1、2017年甘肃省兰州市中考真题数学 一、选择题 (共 15 小题，每小题 4分，满分 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 .) 1.已知 2x=3y(y 0)，则下面结论成立的是 ( ) A. 32xyB. 23x yC. 23xyD.23xy解析：根据等式的性质，可得答案 . A、两边都除以 2y，得 xy=32，故 A符合题意； B、两边除以不同的整式，故 B不符合题意； C、两边都除以 2y，得 xy=32，故 C不符合题意； D、两边除以不同的整式，故 D不符合题意 . 答案： A. 2.如图所示，该几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：根据左视
2、图就是从物体的左边进行观察，得出左视图 . 在三视图中，实际存在而被遮挡的线用虚线表示，则该几何体的左视图是 . 答案： D. 3.如图，一个斜坡长 130m，坡顶离水平地面的距离为 50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于 ( ) A.513B.1213C.512D.1312解析 ：如图， 在 Rt ABC中， ACB=90， AB=130m， BC=50m， 2 2 2 21 3 0 5 0 1 2 0A C A B B C m， 5 0 5t a n1 2 0 1 2BCBAC AC . 答案： C. 4.如图，在 O中， AB BC ，点 D在 O上， CDB=25，则 AOB=
3、( ) A.45 B.50 C.55 D.60 解析：直接根据圆周角定理即可得出结论 . 在 O中， AB BC ，点 D在 O上， CDB=25， AOB=2 CDB=50 . 答案： B. 5.下表是一组二次函数 y=x2+3x-5的自变量 x与函数值 y的对应值： 那么方程 x2+3x-5=0的一个近似根是 ( ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 解析：观察表格可得 0.04更接近于 0，故方程 x2+3x-5=0的一个近似根为 1.2. 答案： C 6.如果一元二次方程 2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数 m的取值为 ( ) A.m 98B.m 89C.m=9
4、8D.m=89解析：一元二次方程 2x2+3x+m=0有两个相等的实数根， =32-4 2m=9-8m=0， 解得： m=98. 答案： C. 7.一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 9个黄球 .每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，那么估计盒子中小球的个数 n为 ( ) A.20 B.24 C.28 D.30 解析：根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为 30%，然后根据概率公式计算 n的值 . 9n =30%，解得 n=30. 所以这个不透明的盒子里大约有 30个除颜色外其他
5、完全相同的小球 . 答案： D. 8.如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O， ADB=30， AB=4，则 OC=( ) A.5 B.4 C.3.5 D.3 解析：四边形 ABCD 是矩形， AC=BD， OA=OC， BAD=90， ADB=30， AC=BD=2AB=8， OC=12AC=4. 答案： B. 9.抛物线 y=3x2-3向右平移 3 个单位长度，得到新抛物线的表达式为 ( ) A.y=3(x-3)2-3 B.y=3x2 C.y=3(x+3)2-3 D.y=3x2-6 解析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可 . y=3x2-3 向右平移
6、 3个单位长度，得到新抛物线的表达式为 y=3(x-3)2-3. 答案： A. 10.王叔叔从市场上买了一块长 80cm，宽 70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱 .如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长 xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为 ( ) A.(80-x)(70-x)=3000 B.80 70-4x2=3000 C.(80-2x)(70-2x)=3000 D.80 70-4x2-(70+80)x=3000 解析：根据题意可知裁剪后的底面的长为 (80-2x)cm，宽为 (70-2x)cm，从而可以列出相应的方程：
7、(80-2x)(70-2x)=3000. 答案： C. 11.如图，反比例函数 kyx(x 0)与一次函数 y=x+4的图象交于 A、 B两点的横坐标分别为-3， -1.则关于 x的不等式 4k xx (x 0)的解集为 ( ) A.x -3 B.-3 x -1 C.-1 x 0 D.x -3或 -1 x 0 解析：观察图象可知，当 -3 x -1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 关于 x的不等式 kx x+4(x 0)的解集为： -3 x -1. 答案： B. 12.如图，正方形 ABCD 内接于半径为 2的 O，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. +1 B. +2 C. -1
