1、2017年甘肃省天水市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10小题，每小题 4分，共 40 分 ) 1.若 x与 3互为相反数，则 |x+3|等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析： x与 3互为相反数， x=-3， |x+3|=|-3+3|=0. 答案： A 2.如图所示的几何体是由 5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 . 答案： C 3.下列运算正确的是 ( ) A.2x+y=2xy B.x 2y2=2xy2 C.2x x2=2x D.4x-5x=-1 解析： A
2、、 2x+y无法计算，故此选项错误； B、 x 2y2=2xy2，正确； C、 2x x2=2x，故此选项错误； D、 4x-5x=-x，故此选项错误 . 答案： B 4.下列说法正确的是 ( ) A.不可能事件发生的概率为 0 B.随机事件发生的概率为 12C.概率很小的事件不可能发生 D.投掷一枚质地均匀的硬币 1000次，正面朝上的次数一定是 500次 解析： A、不可能事件发生的概率为 0，故本选项正确； B、随机事件发生的概率 P为 0 P 1，故本选项错误； C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误； D、投掷一枚质地均匀的硬币 1000次，是随机事件，正面朝
3、上的次数不确定是多少次，故本选项错误 . 答案： A 5.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg的煤所产生的能量 .把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为 ( ) A.13 107kg B.0.13 108kg C.1.3 107kg D.1.3 108kg 解析： 130 000 000kg=1.3 108kg. 答案： D 6.在正方形网格中， ABC的位置如图所示，则 cosB 的值为 ( ) A.12B. 22C. 32D. 33解析：设小正方形的边长为 1，则 AB=4 2 ， BD=4， cos B= 42242. 答案：
4、 B 7.关于 8 的叙述不正确的是 ( ) A. 8 2 2 B.面积是 8的正方形的边长是 8 C. 8 是有理数 D.在数轴上可以找到表示 8 的点 解析： A、 8 2 2 ，所以此选项叙述正确； B、面积是 8的正方形的边长是 8 ，所以此选项叙述正确； C、 8 2 2 ，它是无理数，所以此选项叙述不正确； D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示 8 的点；所以此选项叙述正确 . 答案： C 8.下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是 ( ) 函数 y=x；函数 y=x2；函数 y=1x. A. B. C. D.都不是 解析：根据中心对称图形的定义
5、可知函数是中心对称图形 . 答案： C 9.如图， AB 是圆 O的直径，弦 CD AB， BCD=30， CD=4 3 ，则 S 阴影 =( ) A.2 B.83 C.43 D.38 解析：如图，假设线段 CD、 AB交于点 E， AB是 O的直径，弦 CD AB， CE=ED=2 3 ， 又 BCD=30， DOE=2 BCD=60， ODE=30， OE=DE cot60 = 3233=2， OD=2OE=4， S 阴影 =S 扇形 ODB-S DOE+S BEC= 26 0 1 1 8 82 3 2 33 6 0 2 2 3 3OD O E D E B E C E . 答案： B 10
6、.如图，在等腰 ABC 中， AB=AC=4cm， B=30，点 P从点 B出发，以 3 cm/s的速度沿BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BA-AC 方向运动到点 C停止，若 BPQ的面积为 y(cm2)，运动时间为 x(s)，则下列最能反映 y与 x之间函数关系的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析：作 AH BC 于 H， AB=AC=4cm， BH=CH， B=30， AH=12AB=2， BH= 3 2 3AH ， BC=2BH=4 3 ， 点 P运动的速度为 3 cm/s， Q点运动的速度为 1cm/s， 点 P从 B点运动
7、到 C需 4s， Q点运动到 C需 8s， 当 0 x 4时，作 QD BC于 D，如图， BQ=x， BP= 3 x， 在 Rt BDQ中， DQ= 1122BQx， y= 21 1 332 2 4x x x ， 当 4 x 8时，作 QD BC于 D，如图 2， CQ=8-x， BP=4 3 ， 在 Rt BDQ中， DQ= 1122CQ(8-x)， y= 11 8 4 3 3 8 322 xx ， 综上所述， y= 23 0443 8 3 4 8()()xxxx ， 答案： D 二、填空题 (本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分 ) 11.若式子 2xx有意义，则 x的取值范围是
