1、2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考模拟数学文 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=-1， 1， B=x|mx=1，且 A B=A，则 m的值为 ( ) A.1 B.-1 C.1或 -1 D.1或 -1或 0 解析： A B=A B A B=； B=-1； B=1 当 B=时， m=0 当 B=-1时， m=-1 当 B=1时， m=1 故 m的值是 0； 1； -1. 答案： D 2.定义运算 abcd=ad-bc，若 z=212ii，则复数 z 对应的点在 ( )
2、A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：利用已知定义结合虚数单位 i的运算性质求得 z，进一步得到 z ，求得 z 的坐标得答案 . 由已知可得， z=212ii=1 i2-2i=-1-2i， z =-1+2i， 则复数 z 对应的点的坐标为 (-1， 2)，在第二象限 . 答案： B. 3.已知 d为常数， p：对于任意 n N*， an+2-an+1=d； q：数列 an是公差为 d的等差数列，则 p是 q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：先根据命题的否定，得到 p和 q，再根据充分条件和必要的条件的定义
3、判断即可 . p：对于任意 n N*， an+2-an+1=d； q：数列 an是公差为 d的等差数列， 则 p： n N*， an+2-an+1 d； q：数列 an不是公差为 d的等差数列， 由 p q，即 an+2-an+1不是常数，则数列 an就不是等差数列， 若数列 an不是公差为 d的等差数列，则不存在 n N*，使得 an+2-an+1 d， 即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 所以 p是 q的充分不必要条件 . 答案 ： A. 4.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” .执行该程序框图，若输入的 a， b分别为 8
4、， 12，则输出的 a=( ) A.4 B.2 C.0 D.14 解析：由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a， b的值，即可得到结论 . 由 a=8， b=12，不满足 a b， 则 b变为 12-8=4， 由 b a，则 a变为 8-4=4， 由 a=b=4， 则输出的 a=4. 答案： A. 5.已知抛物线 C： y2=8x的焦点为 F，准线为 l， P是 l上一点， Q是直线 PF与 C的一个交点，若 4FP FQuur uuur ，则 |QF|=( ) A.3 B.52C.72D.32解析：如图所示： 由抛物线 C： y2=8x，可得焦点为 F(2， 0)，准线 l方
5、程为： x=-2， 准线 l与 x轴相交于点 M， |FM|=4. 经过点 Q作 QN l，垂足为 N则 |QN|=|QF|. QN MF， 34Q N P QM F P F， |QN|=3=|QF|. 答案： A. 6.已知函数 f(x)=sinx+ cosx 的图象的一个对称中心是点 (3， 0)，则函数 g(x)=sinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线 ( ) A.x=56B.x=43C.x=3D.x=3解析： f(x)=sinx+ cosx的图象的一个对称中心是点 (3， 0)， s i n c o s 3 03 3 3122f ，解得 = 3 ， 2 1 c o s 2
6、s i n c o s s i n s i n 2 s i n 223163 22xg x x x x x x ， 令 262xk 可得26kx ， k Z， 函数的对称轴为26kx ， k Z， 结合四个选项可知，当 k=-1时 x=3符合题意 . 答案 ： D 7.已知 A， B， C 是平面上不共线的三点， O 是 ABC 的重心，动点 P 满足1 1 1 23 2 2O P O A O B O C u uur u u r u uur u u ur，则 P一定为 ABC的 ( ) A.AB边中线的三等分点 (非重心 ) B.AB边的中点 C.AB边中线的中点 D.重心 解析：根据题意，画
7、出图形，结合图形，利用向量加法的平行四边形法则以及共线的向量的加法法则，即可得出正确的结论 . 如图所示：设 AB 的中点是 E， O是三角形 ABC的重心， 1 1 1 13 223 22O P O A O B O C O E O C u u ur u u r u u ur u u ur u u ur u u ur， 2EO OCuuur uuur ， 413O P E O O E E O u uur u u ur u uur u u ur， P在 AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心 . 答案： A 8.设 a= 12(sin56 -cos56 )， b=cos50 cos128 +
