1、2017年辽宁省沈阳市高考一模数学理 一、选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.已知集合 A=x|x(x-3) 0， B=-1， 0， 1， 2， 3，则 A B=( ) A.-1 B.1， 2 C.0， 3 D.-1， 1， 2， 3 解析：集合 A=x|x(x-3) 0=x|0 x 3， B=-1， 0， 1， 2， 3， A B=1， 2. 答案： B. 2.已知 i是虚数单位，复数 i z=1-2i，则复数 z在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析
2、：利用复数的运算法则、几何意义即可得出 . 答案： C. 3.已知平面向量 a =(3， 4)， b =(x， 12)，若 a b ，则实数 x为 ( ) A.-23B.23C.38D.-38解析：利用向量共线定理即可得出 . 答案： C. 4.命题 p：“ x N+， (12)x 12”的否定为 ( ) A. x N+， (12)x 12B. x N+， (12)x 12C. x N+， (12)x 12D. x N+， (12)x 12解析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可 . 答案： D. 5.已知直线 l： y=k(x+ 3 )和圆 C： x2+
3、(y-1)2=1，若直线 l与圆 C相切，则 k=( ) A.0 B. 3 C. 33或 0 D. 3 或 0 解析：找出圆心坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离 d=r，即可求出 k的值 . 答案： D. 6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( ) A.36+6 10 B.36+3 10 C.54 D.27 解析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案 . 答案： A. 7.将 A， B， C， D 这 4 名同学从左
4、至右随机地排成一排，则“ A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1名同学”的概率是 ( ) A.12B.14C.16D.18解析：先求出基本事件总数 n= 44A，再利用列举法求出“ A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“ A与 B相邻且 A与 C之间恰好有 1名同学”的概率 . 答案： B. 8.中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N=n(modm)，例如 11=2(mod3).现将该
5、问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 n等于 ( ) A.21 B.22 C.23 D.24 解析：该程序框图的作用是求被 3除后的余数为 2，被 5除后的余数为 3的数，在所给的选项中，满足被 3除后的余数为 2，被 5除后的余数为 3的数只有 23. 答案： C. 9.将函数 f(x)=2sin( x+4)( 0)的图象向右平移4个单位，得到函数 y=g(x)的图象，若 y=g(x)在 -6，3上为增函数，则的最大值为 ( ) A.3 B.2 C.32D.54解析：根据平移变换的规律求解 g(x)，结合三角函数 g(x)在 -6，3上为增函数建立不等式即可求解的最大值 . 答
6、案： C. 10.已知 S， A， B， C是球 O表面上的不同点， SA平面 ABC， AB BC， AB=1， BC= 2 ，若球O的表面积为 4，则 SA=( ) A. 22B.1 C. 2 D.32解析：由已知中 S、 A、 B、 C是球 O表面上的点， SA平面 ABC， AB BC，易 S、 A、 B、 C四点均为长宽高分别 SA， AB， BC 三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的表面积公式即可得到答案 . 答案： B. 11.已知双曲线 C： 22xyab=1(a 0， b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点 M 与双曲线 C的焦点不重合，
7、点 M关于 F1， F2 的对称点分别为 A， B，线段 MN的中点在双曲线的右支上，若 |AN|-|BN|=12，则 a=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：根据已知条件，作出图形， MN 的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为 2a，求出|AN|-|BN|，可得结论 . 答案： A. 12.已知函数 f(x)= 222 12l o g 1 1xxxx， ，则函数 F(x)=ff(x)-2f(x)-32的零点个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：令 t=f(x)， F(x)=0，则 f(t)-2t
8、-32=0，分别作出 y=f(x)和直线 y=2x+32，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数 . 答案： A. 二、填空题： (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .把答案填在答题纸上 ) 13.二项式 (x+12x)6的展开式中的常数项为 _. 解析：利用二项式展开式的通项公式，令 x的幂指数等于 0，求得 r的值，即可求得展开式中的常数项 . 答案： 52. 14.若实数 x， y满足不等式组 0 1030xxyxy ，则目标函数 z=3x-y的最大值为 _. 解析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐
