1、2017年重庆市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知复数 z满足 (z+i)(1-2i)=2，则复数 z在复平面内的对应点所在象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：由 (z+i)(1-2i)=2，得 2 1 22 2 41 2 1 2 1 2 5 5iz i ii i i ， 2155zi. 复数 z在复平面内的对应点的坐标为 21,55，所在象限是第四象限 . 答案： D. 2.已知集合 A=x|x2-3x+2 0， B=x|1 2x 4，则
2、 A B=( ) A.x|1 x 2 B.x|1 x 2 C.x|1 x 2 D.x|0 x 2 解析： 集合 A=x|x2-3x+2 0=x|1 x 2， B=x|1 2x 4=x|0 x 2， A B=x|1 x 2. 答案： C. 3.若过点 M(1， 1)的直线 l 与圆 (x-2)2+y2=4 相较于两点 A， B，且 M 为弦的中点 AB，则 |AB|为 ( ) A.22 B.4 C. 2 D.2 解析： 圆 (x-2)2+y2=4 的圆心为 C(2， 0)，半径为 2，则 |CM|= 2 ， CM AB， 2 4 2 2 2AB . 答案： A. 4.(2+x)(1-2x)5展开
3、式中， x2项的系数为 ( ) A.30 B.70 C.90 D.-150 解析： (1-2x)5展开式的通项公式为 15 2 rrrT C x ， (2+x)(1-2x)5展开式中， x2项的系数为 221552 2 2 7 0CC . 答案： B. 5.已知函数 f(x) sin(2x+ )(| |2)的图象向左平移6个单位后关于 y轴对称，则函数 f(x)的一个单调递增区间是 ( ) A. 56 12 ，B.63 ，C.36 ，D.632，解析： 函数 f(x)的图象向左平移6个单位后的函数解析式为： s i n 2 3 s2 in6y x x ， 由函数图象关于 y轴对称，可得：32k
4、 ，即6k ， k z， 由于 | |2，可得： =6， 可得： f(x)=sin(2x+6)， 由 2 2 22 6 2k x k ， k Z，解答：36k x k ， k Z， 可得，当 k=1时，函数 f(x)的一个单调 递增区间是： 63 ，. 答案： B. 6.设等差数列 an的前 n项和为 Sn，已知 a1+a2+a3=a4+a5， S5=60，则 a10=( ) A.16 B.20 C.24 D.26 解析： 等差数列 an的前 n项和为 Sn， a1+a2+a3=a4+a5， S5=60， 1113 3 2 75 5 4 2 6 0a d a dad， 解得 a1=8， d=2
5、， a10=8+9 2=26. 答案： D. 7.设双曲线 22221xyab (a 0， b 0)的渐近线与抛物线21 22yx相切，则该双曲线的离心率为 ( ) A. 52B. 5 C. 3 D. 6 解析： 双曲线 22221xyab (a 0， b 0)的渐近线方程为 byxa， 渐近线与抛物线21 22yx相切， 可得21 202 bxxa ， 由 2 14 2 02ba ， 可得 b=2a， 22 5c a b a ， 即离心率 5cea. 答案： B. 8.将 5名学生分到 A， B， C三个宿舍，每个宿舍至少 1人至多 2人，其中学生甲不到 A宿舍的不同分法有 ( ) A.18
6、种 B.36 种 C.48 种 D.60 种 解析： 利用分类计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有 122412CC种， 第二类，当甲和另一个一起时有 1 1 2 22 4 3 2 48C C C A 种， 所以共有 12+48=60种 . 答案： D. 9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析： 第一次循环：2 2log 3S， n=2； 第二次循环：2223l o g l o g34S ， n=3； 第三次循环：222234l o g l o g l o g3 4 5S ， n=4； 第 n次循环：2 2 2 2 22 3 4
7、2l o g l o g l o g l o g l o g3 4 5 1 1nS nn ， n=n+1 令2 2lo g 31n 解得 n 15 输出的结果是 n+1=16 答案： C. 10.设实数 x， y满足约束条件4210xyxyx ，则目标函数1yz x的取值范围是 ( ) A. ( 13022 ， ，B.14 32，C. 1241 ，D. 1223 ，解析： 由约束条件4210xyxyx 作出可行域如图， 联立 12xxy，得 A(1， -1)， 联立 14xxy，得 B(1， 3). 由 011yyz xx ，而 12PAk ， 32PBk . 目标函数1yz x的取值范围是
8、1223 ，. 答案： D. 11.已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且 f(x) f(x)对任意的 x R 恒成立，则下列不等式均成立的是 ( ) A.f(ln2) 2f(0)， f(2) e2f(0) B.f(ln2) 2f(0)， f(2) e2f(0) C.f(ln2) 2f(0)， f(2) e2f(0) D.f(ln2) 2f(0)， f(2) e2f(0) 解析： 令 xfxgxe， 则 0xf x f xgxe ， 故 g(x)在 R递减， 而 ln2 0， 2 0， 故 g(ln2) g(0)， g(2) g(0)， 即 2l n 2 0 2 02 1 1f f f f
9、e ， ， 即 f(ln2) 2f(0)， f(2) e2f(0)， 答案： A. 12.已知函数 20l n 0x xfxxx ， 若关于 x 的方程 f2(x)+f(x)+m=0 有三个不同实数根，则 m的取值范围是 ( ) A. 14mB.m -2 C. 124mD.m 2 解析： 函数 20l n 0x xfxxx ， 的图象如图， 若关于 x的方程 f2(x)+f(x)+m=0有三个不同实数根，令 f(x)=t， 则方程 t2+t+m=0的两根一个大于等于 1而另一个小于 1. 再令 g(t)=t2+t+m，则 g(1) 0，即 2+m 0，得 m -2. 答案： B. 二、填空题