8、D. -2 解析：根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积 与 正方形 面积的差 的 14，求出圆内接正方形的边长，即可求解 . 连接 AO， DO， ABCD是正方形， AOD=90， 22 2 2A D O A O D ， 圆内接正方形的边长为 22，所以阴影部分的面积 21 24 4 2 2 cm2. 答案： D. 13.如图，小明为了测量一凉亭的高度 AB(顶端 A 到水平地面 BD 的距离 )，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶 BC 等高的台阶 DE(DE=BC=0.5 米， A、 B、 C 三点共线 )，把一面镜子水平放置在平台上的点 G处，测得 CG=15米，然后沿直线 CG后退到
9、点 E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端 A，测得 EG=3米，小明身高 1.6米，则凉亭的高度 AB约为 ( ) A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米 解析：由题意 AGC= FGE， ACG= FEG=90， ACG FEG， AC CGEF GE， 151.6 3AC， AC=8， AB=AC+BC=8+0.5=8.5米 . 答案： A. 14.如图，在正方形 ABCD和正方形 DEFG中，点 G在 CD上， DE=2，将正方形 DEFG 绕点 D顺时针旋转 60，得到正方形 DE F G，此时点 G在 AC上，连接 CE，则 CE +CG =( ) A. 26 B. 31
10、C. 32 D. 36 解析：解法一：作 G I CD 于 I， G R BC 于 R， E H BC 交 BC的延长线于 H.连接 RF . 则四边形 RCIG是正方形 . DG F = IGR=90， DG I= RG F， 在 G ID和 G RF 中， G D G FD G I R G FG I G R ， G ID G RF， G ID= G RF =90， 点 F在线段 BC上， 在 Rt E F H中， E F =2， E F H=30， E H=12E F =1， F H= 3 ， 易证 RG F HF E， RF =E H， RG RC=F H， CH=RF =E H， CE
11、 = 2 ， RG =HF = 3 ， 26C G R G ， 26C E C G . 解法二：作 G M AD 于 M. 易证 DAG DCE， AG=CE， CG +CE =AC， 在 Rt DMG中， DG =2， MDG =30， MG =1， DM=3， MAG =45， AMG =90， MAG = MG A=45， AM=MG =1， AD=1+ 3 ， AC= 2 AD， 26A C C E C G . 答案： A. 15.如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从 A 出发，沿 AB BC 方向运动，当点 E 到达点 C 时停止运动，过点 E做 FE AE，交 CD于 F点
12、，设点 E 运动路程为 x， FC=y，如图 2所表示的是y 与 x 的函数关系的大致图象，当点 E 在 BC 上运动时， FC 的最大长度是 25，则矩形 ABCD的面积是 ( ) A.235B.5 C.6 D.254解析：若点 E在 BC上时，如图 EFC+ AEB=90， FEC+ EFC=90， CFE= AEB， 在 CFE和 BEA中， 90C F E A E BCB ， CFE BEA， 由二次函数图象对称性可得 E 在 BC 中点时， CF 有最大值，此时 CF CEBE AB，52B E C E x ，即525522xyx， 22552yx ，当 y=25时，代入方程式解得：
13、 x1=32(舍去 )， x2=72， BE=CE=1， BC=2， AB=52， 矩形 ABCD的面积为 2 52=5. 答案： B. 二、填空题 (共 5小题，每小题 4分，满分 20分 ) 16.若反比例函数 kyx的图象经过点 (-1， 2)，则 k的值是 . 解析：图象经过点 (-1， 2)， k=xy=-1 2=-2. 答案： -2. 17.如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH位似，位似中心点是 O， 35OEOA，则 FGBC. 解析：直接利用位似图形的性质得出 OEF OAB， OFG OBC，进而得出答案 . 四边形 ABCD与四边形 EFGH位似， OEF OAB，
14、OFG OBC， 35OE OFOA OB， 35FG OFBC OB. 答案： 35. 18.如图，若抛物线 y=ax2+bx+c 上的 P(4， 0)， Q 两点关于它的对称轴 x=1 对称，则 Q 点的坐标为 . 解析：抛物线 y=ax2+bx+c上的 P(4， 0)， Q两点关于它的对称轴 x=1对称， P， Q两点到对称轴 x=1的距离相等， Q点的坐标为： (-2， 0). 答案： (-2， 0). 19.在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，要使四边形 ABCD 是正方形，还需添加一组条件 .下面给出了四组条件： AB AD，且 AB=AD； AB=B