8、. 解析：根据题意，得 x+2 0，且 x 0，解得 x -2且 x 0. 答案： x -2且 x 0 12.分解因式： x3-x= . 解析： x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). 答案： x(x+1)(x-1) 13.定义一种新的运算： x*y= 2xyx，如： 3*1= 3 2 1 533，则 (2*3)*2= . 解析：根据题中的新定义得： (2*3)*2=(2 2 32)*2=4*2=444=2. 答案： 2 14.如图所示，在矩形 ABCD中， DAC=65，点 E是 CD上一点， BE交 AC于点 F，将 BCE沿 BE折叠，点 C恰好落在 AB边上的点 C处，则
9、AFC = . 解析：矩形 ABCD， DAC=65， ACD=90 - DAC=90 -65 =25， BCE沿 BE折叠，点 C恰好落在 AB 边上的点 C处， 四边形 BCEC是正方形， BEC=45， 由三角形的外角性质， BFC= BEC+ ACD=45 +25 =70， 由翻折的性质得， BFC = BFC=70， AFC =180 - BFC- BFC =180 -70 -70 =40 . 答案： 40 15.观察下列的“蜂窝图”则第 n 个图案中的“”的个数是 .(用含有 n 的代数式表示 ) 解析：由题意可知：每 1个都比前一个多出了 3个“ ”， 第 n个图案中共有“ ”为
10、： 4+3(n-1)=3n+1. 答案： 3n+1 16.如图，路灯距离地面 8米，身高 1.6米的小明站在距离灯的底部 (点 O)20米的 A处，则小明的影子 AM长为 米 . 解析：根据题意，易得 MBA MCO， 根据相似三角形的性质可知 A B A MO C O A A M ，即 1 .68 2 0 AMAM ，解得 AM=5m.则小明的影长为 5米 . 答案： 5 17.如图所示，正方形 ABCD的边长为 4， E是边 BC上的一点，且 BE=1， P是对角线 AC上的一动点，连接 PB、 PE，当点 P在 AC上运动时， PBE 周长的最小值是 . 解析：连接 DE于 AC交于点
11、P，连接 BP，则此时 BP E的周长就是 PBE 周长的最小值， BE=1， BC=CD=4， CE=3， DE=5， BP +P E=DE=5， PBE周长的最小值是 5+1=6. 答案： 6 18.如图是抛物线 y1=ax2+bx+c(a 0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A(1， 3)，与 x轴的一个交点是 B(4， 0)，直线 y2=mx+n(m 0)与抛物线交于 A， B两点，下列结论： abc 0；方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；抛物线与 x 轴的另一个交点是 (-1，0)；当 1 x 4时，有 y2 y1； x(ax+b) a+b，其中正确的结论是 .(只
12、填写序号 ) 解析：由图象可知： a 0， b 0， c 0，故 abc 0，故错误 . 观察图象可知，抛物线与直线 y=3只有一个交点，故方程 ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故正确 . 根据对称性可知抛物线与 x轴的另一个交点是 (-2， 0)，故错误， 观察图象可知，当 1 x 4时，有 y2 y1，故错误， 因为 x=1时， y1有最大值，所以 ax2+bx+c a+b+c，即 x(ax+b) a+b，故正确，所以正确 . 答案： 三、解答题 (本大题共 3小题，共 28分 ) 19.计算： (1)计算： 2 04 11 1 2 s i n 6 0 52 ； (2)先化简，再求
13、值： 21 2 1122xxxx ，其中 x= 3 -1. 解析： (1)根据实数的运算法则计算即可； (2)原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x的值代入计算即可求出值 . 答案： (1) 2 04 131 1 2 s i n 6 0 5 1 2 3 4 1 522 ； (2) 221 2 1 2 1 2 112 2 2 11x x x xx x x xx ， 当 x= 3 -1时，原式 = 33. 20.一艘轮船位于灯塔 P南偏西 60方向的 A处，它向东航行 20海里到达灯塔 P南偏西 45方向上的 B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P的最短距离 .(结果保留
14、根号 ) 解析：利用题意得到 AC PC， APC=60， BPC=45， AP=20，如图，在 Rt APC中，利用余弦的定义计算出 PC=10，利用勾股定理计算出 AC=10 3 ，再判断 PBC为等腰直角三角形得到 BC=PC=10，然后计算 AC-BC即可 . 答案：如图， AC PC， APC=60， BPC=45， AP=200， 在 Rt APC中， cos APC=PCAP， PC=20 cos60 =10， AC= 222 0 1 0 1 0 3， 在 PBC中， BPC=45， PBC为等腰直角三角形， BC=PC=10， AB=AC-BC=10 3 -10(海里 ). 答
15、：轮船航行途中与灯塔 P的最短距离是 (10 3 -10)海里 . 21.八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图 . 根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)八年级一班有多少名学生？ (2)请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； (3)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出 2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的 2人恰好是乙和丙的概率 .