8、cos40 cos38， c=12(cos80-2cos250 +1)，则 a， b， c的大小关系是 ( ) A.a b c B.b a c C.c a b D.a c b 解析： 运用两角和差的正弦和余弦公式，化简整理，再由余弦函数的单调性，即可得到所求大小关系 . a= 12(sin56 -cos56 )= 12 2 sin(56 -45 )=sin11 =cos79， b=cos50 cos128+cos40 cos38= -cos50 cos52+sin50 sin52 =-cos102=cos78， c=12(cos80 -2cos250 +1)=12(cos80 -cos100
9、)=cos80， 由 cos78 cos79 cos80， 即 b a c. 答案 ： B. 9.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为 2的等腰直角三角形，侧视图是一个直角边长为 1的直角三角形，则该几何体外接球的体积是 ( ) A.36 B.9 C.92 D.275 解析：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥 . 俯视图是一个腰长为 2的等腰直角三角形， 故底面外接圆半径 r= 2 ， 由主视图中棱锥的高 h=1， 故棱锥的外接球半径 R 满足： 13422R ， 故该几何体外接球的体积 34932VR. 答案 ： C. 10.设 m 1，在约束条件1yxy mxxy 下，
10、目标函数 z=x+my的最大值小于 2，则 m的取值范围为 ( ) A.(1， 1+ 2 ) B.(1+ 2 ， + ) C.(1， 3) D.(3， + ) 解析：根据 m 1，我们可以判断直线 y=mx 的倾斜角位于区间 (4，2)上，由此我们不难判断出满足约束条件1yxy mxxy 的平面区域的形状， m 1 故直线 y=mx与直线 x+y=1交于 ( 11m，1mm)点， 目标函数 Z=X+my对应的直线与直线 y=mx垂直，且在 ( 11m，1mm)点，取得最大值 其关系如下图所示： 即 21 21mm ， 解得 1- 2 m 1+ 2 又 m 1 解得 m (1， 1+ 2 ) 答
11、案： A. 11.己知 O为坐标原点，双曲线 221xyab(a 0， b 0)的两条渐近线分别为 l1， l2，右焦点为 F，以 OF 为直径作圆交 l1于异于原点 O 的点 A，若点 B 在 l2上，且 2AB FAuuur uur ，则双曲线的离心率等于 ( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 解析 ：双曲线的渐近线方程 l1， byxa， l2， byxa， F(c， 0)， 圆的方程为 2 2224ccxy， 将 byxa代入 2 2224ccxy，得 22 224c b cxxa ， 即 2 22c x cxa ，则 x=0或 x= 2ac ， 当 x= 2ac时， 2b a
12、abya c cg，即 A( 2ac， abc)， 设 B(m， n)，则 bnmag， 则 ABuur =(m- 2ac， n-abc)， FAur =( 2ac-c， abc)， 2AB FAuuur uur ， (m- 2ac， n-abc)=2( 2ac-c， abc) 则 m- 2ac=2( 2ac-c)， n-abc=2 abc， 即 m= 23ac-2c， n=3abc， 即 23 3 3 22a b b a a b b ccc a c c a g， 即 62ab bcca， 则 c2=3a2， 则 3ca. 答案 ： B. 12.已知定义在 (0， + )上的单调函数 f(x)
13、，对 x (0， + )，都有 ff(x)-log2x=3，则方程 f(x)-f (x)=2 的解所在的区间是 ( ) A.(0， 12) B.(1， 2) C.(12， 1) D.(2， 3) 解析：根据题意，对任意的 x (0， + )，都有 ff(x)-log2x=3， 又由 f(x)是定义在 (0， + )上的单调函数， 则 f(x)-log2x为定值， 设 t=f(x)-log2x，则 f(x)=log2x+t， 又由 f(t)=3，即 log2t+t=3， 解可得， t=2； 则 f(x)=log2x+2， f (x)= 12ln xg， 将 f(x)=log2x+2， f (x)
14、= 12ln xg代入 f(x)-f (x)=2， 可得 log2x+2- 12ln xg=2， 即 log2x- 12ln xg=0， 令 h(x)=log2x- 12ln xg， 分析易得 h(1)= 12ln 0， h(2)=1- 122ln 0， 则 h(x)=log2x- 12ln xg的零点在 (1， 2)之间， 则方程 log2x- 12ln xg=0，即 f(x)-f (x)=2的根在 (1， 2)上 . 答案 ： B. 二、填空题 (每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ) 13.某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量 (吨 )与相应的生产能耗 (吨标准煤 )有如下
