答案 ： (1)设每辆小客车的乘客座位数是 x个，大客车的乘客座位数是 y个， 根据题意可得： 176 5 3 0 0yxyx， 解得： 1835xy， 答：每辆小客车的乘客座位数是 18个，大客车的乘客座位数是 35个； (2)设租用 a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则 18a+35(11 a) 300+30， 解得： 4317a， 符合条件的 a最大整数为 3，
16、 答：租用小客车数量的最大值为 3. 24.如图所示，直线 DP 和圆 O相切于点 C，交直线 AE 的延长线于点 P，过点 C作 AE的垂线，交 AE于点 F，交圆 O于点 B，作平行四边形 ABCD，连接 BE， DO， CO. (1)求证： DA=DC； (2)求 P及 AEB的大小 . 解析： (1)欲证明 DA=DC，只要证明 Rt DAO Rt DCO即可； (2)想办法证明 P=30 即可解决问题； 答案： (1)证明：在平行四边形 ABCD中， AD BC， CB AE， AD AE， DAO=90 ， DP与 O相切于点 C， DC OC， DCO=90 ， 在 Rt DAO
17、和 Rt DCO 中， DO DOAO CO， Rt DAO Rt DCO， DA=DC. (2) CB AE， AE 是直径， CF=FB=12BC， 四边形 ABCD是平行四边形， AD=BC， CF=12AD， CF DA， PCF PDA， 12PC CFPD DA， PC=12PD， DC=12PD， DA=DC， DA=12PD， 在 Rt DAP中， P=30 ， DP AB， FAB= P=30 ， AE是 O的直径， ABE=90 ， AEB=60 . 25.如图 1 所示，在 ABC 中，点 O 是 AC 上一点，过点 O 的直线与 AB， BC 的延长线分别相交于点 M，
18、 N. 【问题引入】 (1)若点 O是 AC的中点， 1=3AMBM，求 CNBN的值； 温馨提示：过点 A作 MN的平行线交 BN 的延长线于点 G. 【探索研究】 (2)若点 O是 AC上任意一点 (不与 A， C重合 )，求证： 1A M B N C OM B N C O A ； 【拓展应用】 (3)如图 2所示，点 P是 ABC内任意一点，射线 AP， BP， CP 分别交 BC， AC， AB 于点 D， E，F，若 1=3AFBF， 1=2BDCD，求 AECE的值 . 解析： (1)作 AG MN 交 BN 延长线于点 G，证 ABG MBN 得 =BG ABBN MB，即 =N
19、G AMBN MB，同理由 ACG OCN 得 =NG AOCN CO，结合 AO=CO 得 NG=CN，从而由 =C N N G A MB N B N B M可得答案； (2)由 =N G A M C O C NB N M B A O N G、知 1A M B N C O N G B N C NM B N C O A B N N C N G ； (3)由 (2)知，在 ABD 中有 1A F B C D PB F C D P A ， 在 ACD 中有 1A E C B D PE C B D P A ，从而A F B C D P A E C B D PB F C D P A E C B D P
20、 A ，据此知 16A E A F B C B D A F B DE C B F C D C B F B C D . 答案 ： (1)过点 A作 AG MN 交 BN 延长线于点 G， G= BNM， 又 B= B， ABG MBN， =BG ABBN MB， 11B G A BB N M B ， B G B N A B M BB N M B，即 =NG AMBN MB， 同理，在 ACG和 OCN中， NG AOCN CO， CO CNAO NG， O为 AC中点， AO=CO， NG=CN， 1=3C N N G A MB N B N B M； (2)由 (1)知， =N G A M C
21、O C NB N M B A O N G、， 1A M B N C O N G B N C NM B N C O A B N N C N G ； (3)在 ABD中，点 P是 AD 上的一点，过点 P的直线与 AC、 BD 的延长线相交于点 C， 由 (2)得 1A F B C D PB F C D P A ， 在 ACD 中，点 P 是 AD 上一点，过点 P 是 AD 上一点，过点 P 的直线与 AC、 AD 的延长线分别相交于点 E、 B， 由 (2)得 1A E C B D PE C B D P A ， A F B C D P A E C B D PB F C D P A E C B
22、D P A ， 1 1 13 2 6A E A F B C B D A F B DE C B F C D C B F B C D . 26.如图所示，顶点为 19-24，的抛物线 y=ax2+bx+c过点 M(2， 0). (1)求抛物线的解析式； (2)点 A 是抛物线与 x轴的交点 (不与点 M重合 )，点 B是抛物线与 y轴的交点，点 C是直线y=x+1 上一点 (处于 x 轴下方 )，点 D 是反比例函数 kyx(k 0)图象上一点，若以点 A， B，C， D为顶点的四边形是菱形，求 k的值 . 解析： (1)设抛物线方程为顶点式 21924y a x ，将点 M的坐标代入求 a的值即
23、可； (2)设直线 y=x+1与 y轴交于点 G，易求 G(0， 1).则直角 AOG是等腰直角三角形 AGO=45 .点 C 是直线 y=x+1 上一点 (处于 x 轴下方 )，而 k 0，所以反比例函数 kyx(k 0)图象位于点一、三象限 .故点 D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下 2种情况： 此菱形以 AB 为边且 AC也为边， 此菱形以 AB 为对角线，利用点的坐标与图形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得 k的值即可 . 答案 ： (1)依题意可设抛物线方程为顶点式 21924y a x (a 0)， 将点 M(2， 0)代入可得： 219
24、2024a ， 解得 a=1. 故抛物线的解析式为： 21924yx ； (2)由 (1)知，抛物线的解析式为： 21924yx . 则对称轴为 x=12， 点 A与点 M(2， 0)关于直线 x=12对称， A(1， 0). 令 x=0，则 y= 2， B(0， 2). 在直角 OAB中， OA=1， OB=2，则 AB= 5 . 设直线 y=x+1与 y轴交于点 G，易求 G(0， 1). 直角 AOG是等腰直角三角形， AGO=45 . 点 C 是直线 y=x+1 上一点 (处于 x 轴下方 )，而 k 0，所以反比例函数 kyx(k 0)图象位于点一、三象限 . 故点 D只能在第一、三
25、象限，因此符合条件的菱形只能有如下 2种情况： 此菱形以 AB为边且 AC也为边，如图 1所示， 过点 D作 DN y轴于点 N， 在直角 BDN中， DBN= AGO=45 ， 5 1 022D N B N ， 1 0 1 0 222D ， ， 点 D在反比例函数 kyx(k 0)图象上， 1 0 1 0 52 1 02 2 2k ； 此菱形以 AB为对角线，如图 2， 作 AB的垂直平分线 CD 交直线 y=x+1于点 C，交反比例函数 kyx(k 0)的图象于点 D. 再分别过点 D、 B作 DE x轴于点 F， BE y轴， DE与 BE相较于点 E. 在直角 BDE中，同 可证 AGO= DBO= BDE=45 ， BE=DE. 可设点 D的坐标为 (x， x 2). BE2+DE2=BD2， 22B D B E x. 四边形 ABCD是菱形， AD=BD= 2x . 在直角 ADF中， AD2=AF2+DF2，即 ( 2x )=(x+1)2+(x 2)2， 解得 x=52， 点 D的坐标是 5122，. 点 D在反比例函数 kyx(k 0)图象上， 5 1 52 2 4k ， 综上所述， k的值是 5 102或 54.
