1、2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若集合 A=0， 1， B=y|y=2x， x A，则 ( RA) B=( ) A.0 B.2 C.2， 4 D.0， 1， 2 解析：根据题意，由集合 B=y|y=2x， x A，结合 A的元素可得集合 B，分析可得 ( RA)B中的元素为属于 B不属于 A的元素，即可得答案 . 答案： B. 2.在等差数列 an中， a3+a6=11， a5+a8=39，则公差 d为 ( ) A.-14 B.-7 C.7 D.14
2、 解析：利用等差数列的通项公式及其性质即可得出 . 答案： C. 3.若函数 f(x)=3cos( x-4)(1 14)的图象关于 x=12对称，则等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析：由题意可得12 -4=k， k Z，由此求得的值 . 答案： B. 4.函数 f(x)=-|x|- x +3的零点所在区间为 ( ) A.(0， 1) B.(1， 2) C.(2， 3) D.(3， 4) 解析：判断函数的单调性，利用函数的零点定理判断求解即可 . 答案： B. 5.在 ABC 中， A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 bcosA+acosB=c2， a=b=2，则
3、 ABC 的周长为 ( ) A.7.5 B.7 C.6 D.5 解析：由已知利用余弦定理可求 c的值，进而可得周长的值 . 答案： D. 6.设向量 a =(2tan， tan )，向量 b =(4， -3)，且 a +b =0 ，则 tan( + )等于 ( ) A.17B.-15C.15D.-17解析：利用两个向量坐标形式的运算法则，两角和的正切公式，求得 tan( + )的值 . 答案： A. 7.当双曲线 M： 222 26xymm =1(-2 m 0)的焦距取得最小值时，双曲线 M的渐近线方程为( ) A.y= 2 x B.y= 22x C.y= 2x D.y= 12x 解析：由题意
4、可得 c2=m2+2m+6=(m+1)2+5，可得 m=-1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率 . 答案： C. 8.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为 ( ) A.6 +12 B.6 +24 C.12 +12 D.24 +12 解析：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论 . 答案： A. 9.设正数 x， y满足 -1 x-y 2，则 z=x-2y 的取值范围为 ( ) A.(0， 2) B.(-， 2) C.(-2， 2) D.(2， + ) 解析：由约束条件作出可行域， z=x-2y，
5、化为直线方程的斜截式，求出 z的范围得答案 . 答案： B. 10.将函数 f(x)=2sin(2x+6)的图象向左平移12个单位，再向上平移 1个单位，得到 g(x)的图象 .若 g(x1)g(x2)=9，且 x1， x2 -2， 2 ，则 2x1-x2的最大值为 ( ) A.4912B.356C.256D.176解析：由已知可得 g(x)=2sin(2x+3)+1，若 g(x1)g(x2)=9，且 x1， x2 -2， 2 ，则g(x1)=g(x2)=3，则 2x+3=2+2k， k Z，结合 x1， x2 -2， 2 ，可得答案 . 答案： A. 11.在某市记者招待会上，需要接受本市甲
6、、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者 5人，主持人需要从这 10 名记者中选出 4名记者提问，且这 4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( ) A.1200 B.2400 C.3000 D.3600 解析：由题意，甲电台记者选 1名，乙电视台记者选 3人，不同的提问方式的种数为 1 3 1 35 5 4 3C C C A=1200；甲电台记者选 2 名，乙电视台记者选 2 人，不同的提问方式的种数为 2 2 2 2 2 25 5 2 2 2 22C C A A A A=1200，即可得出结论 . 答案： B. 12.已知函
7、数 f(x)=2x-5， g(x)=4x-x2，给下列三个命题： p1：若 x R，则 f(x)f(-x)的最大值为 16； p2：不等式 f(x) g(x)的解集为集合 x|-1 x 3的真子集； p3：当 a 0时，若 x1， x2 a， a+2， f(x1) g(x2)恒成立，则 a 3， 那么，这三个命题中所有的真命题是 ( ) A.p1， p2， p3 B.p2， p3 C.p1， p2 D.p1 解析：给出 f(x)f(-x)的表达式，结合基本不等式，可判断 p1，在同一坐标系中作出函数f(x)=2x-5， g(x)=4x-x2的图象，数形结合，可判断 p2， p3. 答案： A.