9、标，代入目标函数得答案 . 答案： 1. 15.已知 ABC的三个内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，面积为 S，且满足 4S=a2-(b-c)2，b+c=8，则 S的最大值为 _. 解析：满足 S=a2-(b-c)2， b+c=8，利用余弦定理与三角形的面积计算公式可得：2bcsinA=2bc-(b2+c2-a2)=2bc-2bccosA，化为 sinA=1-cosA，与 sin2A+cos2A=1，解得 sinA，进而利用三角形面积公式，再利用基本不等式的性质即可得出 . 答案： 8. 16.设函数 f(x)=g(2x)+x2，曲线 y=g(x)在点 (1， g(1)处的切线
10、方程为 9x+y-1=0，则曲线y=f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 _. 解析：由题意求得 g(1)=-8， g (1)=-9，对 f(x)求导，注意复合函数的导数，求出 f(2)，x=2处切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程 . 答案： x+2y+6=0. 三、解答题 (本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.已知数列 an是公差不为 0的等差数列，首项 a1=1，且 a1， a2， a4成等比数列 . ( )求数列 an的通项公式； ( )设数列 bn满足 bn= 2 nana ，求数列 bn的前 n项和 Tn. 解析： ( )利用
11、等差数列与等比数列的通项公式即可得出 . ( )利用等差数列与等比数的求和公式即可得出 . 答案： ( )设数列 an的公差为 d，由题设， a22=a1a4， 即 (1+d)2=1+3d，解得 d=0或 d=1 又 d 0， d=1，可以求得 an=n ( )由 ( )得 bn=n+2n， Tn=(1+21)+(2+22)+(3+23)+ +(n+2n)=(1+2+3+ +n)+(2+22+ +2n)= 12nn +2n+1-2. 18.为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取 50名 学生进行调查，得到如下 2 2列联表： (单位：人
12、 ). ( )据此样本，能否有 99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？ ( )若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多 )中随机抽取 3人，设 3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量 X，求随机变量 X的概率分布及数学期望 . 附：参考数据： (参考公式： X2= 21 1 2 2 1 2 2 112 12nn n n n nn n n ) 解析： ( )计算 K2，根据临界值表作出结论； ( )分别计算 X=0， 1， 2， 3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差 . 答案： ( ) 2= 2 25 0 3 6 3 3
13、 6 5 0 3 0 0 2 53 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 2 0 3 0 2 =12.5 6.635 有 99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关 . ( )估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为 p=20 250 5X的可能取值为 0， 1， 2， 3，由题意，得 X B(3， 25)， P(X=k)= 3323 55kkkC ， (k=0，1， 2， 3) 随机变量 X的分布列为 随机变量 X的数学期望 E(X)=65. 19.在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 AA1C1C底面 ABC， AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点 O
14、为 AC 中点 . ( )证明： A1O平面 ABC； ( )求二面角 A-A1B-C1的大小 . 解析： ( )推导出 A1O AC，由此能证明 A1O平面 ABC. ( )以 O为原点， OB， OC， OA1所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A-A1B-C1的大小 . 答案： ( )证明： AA1=A1C，且 O 为 AC的中点， A1O AC， 又侧面 AA1C1C底面 ABC，交线为 AC，且 A1O 平面 AA1C1C， A1O平面 ABC. 解： ( )如图，以 O为原点， OB， OC， OA1所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建
15、立空间直角坐标系 . 由已知可得 O(0， 0， 0)， A(0， -1， 0)， A1(0， 0， 3 )， C1(0， 2， 3 )， B( 3 ， 0， 0) AB =( 3 ， 1， 0)，1AB=( 3 ， 0， - 3 )，11AC=(0， 2， 0) 设平面 AA1B的一个法向量为 m =(x1， y1， z1)， 则有 111 113000 3 3 0xym A Bm A B xz 令 x1=1，得 y1= 3 ， z1=1 m =(1， - 3 ， 1) 设平面 A1BC1的法向量为 n =(x2， y2， z2)， 则有 2112212003 3 00ym A Cxzm A
16、 B 令 x2=1，则 y2=0， z2=1， n =(1， 0， 1) cos m ， n = 2 10510 所求二面角的大小为 arccos(- 105). 20.已知椭圆 C： 22xyab=1(a b 0)的左焦点为 F1(- 6 ， 0)， e= 22. ( )求椭圆 C的方程； ( )如图，设 R(x0， y0)是椭圆 C 上一动点，由原点 O 向圆 (x-x0)2+(y-y0)2=4 引两条切线，分别交椭圆于点 P， Q，若直线 OP， OQ 的斜率存在，并记为 k1， k2，求证： k1 k2为定值； ( )在 ( )的条件下，试问 OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；