16、解析 (1)用散文的频数除以其频率即可求得样本总数； (2)根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可； (3)画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率 . 答案： (1)喜欢散文的有 10人，频率为 0.25，总人数 =10 0.25=40(人 ). (2)在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 640 100%=15%. (3)画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有 12种，其中恰好是丙与乙的情况有 2种， P(丙和乙 )= 2112 6. 四、解答题 (共 50分 ) 22.如图所示，一次函数 y=kx+b与反比例函数 y=mx的图象交于 A(2， 4
17、)， B(-4， n)两点 . (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点 B 作 BC x 轴，垂足为点 C，连接 AC，求 ACB 的面积 .解析： (1)将点 A 坐标代入y=mx可得反比例函数解析式，据此求得点 B坐标，根据 A、 B两点坐标可得直线解析式； (2)根据点 B坐标可得底边 BC=2，由 A、 B两点的横坐标可得 BC边上的高，据此可得 . 答案： (1)将点 A(2， 4)代入 y=mx，得： m=8，则反比例函数解析式为 y=8x， 当 x=-4时， y=-2，则 点 B(-4， -2)， 将点 A(2， 4)、 B(-4， -2)代入 y=kx+b，得
18、： 2442kbkb ，解得： 12kb，则一次函数解析式为 y=x+2. (2)由题意知 BC=2，则 ACB的面积 =12 2 6=6. 23.如图， ABD是 O 的内接三角形， E是弦 BD的中点，点 C是 O外一点且 DBC= A，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与 BC 相交于点 C. (1)求证： BC 是 O的切线； (2)若 O的半径为 6， BC=8，求弦 BD的长 . 解析： (1)连接 OB，由垂径定理的推论得出 BE=DE， OE BD， 12B F D F B D，由圆周角定理得出 BOE= A，证出 OBE+ DBC=90，得出 OBC=90即可； (2)由勾股
19、定理求出 OC，由 OBC的面积求出 BE，即可得出弦 BD的长 . 答案： (1)连接 OB，如图所示： E是弦 BD 的中点， BE=DE， OE BD， 12B F D F B D， BOE= A， OBE+ BOE=90， DBC= A， BOE= DBC， OBE+ DBC=90， OBC=90， 即 BC OB， BC 是 O的切线； (2) OB=6， BC=8， BC OB， OC= 22OB BC =10， OBC的面积 =12OC BE=12OB BC， BE= 68 4 . 810O B B COC， BD=2BE=9.6，即弦 BD的长为 9.6. 24.天水某公交公司
20、将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买 A 型和 B 型两行环保节能公交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1 辆， B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A型公交车 2辆， B型公交车 1辆，共需 350 万元 . (1)求购买 A型和 B型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计在该条线路上 A型和 B型公交车每辆年均载客量分别为 60万人次和 100 万人次 .若该公司购买 A型和 B型公交车的总费用不超过 1220万元，且确保这 10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于 650 万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 解析
21、： (1)设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y 万元，根据“ A 型公交车 1 辆， B 型公交车 2 辆，共需 400 万元； A 型公交车 2 辆， B 型公交车 1 辆，共需 350万元”列出方程组解决问题； (2)设购买 A型公交车 a辆，则 B型公交车 (10-a)辆，由“购买 A型和 B型公交车的总费用不超过 1220万元”和“ 10辆公交车在该 线路的年均载客总和不少于 650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可 . 答案： (1)设购买 A型公交车每辆需 x万元，购买 B型公交车每辆需 y万元， 由题意得 2 4 0 02 3 5 0xyxy，解得
22、 100150xy，答：购买 A型公交车每辆需 100万元，购买 B型公交车每辆需 150万元 . (2)设购买 A型公交车 a辆，则 B型公交车 (10-a)辆， 由题意得 1 0 0 1 5 0 1 0 1 2 2 06 0 1 0 0 1 0 6 5 0aa ，解得： 28 3554a， 因为 a是整数，所以 a=6， 7， 8；则 (10-a)=4， 3， 2； 三种方案： 购买 A型公交车 6辆，则 B型公交车 4辆： 100 6+150 4=1200万元； 购买 A型公交车 7辆，则 B型公交车 3辆： 100 7+150 3=1150万元； 购买 A型公交车 8辆，则 B型公交车