8、 二、填空题 (每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ) 13.sin63 cos18 +cos63 cos108 =_. 解析：利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解 . 答案： 22. 14.设函数 f(x)= 621 lo g 44xxf x x， ，则 f(3)+f(4)=_. 解析：先分别求出 f(3)=f(9)=1+log69， f(4)=1+log64，由此能求出 f(3)+f(4). 答案： 4. 15.古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2
9、倍，已知她 5 天共织布 5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前 3 天所织布的总尺数为 _. 解析：利用等比数列的求和公式即可得出 . 答案： 3531. 16.在 Rt AOB中， OA OB =0， |OA|= 5 ， |OB |=2 5 ， AB 边上的高线为 OD，点 E位于线段 OD上，若 34OE EA，则向量 EA 在向量 OD 上的投影为 _. 解析：由题意可得 AOB=2，建立如图所示的坐标系，利用三角形相似，求出 AD 的值，可得 D、 E 的坐标，由 34OE EA，求得的值，可得向量 EA 在向量 OD 上的投影为 ED=|OD OE |
10、的值 . 答案： 12或 32. 三、解答题 (本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.设函数 f(x)=x+1x+a 为定义在 (-， 0) (0， + )上的奇函数 . (1)求实数 a的值； (2)判断函数 f(x)在区间 (a+1， + )上的单调性，并用定义法证明 . 解析： (1)利用 f(x)=x+1x+a 为定义在 (-， 0) (0， + )上的奇函数， f(-x)=-f(x)，即可求实数 a的值； (2)利用函数单调性的定义进行证明 . 答案： (1) f(x)=x+1x+a为定义在 (-， 0) (0， + )上的奇函数， f(
11、-x)=-f(x)， -x-1x+a=-(x+1x+a)， a=0. (2)函数 f(x)在区间 (1， + )上是增函数 . 证明：设 1 x1 x2， 则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+1211xx =x1-x2- 1212xxxx =(x1-x2) 12121xxxx . 1 x1 x2， x1-x2 0，12121xxxx 0， f(x1)-f(x2) 0，即 f(x1) f(x2). 函数 f(x)在区间 (1， + )上是增函数 . 18.在 ABC中， a， b， c分别为内角 A， B， C的对边， C为锐角且 asinA=bsinBsinC， b= 2a. (1)求 C
12、的大小； (2)求 22ca 的值 . 解析： (1)由已知利用正弦定理可得： a2=b2sinC=2a2sinC，可求 sinC=12，结合 C 为锐角，可求 C的值 . (2)由余弦定理即可解得 22ca 的值 . 答案： (1)由已知， asinA=bsinBsinC， 利用正弦定理可得： a2=b2sinC=2a2sinC， 由于： sinC=12， C为锐角， 解得： C=6. (2)由余弦定理可得： c2=a2+b2-2abcosC=3a2-2a 2 a 32=3a2- 6 a2， 故解得： 22 =3 6ca . 19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众
13、的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入 200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元 )满足 P=80+4 2a ， Q=14a+120，设甲大棚的投入为 x(单位：万元 )，每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位：万元 ). (1)求 f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？ 解析： (1)由甲大棚投入 50 万元，则乙大投棚入 150 万元，把 a的值代入即可
14、得出 . (2)f(x)=80+4 2x +14(200-x)+120=-14x+4 2x +250，依题意得 202 0 0 2 0xx 20 x 180，通过换元利用二次函数的单调性即可得出 . 答案： (1)甲大棚投入 50 万元，则乙大投棚入 150 万元， f(50)=80+4 2 50 +14 150+120=277.5万元 . (2)f(x)=80+4 2x +14(200-x)+120=-14x+4 2x +250，依题意得 202 0 0 2 0xx 20 x 180， 故 f(x)=-14x+4 2x +250(20 x 180). 令 t= x 2 5 ， 6 5 ，则
15、f(x)=-14t2+4 2 t+250=-14(t-8 2 )2+282， 当 t=8 2 ，即 x=128 时， f(x)max=282万元 . 所以投入甲大棚 128万元，乙大棚 72 万元时，总收益最大，且最大收益为 282 万元 . 20.已知数列 an的前 n 项和 Sn=n2+an-1，且 a1， a4是等比数列 bn的前两项，记 bn与 bn+1之间包含的数列 an的项数为 cn，如 b1与 b2之间包含 an中的项为 a2， a3，则 c1=2. (1)求数列 an和 bn的通项公式； (2)求数列 ancn的前 n 项和 . 解析： (1)利用 an=Sn-Sn-1，求出数