17、若不是，说明理由 . 解析： ( )由题意得， c， a，推出 b，即可得到椭圆的方程 . ( )由已知，直线 OP： y=k1x， OQ： y=k2x，且与圆 R相切，列出方程，说明 k1， k2是方程 k2-2x0y0k +y02-4=0的两个不相等的实数根，推出 k1k2= 202044yx，通过点 R(x0， y0)在椭圆 C上，化简求解即可 . ( )OP2+OQ2 是定值 18.设直线 OP： y=k1x， OQ： y=k2x，联立 122112 6y k xxy 解得 212211 211 2 112kxyk同理，得 2222221 2 112kxyk，然后计算 OP2+OQ2=
18、x12+y12+x22+y22化简求解即可 . 答案： ( )由题意得， c= 6 ， e= 22，解得 a=2 3 ， b= 22 6ac 椭圆方程为 2212 6xy=1. ( )由已知，直线 OP： y=k1x， OQ： y=k2x，且与圆 R相切， 1 0 0211k x yk=2，化简得 (x02-4)k12-2x0y0k1+y02-4=0 同理 (x02-4)k22-2x0y0k2+y02-4=0， k1， k2是方程 k2-2x0y0k +y02-4=0的两个不相等的实数根 x02-4 0， 0， k1k2= 202044yx点 R(x0， y0)在椭圆 C上，所以 220011
19、2 6xy，即 220016 2yx k1k2= 2020121242xx . ( )OP2+OQ2是定值 18. 设直线 OP： y=k1x， OQ： y=k2x， k1 k2=-12， 联立 122112 6y k xxy 解得21 2122 11 2112121212xkkyk 212211 211 2 112kxyk同理，得 2222221 2 112kxyk由 OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22= 22121 2 1 1 2 11 2 1 2kk ， OP2+OQ2= 22 2 2 211 2 1122 2 2 21 2 1 1111 2 121 2 1 1 2 1 1
20、2 1 1 8 3 61 2 1 2 1 2 1 21122kk k k kk k k kk =18 综上： OP2+OQ2=18. 21.已知函数 f(x)=ex-1-x-ax2. ( )当 a=0时，求证： f(x) 0； ( )当 x 0时，若不等式 f(x) 0恒成立，求实数 a的取值范围 . 解析： ( )求出函数的导数，解关于 x的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，证出结论即可； ( )求出函数的导数，通过讨论 a的范围，求出函数的单调区间， 从而求得实数 a的取值范围 . 答案： ( )a=0时， f(x)=ex-1-x， f (x)=ex-1 当 x (-， 0)时
21、， f (x) 0； 当 x (0， + )时， f (x) 0 故在单调递减，在单调递增， f(x)min=f(0)=0， f(x) 0 ( )f (x)=ex-1-2ax，令 h(x)=ex-1-2ax，则 h (x)=ex-2a. 1)当 2a 1时，在 0， + )上， h (x) 0， h(x)递增， h(x) h(0)， 即 f (x) f (0)=0， f(x)在 0， + )为增函数， f(x) f(0)=0， a 12时满足条件； 2)当 2a 1时，令 h (x)=0，解得 x=ln2a， 当 x 0， ln2a)上， h (x) 0， h(x)单调递减， x (0， ln
22、2a)时，有 h(x) h(0)=0，即 f (x) f (0)=0， f(x)在区间 (0， ln2a)为减函数， f(x) f(0)=0，不合题意 综上得实数 a的取值范围为 (-， 12. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .作答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 .选修 4-4：坐标系与参数方程 22.以直角坐标系 xOy 中，直线 l： y=x，圆 C： 12x cosy sin (为参数 )，以坐标原点为为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . ( )求直线 l与圆 C的极坐标方程； ( )设直线 l与圆 C的交点为 M
23、， N，求 CMN的面积 . 解析： ( )利用三种方程的互化方法，求直线 l与圆 C的极坐标方程； ( )设直线 l与圆 C的交点为 M， N，求出圆心到直线的距离， |MN|，即可求 CMN的面积 . 答案： ( )将 C的参数方程化为普通方程为 (x+1)2+(y+2)2=1，极坐标方程为 2+2 cos +4 sin +4=0 直线 l： y=x的极坐标方程为 =4( R)， ( )圆心到直线的距离 d= 12 222 ， |MN|= 12 1 22， CMN的面积 S= 1 2 122 2 2 . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|x-a|-12x， (a 0).
24、 ( )若 a=3，解关于 x 的不等式 f(x) 0； ( )若对于任意的实数 x，不等式 f(x)-f(x+a) a2+2a恒成立，求实数 a的取值范围 . 解析： ( )将 a的值带入 f(x)，两边平方求出不等式的解集即可； ( )求出 f(x)=|x-a|-|x|+2a，原问题等价于 |a| a2，求出 a的范围即可 . 答案： ( )a=3时， f(x)=|x-3|-12x 0， 即 |x-3| 12x， 两边平方得： (x-3)2 14x2， 解得： 2 x 6， 故不等式的解集是 x|2 x 6； ( )f(x)-f(x+a)=|x-a|-12x-|x|+12(x+a)=|x-a|-|x|+2a， 若对于任意的实数 x，不等式 f(x)-f(x+a) a2+2a恒成立， 即 |x-a|-|x|+2a a2+2a对 x R恒成立， 即 a2 |x-a|-|x|，而 |x-a|-|x| |(x-a)-x|=|a|， 原问题等价于 |a| a2，又 a 0， a a2，解得 a 1.