23、 2辆： 100 8+150 2=1100万元； 购买 A型公交车 8辆，则 B型公交车 2辆费用最少，最少总费用为 1100万元 . 25. ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形， BAC= EDF=90， DEF的顶点 E与ABC的斜边 BC的中 点重合，将 DEF绕点 E旋转，旋转过程中，线段 DE与线段 AB相交于点P，线段 EF与射线 CA 相交于点 Q. (1)如图，当点 Q在线段 AC上，且 AP=AQ时，求证： BPE CQE； (2)如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证： BPE CEQ；并求当 BP=2， CQ=9 时BC的长 . 解析： (1)由 ABC
24、是等腰直角三角形，易得 B= C=45， AB=AC，又由 AP=AQ， E是 BC 的中点，利用 SAS，可证得： BPE CQE； (2)由 ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得 B= C= DEF=45，然后利用三角形的外角的性质，即可得 BEP= EQC，则可证得： BPE CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 BE的长，即可得 BC 的长， 答案： (1) ABC是等腰直角三角形， B= C=45， AB=AC， AP=AQ， BP=CQ， E是 BC的中点， BE=CE， 在 BPE和 CQE中， BE CEBCBP CQ ， BPE CQE(SAS). (2
25、)连接 PQ， ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形， B= C= DEF=45， BEQ= EQC+ C， 即 BEP+ DEF= EQC+ C， BEP+45 = EQC+45， BEP= EQC， BPE CEQ， BP BECE CQ， BP=2， CQ=9， BE=CE， BE2=18， BE=CE=3 2 ， BC=6 2 . 26.如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=ax2-2ax-3a(a 0)与 x 轴交于 A， B两点 (点 A在点 B的左侧 )，经过点 A的直线 l： y=kx+b 与 y轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD=4
26、AC. (1)求 A、 B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线 l的函数表达式 (其中 k、 b用含 a的式子表示 )； (3)点 E是直线 l上方的抛物线上的动点，若 ACE的面积的最大值为 54，求 a的值； (4)设 P是抛物线对称轴上的一点，点 Q在抛物线上，以点 A、 D、 P、 Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P的坐标；若不能，请说明理由 . 解析： (1)解方程即可得到结论； (2)根据直线 l： y=kx+b过 A(-1， 0)，得到直线 l： y=kx+k，解方程得到点 D的横坐标为 4，求得 k=a，得到直线 l 的函数表达式为 y=ax+a； (3)过
27、E作 EF y轴交直线 l于 F，设 E(x， ax2-2ax-3a)，得到 F(x， ax+a)，求出 EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； (4)令 ax2-2ax-3a=ax+a，即 ax2-3ax-4a=0，得到 D(4， 5a)，设 P(1， m)，若 AD 是矩形 ADPQ的一条边，若 AD是矩形 APDQ的对角线，列方程即可得到结论 . 答案： (1)当 y=0时， ax2-2ax-3a=0，解得： x1=-1， x2=3， A(-1， 0)， B(3， 0)， 对称轴为直线 x= 132=1； (2)直线 l： y=kx+b 过 A(-1， 0)
28、， 0=-k+b，即 k=b，直线 l： y=kx+k， 抛物线与直线 l交于点 A， D， ax2-2ax-3a=kx+k， 即 ax2-(2a+k)x-3a-k=0， CD=4AC，点 D的横坐标为 4， -3-ka=-1 4， k=a，直线 l的函数表达式为 y=ax+a； (3)过 E作 EF y轴交直线 l于 F，设 E(x， ax2-2ax-3a)， 则 F(x， ax+a)， EF=ax2-2ax-3a-ax-a=ax2-3ax-4a， S ACE=S AFE-S CEF= 22 2 21 1 1 3 2 53 4 1 1 2 3 4 3 42 2 2 2 8a x a x a
29、x a x a x a x a x a x a a x a ， ACE的面积的最大值 =-258a， ACE的面积的最大值为 54， -25 584a，解得 a=-25； (4)以点 A、 D、 P、 Q为顶点的四边形能成为矩形， 令 ax2-2ax-3a=ax+a，即 ax2-3ax-4a=0，解得： x1=1， x2=4， D(4， 5a)， 抛物线的对称轴为直线 x=1， 设 P(1， m)， 若 AD 是矩形 ADPQ的一条边，则易得 Q(-4， 21a)， m=21a+5a=26a，则 P(1， 26a)， 四边形 ADPQ是矩形， ADP=90， AD2+PD2=AP2， 52+(5a)2+32+(26-5a)2=22+(26a)2，即 a2=17， a 0， a=- 77， P(1， -26 77)； 若 AD 是矩形 APDQ的对角线，则易得 Q(2， -3a)， m=5a-(-3a)=8a，则 P(1， 8a)， 四边形 APDQ是矩形， APD=90， AP2+PD2=AD2， (-1-1)2+(8a)2+(1-4)+(8a-5a)2=52+(5a)2，即 a2=14， a 0， a=-12， P(1， -4)， 综上所述，点 A、 D、 P、 Q为顶点的四边形能成为矩形，点 P(1， -26 77)或 (1， -4).