15、D，且 AB BD； OB=OC，且 OB OC； AB=AD，且 AC=BD.其中正确的序号是 . 解析：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=AD， 四边形 ABCD是菱形， 又 AB AD， 四边形 ABCD是正方形，正确； 四边形 ABCD是平行四边形， AB=BD， AB BD， 平行四边形 ABCD不可能是正方形，错误； 四边形 ABCD是平行四边形， OB=OC， AC=BD， 四边形 ABCD是矩形， 又 OB OC，即对角线互相垂直， 平行四边形 ABCD是正方形，正确； 四边形 ABCD是平行四边形， AB=AD， 四边形 ABCD是菱形， 又 AC=BD，四边形 ABC
16、D是矩形， 平行四边形 ABCD是正方形，正确 . 答案： . 20.如图，在平面直角坐标系 xOy中， Y ABCO的顶点 A， B的坐标分别是 A(3， 0)， B(0， 2).动点 P在直线 y=32x上运动，以点 P为圆心， PB长为半径的 P随点 P运动，当 P与 Y ABCO的边相切时， P点的坐标为 . 解析：当 P与 BC 相切时，动点 P在直线 y=32x上， P与 O重合，此时圆心 P到 BC 的距离为 OB， P(0， 0). 如图 1中，当 P与 OC相切时，则 OP=BP， OPB是等腰三角形，作 PE y轴于 E，则 EB=EO，易知 P的纵坐标为 1，可得 P(2
17、3， 1). 如图 2 中，当 P 与 OA 相切时，则点 P 到点 B 的距离与点 P 到 x 轴的距离相等，可得22 23322x x x ， 解得 x=3+ 5 或 3- 5 ， x=3+ 5 OA， P不会与 OA相切， x=3+ 5 不合题意， p(3- 5 ， 9 3 52). 如图 3中，当 P与 AB相切时，设线段 AB与直线 OP的交点为 G，此时 PB=PG， OP AB， BGP= PBG=90不成立， 此种情形，不存在 P. 综上所述，满足条件的 P的坐标为 (0， 0)或 (23， 1)或 (3- 5 ， 9 3 52). 答案： (0， 0)或 (23， 1)或 (
18、3- 5 ， 9 3 52). 三、解答题 (共 8小题，满分 70分 .解答时，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 21.计算 . (1)计算： 20 1223 2 2 c o s 6 0 . 解析：直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简求出答案 . 答案： 203 2 2 c o s 6 0 1 4 2 21122 22 . (2)解方程： 2x2-4x-1=0. 解析：根据一元二次方程的解法计算 . 答案： 2x2-4x-1=0 x2-2x-12=0 (x-1)2=32x=1 62 x1=1+ 62， x2=1- 62. 22.在
19、数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程： 已知：直线 l和 l外一点 P 求作：直线 l的垂线，使它经过点 P. 作法：如图： (1)在直线 l上任取两点 A、 B； (2)分别以点 A、 B为圆心， AP， BP长为半径画弧，两弧相交于点 Q； (3)作直线 PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是： . 解析： (1)根据线段垂直平分线的性质，可得答案 . 答案： (1)以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 . 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 . (2)已知，直线
20、l和 l 外一点 P. 求作： P，使它与直线 l 相切 .(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑 ) 解析： (2)根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案 . 答案： (2)如图所示： 23.甘肃省省府兰州，又名金城，在金城，黄河母亲河通过自身文化的演绎，衍生和流传了独特的“金城八宝”美食，“金城八宝”美食中甜品类有：味甜汤糊“灰豆子”、醇香软糯“甜胚子”、生津润肺“热冬果”、香甜什锦“八宝百合”；其他类有：青白红绿“牛肉面”、酸辣清凉“酿皮子”、清爽溜滑“浆水面”、香醇肥美“手抓羊肉”，李华和王涛同时去品尝美食，李华准备在“甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉
21、”这四种美食中选择一种，王涛准备在“八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面”这四种美食中选择一种 .(甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉分别记为 A， B， C， D，八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面分别记为 E， F， G， H) (1)用树状图或表格的方法表示李华和王涛同学选择美食的所有可能结果 . 解析： (1)根据题意用列表法即可求出李华和王涛同学选择美食的所有可能结果 . 答案： (1)列表得： 由列表可知共有 16种情况 . (2)求李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率 . 解析： (2)根据 (1)中的结果，再找到李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的数目，利用概率公式即可求得答案 .