10、(每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ) 13.设向量 a ， b 的夹角为，已知向量 3ax ， ， 3bx ， ，若 2a b b，则=_. 解析： 2 3 3a b x ， ， 3bx ， ； 又 2a b b； 22 3 3 0a b b x ； x= 1； ab 1-3 -2， 2ab ； 21c o s2 2 2abab ； 23. 答案： 23. 14.如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为 a， b，且 a=2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为 _. 解析： 由题意，大正方形面积为 a2+b2=5b2，
11、 三角形的面积为212 ab b， 小正方形面积为 b2， 在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为 15答案： 15. 15.已知 (2， )，且 2 3c o s s i n 2 10 ，则 tan =_. 解析： (2， )， tan 0， 2 2 2 3c o s s i n 2 c o s s i n 2 c o s 2 s i n c o s 10 ， 2 2 2c o s 2 2 s i n c o s 1 2 t a n 3c o s s i n 1 t a n 1 0 ， 1tan3 (舍去 )，或 tan =-7， 答案： -7. 16.设抛物线 y2=4x 的焦
12、点为 F，过点 F 作直线 l 与抛物线分别交于两点 A， B，若点 M 满足 12O M O A O B，过 M 作 y 轴的垂线与抛物线交于点 P， 若 |PF|=2，则 M 点的横坐标为 _. 解析：由题意可知：抛物线 y2=4x的焦点为 F，准线为 x=-1， M是 AB的中点， 设 A(x1， y2)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y=k(x-1)， 将直线方程代入抛物线方程消去 y得： k2x2-(2k2+4)+k2=0， 由根与系数的关系：12 242xx k ，121xx， 又设 P(x0， y0)， 0 1 2 1 21 1 21 122 y y y k x k
13、 x k ， 0 21x k， 212Pkk， 0 211 1 2P F x k ， k2=1， M点的横坐标为 3. 答案： 3. 三、解答题 (本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.已知数列 an的前 n项和为 Sn， 2Sn=3an-2n(n N+). ( )证明数列 an+1是等比数列，并求数列 an的通项公式； ( )设 bn=an+2n+1，求证：3 1121 1 1 1 122 nnbb b b . 解析： ( )再写一式，两式相减，即可证明数列 an+1是等比数列，并求数列 an的通项公式； ( ) 2 1 3 2n n nnnba
14、 ，可得1113 2 2n n n ，即可证明结论 . 答案 ： ( )由 2Sn=3an-2n得： 2Sn-1=3an-1-2(n-1)， 2Sn-2Sn-1=3an-3an-1-2，即： an=3an-1+2 an+1=3(an-1+1)，所以 an+1是以 a1+1 为首项，公比为 3的等比数列， 由 2S1=3a1-2知 a1=2， an+1=3n，即 an=3n-1； ( )证明： bn=an+2n+1=3n+2n， 3n+2n 2n+2n=2n+1， 1113 2 2n n n ， 2 2 2 3 1 1121 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 3 2 3 2 2 2
15、2 2 2n n n nnb b b . 18.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有 40 人，不超过 100km/h 的有 15 人 .在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有 20人，不超过 100km/h的有 25 人 . ( )完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h 的人与性别有关 . 平均车速超过100km/h人数 平均车速不超过100km/h人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶
16、员人数 合计 ( )以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3辆，记这 3辆车中驾驶员为男性且车速超过 100km/h的车辆数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X的分布列和数学期望 . 参考公式与数据： 22 n a d b cXa b c d a c b d ，其中 n=a+b+c+d P(X2 k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析： ( )完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过
17、 100km/h 的人与性别有关 .求出 X2，即可判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h 的人与性别有关 . ( )根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1辆，驾驶员为男性且车速超过 100km/h的车辆的概率， X可取值是 0， 1， 2， 3， X B(3， 25)，求出概率得到分布列，然后求解期望即可 . 答案： ( )平均车速超过 100km/h人数平均车速不超过 100km/h人数合计 平均车速超过100km/h人数 平均车速不超过100km/h人数 合计 男性驾驶员人数 40 15 55 女性驾驶员人数 20 25 45 合计 6
18、0 40 100 因为 22 1 0 0 4 0 2 5 1 5 2 0 8 . 2 4 9 7 . 8 7 96 0 4 0 5 5 4 5X ，所以有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h与性别有关 . ( )根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1辆，驾驶员为男性且车速超过 100km/h的车辆的概率为 40 2100 5.X可取值是 0， 1， 2， 3， X B(3， 25)，有： 03032 3 2 705 5 1 2 5P X C ， 12132 3 5 415 5 1 2() 5P X C ，2123 2 3 3 62 5 5 1 2()