16、列 an的通项公式，利用且 a1， a4是等比数列 bn的前两项，求出公比即可求解 bn的通项公式 . (2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可 . 答案： (1)由题意知， Sn=n2+an-1， Sn-1=(n-1)2+an-1-1(n 2)，两式作差得 an=2n-1+an-an-1，即an-1=2n-1(n 2) 所以 an=2n+1，则 a1=3， a4=9， 所以 b1=3， b2=9， q=21bb =3，所以 bn=b1 qn-1=3n. (2)bn=3n， bn+1=3n+1，因为数列 an是由连续的奇数组成的数列，而 bn和 bn+1都是奇数，所以bn与 bn+1
17、之间包含的奇数个数为 133 1 3 12nn n ，所以 cn=3n-1 ancn=(2n+1)(3n-1)=(2n+1)3n-(2n+1).设 (2n+1)3n的前 n项和为 Tn， Tn=3 31+5 32+ +(2n+1)3n， 3Tn=3 32+5 33+ +(2n+1)3n+1， -，得 -2Tn=9+ 193213n-(2n+1)3n+1=-2n 3n+1，则 Tn=n 3n+1， 所以数列 ancn的前 n 项和为 Tn-Sn=n 3n+1-n2-2n. 21.已知函数 f(x)=(kx+a)ex的极值点为 -a-1，其中 k， a R，且 a 0. (1)若曲线 y=f(x)
18、在点 A(0， a)处的切线 l与直线 y=|2a-2|x平行，求 l的方程； (2)若 a 1， 2，函数 f(x)在 (b-ea， 2)上为增函数，求证： e2-3 b ea+2. 解析： (1)求出函数的导数，求出 k的值，从而求出 a 的值，带入 a的值，求出切线方程即可； (2)问题转化为 x -a-1 对 x (b-ea， 2)恒成立，根据 -a-1 b-ea，即 b ea-a-1 对 a 1，2恒成立，设 g(a)=ea-a-1， a 1， 2，根据函数的单调性证明即可 . 答案： (1)当 k=0时， f(x)无极值，故 k 0. 由 f (x)=(kx+a+k)ex=0， 得
19、 x=-akk=-a-1， a+k=ak+k. a 0， k=1. f (0)=a+1=|2a-2|， a=3或 a=13. 当 a=3时， f(x)=(x+3)ex， f(0)=3， l的方程为 y=4x+3. 当 a=13时， f(x)=(x+13)ex， f(0)=13， l的方程为 y=43x+13. (2)证明：由题可知 f (x)=(x+a+1)ex 0对 x (b-ea， 2)恒成立， ex 0， x+a+1 0，即 x -a-1对 x (b-ea， 2)恒成立， -a-1 b-ea，即 b ea-a-1对 a 1， 2恒成立 . 设 g(a)=ea-a-1， a 1， 2，则
20、g (a)=ea-1 0， g(a)在 1， 2上递增， g(a)max=g(2)=e2-3， b e2-3. 又 (b-ea 2， e2-3 b ea+2. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的参数方程为 xty at， (t 为参数 )，曲线 C1的方程为 ( -4sin )=12，定点 A(6， 0)，点 P 是曲线C1上的动点， Q为 AP的中点 . (1)求点 Q的轨迹 C2的直角坐标方程； (2)直线 l与直线 C2交
21、于 M， N两点，若 |MN| 2 3 ，求实数 a的取值范围 . 解析： (1)首先，将曲线 C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点 Q的轨迹 C2的直角坐标方程； (2)首先，将直线方程化为普通方程，然后，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解不等式即可得到取值范围 . 答案： (1)根据题意，由 x= cos， y= sin， x2+y2= 2， 曲线 C1的极坐标方程 ( -4sin )=12， 可得曲线 C1的直角坐标方程为： x2+y2-4y=12， 设点 P(x， y )， Q(x， y)， 根据中点坐标公式，得 262xxyy ，代入 x2+y2-4y
22、=12， 得点 Q的轨迹 C2的直角坐标方程为： (x-3)2+(y-1)2=4； (2)直线 l的普通方程为： y=ax， 设圆心到直线的距离为 d， 由弦长公式可得， |MN|= 2222d 2 3 ， 可得圆心 (3， 1)到直线的距离为 d= 22231 231aa ， 即为 4a2-3a 0， 解得实数 a的取值范围为： 0， 34. 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|， x R. (1)解不等式 f(x) 5； (2)若不等式 m2-m f(x)， x R都成立，求实数 m的取值范围 . 解析： (1)原不等式等价于 124 4 5xx ，或 132225x ，或 324 4 5xx .分别求得、的解集，再取并集，即得所求 . (2)利用绝对值三角不等式求得 f(x)的最小值为 2，可得 m2-m 2，由此解得实数 m 的取值范围 . 答案： (1)原不等式等价于 124 4 5xx ，或 132225x ，或 324 4 5xx . 解求得 -14 x 12，解求得 12 x 32，解求得 32 x 94， 因此不等式的解集为 -14， 94. (2) f(x)=|2x-1|+|2x-3| |2x-1-(2x-3)|=2， m2-m 2，解得 -1 m 2， 即实数 m的取值范围为 (-1， 2).