22、 答案： (2)由 (1)可知有 16种情况，其中李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的情况有 AE，AF， AG 三种情况，所以李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率 316. 24.如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y=-x+3交 y轴于点 A，交反比例函数 kyx(k0)的图象于点 D， kyx(k 0)的图象过矩形 OABC 的顶点 B，矩形 OABC 的面积为 4，连接OD. (1)求反比例函数 kyx的表达式 . 解析： (1)根据矩形的面积求出 AB，求出反比例函数的解析式 . 答案： (1)直线 y=-x+3交 y轴于点 A， 点 A的坐标为 (0， 3)，即 OA=3，
23、 矩形 OABC的面积为 4， AB=43， 双曲线在第二象限， k=-4， 反比例函数的表达式为 y=-4x. (2)求 AOD的面积 . 解析： (2)解方程组求出反比例函数与一次函数的交点，确定点 D 的坐标，根据三角形的面积公式计算即可 . 答案： (2)解方程组 34yxy x ， 得 1141xy， 2214xy， 点 D在第二象限， 点 D的坐标为 (-1， 4)， AOD的面积 132231 . 25.“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉 .它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁 .桥上飞架了 5座等
24、高的弧形钢架拱桥 . 小芸和小刚分别在桥面上的 A， B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部 C 处到桥面的距离 AB=20m，小芸在 A 处测得 CAB=36，小刚在 B 处测得 CBA=43，求弧形钢架拱梁顶部 C处到桥面的距离 .(结果精确到 0.1m)(参考数据 sin36 0.59， cos36 0.81， tan36 0.73， sin43 0.68， cos43 0.73， tan43 0.93) 解析：过点 C作 CD AB 于 D.设 CD=x，在 Rt ADC 中，可得tan 36xAD ，在 Rt BCD中，tan 43xBD ，可得 200 .9 3 0 .7 3xx
25、，解方程即可解决问题 . 答案：过点 C作 CD AB于 D.设 CD=x， 在 Rt ADC中， tan 36 CDAD， tan 36xAD ， 在 Rt BCD中， tan CDBBD， tan 43xBD ， 200 .9 3 0 .7 3xx， 解得 x=8.179 8.2m. 答：拱梁顶部 C处到桥面的距离 8.2m. 26.如图 1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点 E 处， BE 交 AD于点 F. (1)求证： BDF是等腰三角形 . 解析： (1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断 . 答案： (1)如图 1，根据折叠， DBC=
26、DBE， 又 AD BC， DBC= ADB， DBE= ADB， DF=BF， BDF是等腰三角形 . (2)如图 2，过点 D作 DG BE，交 BC于点 G，连接 FG 交 BD 于点 O. 判断四边形 BFDG的形状，并说明理由 . 若 AB=6， AD=8，求 FG的长 . 解析： (2)根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断 . 根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解 . 答案： (2)四边形 ABCD是矩形， AD BC， FD BG， 又 FD BG， 四边形 BFDG是平行四边形， DF=BF， 四边形 BFDG是菱形 . AB=6， AD=8， BD=10. OB=
27、12BD=5. 假设 DF=BF=x， AF=AD-DF=8-x. 在直角 ABF中， AB2+AF2=BF2，即 62+(8-x)2=x2， 解得 x=254， 即 BF=254， 22 2 22 5 1 5544F O B F O B ， 1522F G F O. 27.如图， ABC内接于 O， BC是 O的直径，弦 AF交 BC于点 E，延长 BC到点 D，连接 OA，AD，使得 FAC= AOD， D= BAF. (1)求证： AD 是 O的切线 . 解析： (1)由 BC 是 O的直径，得到 BAF+ FAC=90，等量代换得到 D+ AOD=90，于是得到结论 . 答案： (1)