15、几组样本数据： 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为 0.7，那么这组数据的回归直线方程是 .(参考公式： 1221niiiniix y n x ybx n x，a y bx ) 解析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于 a的方程，解方程即可 . 3456 4 .54x ， 2 .5 3 4 4 .5 3 .54y ， 这组数据的样本中心点是 (4.5， 3.5) 把样本中心点代入回归直线方程 y) =0.7x+a 3.5=4.5 0.7+a， a=0.35 那么这组数据的回归直线方程是 y) =0.7x
16、+0.35 答案： y) =0.7x+0.35. 14.已知 a， b表示两条不同直线，表示三个不同平面，给出下列命题： 若 =a， b ， a b，则； 若 a ， a垂直于内的任意一条直线，则； 若， =a， =b，则 a b； 若 a不垂直于平面，则 a不可能垂直于平面内的无数条直线； 若 a， a，则 . 上述五个命题中，正确命题的序号是 . 解析：对于，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于 a ， a 垂直于内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到 a，又a ，则，故正确， 对于， =a， =b，则 a b或 a b，或相交，故不正确， 对
17、于若 a不垂直于平面，则 a可能垂直于平面内的无数条直线，故不正确， 对于根据线面垂直的性质 ，若 a， a，则，故正确 . 答案： . 15.已知函数 g(x)=a-x2(1e x e， e为自然对数的底数 )与 h(x)=2lnx的图象上存在关于 x轴对称的点，则实数 a 的取值范围是 . 解析 ：由已知，得到方程 a-x2=-2lnx -a=2lnx-x2在 1e， e上有解 . 设 f(x)=2lnx-x2，求导得： f (x) 2 1 12 2 xxxxx ， 1e x e， f (x)=0在 x=1有唯一的极值点， f(1e)=-2-21e ， f(e)=2-e2， f(x)极大值
18、 =f(1)=-1，且知 f(e) f(1e)， 故方程 -a=2lnx-x2在 1e， e上有解等价于 2-e2 -a -1. 从而 a的取值范围为 1， e2-2. 答案： 1， e2-2 16.在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l： x+y+a=0与点 A(2， 0)，若直线 l 上存在点 M满足 |MA|=2|MO|(O为坐标原点 )，则实数 a的取值范围是 . 解析：设 M(x， -x-a)， 直线 l： x+y+a=0，点 A(2， 0)，直线 l上存在点 M，满足 |MA|=2|MO|， (x-2)2+(-x-a)2=4x2+4(-x-a)2， 整理，得 6x2+(6a+4)
19、x+a2+3a2-4=0， 直线 l上存在点 M满足 |MA|=2|MO|(O为坐标原点 )， 方程有解， =(6a+4)2-24(3a2+-4) 0， 整理得 9a2-12a-28 0， 解得 42323 224a， 故 a的取值范围为 243 2， 243 2， 答案： 243 2， 243 2 三、解答题 (本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.已知 a、 b、 c分别是 ABC的三个内角 A、 B、 C的对边， acosB+12b=c. (1)求 A的大小 . 解析： (1)过点 C作 AB 边上的高交 AB 与 D，通过 acosB+12
20、b=c，可知 A=60 . 答案： (1)过点 C作 AB 边上的高交 AB 与 D， 则 ACD、 BCD均为直角三角形， acosB+12b=c. AD=AB-BD=c-acosB=12b， A=60 . (2)若等差数列 an中， a1=2cosA， a5=9，设数列 11nnaa的前 n项和为 Sn，求证： Sn 12. 解析： (2)通过 (1)及 a1=2cosA、 a5=9 可知公差 d=2，进而可得通项 an=2n-1，分离分母得1121 1 12 1 2 1nna a n n ，并项相加即可 . 答案： (2)证明：由 (1)知 a1=2cosA=2cos60 =1， 设等差
21、数列 an的公差为 d， a5=a1+(5-1)d=9， d=2， an=1+2(n-1)=2n-1， 1 121 1 1 12 1 2 1 2 1 2 1nna a n n n n ， 1 1 1 111521 1 1 1 12 3 3 21 2 1 2 1 2nS n n n . 18.某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班 40 名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图 (注：图中幸福指数低于 70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于 70，说明孩子幸福感强 ). (1)根据茎叶图中的数据完成 2 2列联表，并判断能否有 95%的把握认为孩子的幸福感
22、强与是否是留守儿童有关？ 解析： (1)根据题意，填写 2 2列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论 . 答案： (1)根据题意，填写 2 2列联表如下： 计算 22 4 0 6 7 9 1 8 4 3 . 8 4 11 5 2 5 2 4 1 6()K ， 对照临界值表得，有 95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关 . (2)从 15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取 5人，又在这 5人中随机抽取 2人进行家访，求这 2个学生中恰有一人幸福感强的概率 . 参考公式： 22 n a d b cKa b c d a c b d . 附表： 解析： (2)按分层抽样方法抽出幸
23、福感强的孩子，利用列举法得出基本事件数，求出对应的概率值 . 答案： (2)按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子 2人，记作： a1， a2； 幸福感弱的孩子 3人，记作： b1， b2， b3； “抽取 2人”包含的基本事件有 (a1， a2)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a1， b3)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a2， b3)， (b1， b2)， (b1， b3)， (b2， b3)共 10 个； 事件 A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有 (a1， b1)， (a1， b2)， (a1， b3)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a2，
24、b3)共 6个； 故所求的概率为 6310 5PA. 19.已知矩形 ABCD中， AB=2， AD=5， E， F分别在 AD， BC上，且 AE=1， BF=3，沿 EF将四边形 AEFB折成四边形 A EFB，使点 B在平面 CDEF 上的射影 H在直线 DE上，且 EH=1. (1)求证： A D平面 B FC. 解析： (1)证明 A E B F，即可证明 B F平面 A ED，然后证明 CF平面 A ED，推出平面 A ED平面 B FC，然后证明 A D平面 B FC. 答案： (1)证明： AE BF， A E B F，又 A E 平面 A ED， B F 平面 A ED B
25、F平面 A ED 同理又 CF ED， CF平面 A ED 且 B F CF=F，平面 A ED平面 B FC 又 A D 平面 A ED， A D平面 B FC. (2)求 C到平面 B HF 的距离 . 解析： (2)求出 B H，求出 S HFC，利用 VC-B HF=VB -HFC求解即可 . 答案： (2)由题可知， B E=5， EH=1， B H底面 EFCD， 22 2B H B E E H ， 又 B F=3， 22 5H F B F B H ， FC=AD-BF=2S HFC=FC CD=2， S B HF=12B H HF= 5 ， VC-B HF=VB -HFC， S
26、B HFdC=S HFC B H， 2 2 4555H F CC B H FS B HdS VVg . 20.已知椭圆 C： 2 2 14x y，斜率为 32的动直线 l与椭圆 C交于不同的两点 A， B. (1)设 M为弦 AB的中点，求动点 M的轨迹方程 . 解析： (1)设 M(x， y)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 2 222 14x y， 2 211 14x y； -得：1 2 1 21 2 1 214y y y yx x x x ， 3124yx g ，即 320xy，由 M 在椭圆内部，则33x ，即可求得动点 M的轨迹方程 . 答案： (1)设 M(x， y
27、)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 2 222 14x y， 2 211 14x y； -得：1 2 1 21 2 1 214y y y yx x x x ， 3124yx g ，即 320xy. 又由中点在椭圆内部得 33x ， M点的轨迹方程为 320xy， 33x . (2)设 F1， F2为椭圆 C 在左、右焦点， P 是椭圆在第一象限上一点，满足12 54PF PF uuur uuurg ，求 PAB面积的最大值 . 解析： (2)由向量数量积的坐标运算，求得 P 点坐标，求得直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，根据基
28、本不等式的性质，即可求得 PAB面积的最大值 . 答案： (2)由椭圆的方程可知： F1( 3 ， 0)， F2( 3 ， 0)， P(x， y)(x 0， y 0)，1PFuur=( 3-x， -y)，2PFuuur=( 3 -x， -y)， 由12PF PFguuur uuur=( 3 -x， -y) ( 3 -x， -y)=x2-3+y2= 54，即 x2+y2=74， 由22227414xyx y ，解得：321xy ，则 P点坐标为 (1， 32)， 设直线 l的方程为 y= 32x+m， 223214y x mx y ，整理得： x2+ 3 mx+m2-1=0，由 0得 -2 m