28、 BC是 O 的直径， BAF+ FAC=90， D= BAF， AOD= FAC， D+ AOD=90， OAD=90， AD是 O的切线 . (2)若 O的半径为 5， CE=2，求 EF的长 . 解析： (2)连接 BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论 . 答案： (2)连接 BF， FAC= AOD， ACE OCA， A C A E C EO C O A A C， 255A C A E AC， AC=AE= 10 ， CAE= CBF， ACE BFE， AE BECE EF， 10 82 EF， 8 105EF. 28.如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 AB 交于
29、 A(-4， -4)， B(0， 4)两点，直线 AC： 12 6yx 交 y轴于点 C.点 E是直线 AB上的动点，过点 E作 EF x轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G. (1)求抛物线 y=-x2+bx+c的表达式 . 解析： (1)利用待定系数法求出抛物线解析式 . 答案： (1)点 A(-4， -4)， B(0， 4)在抛物线 y=-x2+bx+c上， 1 6 4 44bcc ， 24bc， 抛物线的解析式为 y=-x2-2x+4. (2)连接 GB， EO，当四边形 GEOB是平行四边形时，求点 G的坐标 . 解析： (2)先利用待定系数法求出直线 AB的解析式，进而利用平行四
30、边形的对边相等建立方程求解即可 . 答案： (2)设直线 AB的解析式为 y=kx+n过点 A， B， 444nkn ， 24kn， 直线 AB的解析式为 y=2x+4， 设 E(m， 2m+4)， G(m， -m2-2m+4)， 四边形 GEOB是平行四边形， EG=OB=4， -m2-2m+4-2m-4=4， m=-2， G(-2， 4). (3)在 y轴上存在一点 H，连接 EH， HF，当点 E运动到什么位置时，以 A， E， F， H为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E， H的坐标 . 在的前提下，以点 E为圆心， EH长为半径作圆，点 M为 E上一动点，求 12AM+CM它的最小值
31、 . 解析： (3)先判断出要以点 A， E， F， H 为顶点的四边形是矩形，只有 EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可 . 先取 EG的中点 P进而判断出 PEM MEA即可得出 PM=12AM，连接 CP交圆 E于 M，再求出点 P的坐标即可得出结论 . 答案： (3)如图 1， 由 (2)知，直线 AB的解析式为 y=2x+4， 设 E(a， 2a+4)， 直线 AC： 12 6yx ， F(a， 612a)， 设 H(0， p)， 以点 A， E， F， H为顶点的四边形是矩形， 直线 AB的解析式为 y=2x+4，直线 AC： 12 6yx ， AB AC， EF为对角线，
32、401122aa ， 4 2 41 1 12 2 2 6p a a ， a=-2， P=-1， E(-2， 0).H(0， -1)； 如图 2， 由知， E(-2， 0)， H(0， -1)， A(-4， -4)， EH= 5 ， AE=2 5 ， 设 AE交 E于 G，取 EG的中点 P， PE= 52， 连接 PC 交 E于 M，连接 EM， EM=EH= 5 ， 51225PEME ， 52125MEAE ， 12PE M EM E AE， PEM= MEA， PEM MEA， 12PM M EAM AE， PM=12AM， 12AM+CM的最小值 =PC， 设点 P(p， 2p+4)， E(-2， 0)， PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2， PE= 52， 5(p+2)2=54， p= 52或 p= 32(由于 E(-2， 0)，所以舍去 )， P( 52， -1)， C(0， -6)， 2 25522516PC ， 即： 1 5 522A M C M.