29、2， 则 x1+x2= 3 m， x1x2=m2-1， 27 44A B m，74md ， 212 4PABS m mV. 222 44112 212PAB mmS m m V g， 当且仅当 m2=4-m2，即 m= 2 时，取等号， PAB面积的最大值 1. 21.已知函数 g(x)=alnx+12x2+(1-b)x. (1)若 g(x)在点 (1， g(1)处的切线方程为 8x-2y-3=0，求 a， b的值 . 解析： (1)求出函数的导数，得到关于 a， b的方程组，解出即可 . 答案： (1)根据题意可求得切点 (1， 52)，由题意可得， g (x)=ax+x+(1-b)， 51
30、214gg ，即 51 211124bab ，解得 a=1， b=-1. (2)若 b=a+1， x1， x2是函数 g(x)的两个极值点，试比较 -4与 g(x1)+g(x2)的大小 . 解析： (2) 求出 a 4 ，且 x1+x2=a ， x1x2=a ，令 f(x)=xlnx- 12x2-x(x 4) ，则f(x)=lnx+1-x-1=lnx-x，根据函数的单调性判断即可 . 答案： (2)证明： b=a+1， g(x)=alnx+12x2-ax，则 g (x)=ax+x-a. 根据题意可得 x2-ax+a=0在 (0， + )上有两个不同的根 x1， x2. 即202400aaaa，
31、解得 a 4，且 x1+x2=a， x1x2=a. g(x1)+g(x2)=aln(x1x2)+12(x12+x22)-a(x1+x2)=alna-12a2-a. 令 f(x)=xlnx-12x2-x(x 4)，则 f(x)=lnx+1-x-1=lnx-x， 令 h(x)=lnx-x，则当 x 4时， h (x)=1x-1 0， h(x)在 (4， + )上为减函数，即 h(x) h(4)=ln4-4 0， f(x) 0， f(x)在 (4， + )上为减函数，即 f(x) f(4)=8lnx-12， g(x1)+g(x2) 8ln2-12， 又 8ln2-12-(-4)=8ln2-8=8(l
32、n2-1)=8ln2e， ln2e 0， 8ln2e 0，即 8ln-12 -4， g(x1)+g(x2) -4. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 选修 4-4：坐标系与参数方程 (共 1小题，满分 10分 ) 22.已知曲线 C1 的极坐标方程为 cos - sin +2=0，曲线 C2 的参数方程为 3cos3sinxy(为参数 )，将曲线 C2上的所有点的横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标变为原来的 32倍，得到曲线 C3. (1)写出曲线 C1的参数方程和曲线 C3的普通方程 . 解析： (1)由 x= cos， y= sin化直线方程为普
33、通方程，写出过 P(0， 2)的直线参数方程，由题意可得 3cos3sinxy，运用同角平方关系化为普通方程 . 答案： (1)曲线 C1的极坐标方程为 cos - sin +2=0， 可得普通方程为 x-y+2=0， 则 C1的参数方程为22222xtyt (t为参数 )， 由曲线 C2的参数方程为 cos2sinxy(为参数 )， 可得 3cos3sinxy， 即有 C3的普通方程为 x2+y2=9. (2)已知点 P(0， 2)，曲线 C1与曲线 C3相交于 A， B，求 |PA|+|PB|. 解析： (2)将直线的参数方程代入曲线 C3的普通方程，可得 t的方程，运用韦达定理和参数的几
34、何意义，即可得到所求和 . 答案： (2)C1的标准参数方程为22222xtyt (t为参数 )， 与 C3联立可得 t2+2 2 t-5=0， 令 |PA|=|t1|， |PB|=|t2|，由韦达定理， 则有 t1+t2=-2 2 ， t1t2=-5， 则 21 2 1 2 1 2 1 24 8 4 752P A P B t t t t t t t t . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知 a， b (0， + )，且 2a4b=2. (1)求 21ab的最小值 . 解析： (1)由 2a4b=2可知 a+2b=1，利用“ 1”的代换，即可求 21ab的最小值 . 答案： (1)由 2a
35、4b=2可知 a+2b=1，又因为 2 1 2 1 424baaba b a b a b ， 由 a， b (0， + )可知 444 2 4 8b a b aa b a b g， 当且仅当 a=2b时取等，所以 2a+1b的最小值为 8. (2)若存在 a， b (0， + )，使得不等式 |x-1|+|2x-3| 21ab成立，求实数 x的取值范围 . 解析： (2)分类讨论，解不等式，即可求实数 x的取值范围 . 答案： (2)由题意可知即解不等式 |x-1|+|2x-3| 8， 11 3 2 8xxx ， x 43. 11 3 2328xxx ， x ， 283213xxx ， x 4. 综上 所述 ， x (-， 43 4， + ).