19、 5P X C ，3033 2 3 83 52() 3 1 5P X C ， 分布列为 X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 2 7 5 4 3 6 8 60 1 2 31 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5EX . 19.已知 ABC的三个内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c. ( )若 C=2B，求证： cosA=3cosB-4cos3B； ( )若 bsinB-csinC=a，且 ABC的面积 2 2 24b c aS ，求角 B. 解析： ( )利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，利用分析法即可证明 . ( )利用余弦定
20、理、正弦定理、三角形的面积公式，结合二倍角公式，即可求出 B. 答案 ： ( ) cosA=3cosB-4cos3B， cosA=cosB(3-4cos2B)， 1 c o s 2c o s c o s 3 42BAB ， cosA=cosB-2cosBcos2B， cosA+2cosBcos2B=cosB， C=2B，可得： A= -B-C= -3B， 原式 -cos3B+2cosBcosC=cosB， 2cosBcosC-cosB=cos3B， 2cosBcosC-cosB=cos(B+C)=cosBcoC-sinBsinC， cosBcosC-cosB=-sinBsinC， cosBco
21、sC+sinBsinC=cosB， cos(C-B)=cosB， cos(2B-B)=cosB，显然成立，故得证 cosA=3cosB-4cos3B. ( )在 ABC中， 2 2 24b c aS ， 2 2 21 s i n24b c ab c A ， 11s i n c o s22b c A b c A， tanA=1， A=45 bsinB-csinC=a， 22 2s i n s i n2BC， 2c o s 2 c o s 22CB， 2c o s 2 7 0 2 c o s 22BB （ ）， 2s i n 2 c o s 22BB ， sin(2B+45 )=-1， 2B+45
22、 =270， B=112.5 . 故 B=112.5 . 20.已知 F1， F2分别为椭圆 C： 22132xy 的左、右焦点，点 P(x0， y0)在椭圆 C上 . ( )求12PF PF的最小值； ( )若 y0 0且1 1 2 0PF F F ，已知直线 l： y=k(x+1)与椭圆 C交于两点 A， B，过点 P且平行于直线 l 的直线交椭圆 C于另一点 Q，问：四边形 PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线 l的方程；若不能，请说明理由 . 解析： ( )求出2 2 21 2 0 0 01113P F P F x y x ，即可求12PF PF的最小值； ( )由题意设直线
23、方程，代入椭圆方程，与韦达定理及弦长公式分别求得 |AB|和 |PQ|，由平行四边形的性质可知： |AB|=|PQ|，即可求得 k的值 . 答案 ： ( )由题意可知， F1(-1， 0)， F2(1， 0)， 1 0 01P F x y ， 2 0 01P F x y ， 2 2 21 2 0 0 01113P F P F x y x 033x ， 12PF PF最小值 1. ( )1 1 2 0PF F F ， x0=-1， y0 0， P(-1， 233)， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2). 由直线与椭圆联立得， (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0， 由韦达定理可
24、知： 212 2623kxxk ， 212 23623kxxk. 由弦长公式可知 2212 24 3 1123kA B k x xk ， P(-1， 233)， PQ AB， 直线 PQ的方程为 y- 233=k(x+1). 将 PQ的方程代入椭圆方程可知： 222 2 3 2 32 3 6 3 6 033k x k k k ， xP=-1， 222 3 4 323Qkkxk， 2224 4 31123PQkP Q k x x kk ， 若四边形 PABQ成为平行四边形，则 |AB|=|PQ|， 24 3 1 4 4 3kk ，解得 33k . 故符合条件的直线 l的方程为 3 13yx ，即
25、 3 1 0xy . 21.已知函数 f(x)=ln(x+1)， 212g x x x. ( )求过点 (-1， 0)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程； ( )设 h(x)=af(x)+g(x)，其中 a为非零实数，若 y=h(x)有两个极值点 x1， x2，且 x1 x2，求证：2h(x2)-x1 0. 解析： ( )求出 f(x)的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程； ( )求出 h(x)的解析式和导数，讨论 a 0， 0 a 1， a 1，求出极值点和单调区间，由 2h(x2)-x1 0 等价为 2h(x2)+x2 0，由2
26、1xa，可得 a=1-x22，即证明 2(1-x22)ln(x2+1)+ x22-x2 0，由 0 x2 1，可得 1-x2 0， 即证明 2(1+x2)ln(x2+1)-x2 0，构造函数 t(x)=2(1+x)ln(1+x)-x， 0 x 1，求出导数判断单调性，即可得证 . 答案 ： ( )函数 f(x)=ln(x+1)的导数为 11fx x， 设切点为 (x0， y0)，则切线的斜率为011k x ， 点 (x0， y0)在 f(x)=ln(x+1)上，则 y0=ln(1+x0)， 可得 000l n 1 111xxx ，解得 x0=e-1， 可得切线的斜率为 1e，则切线方程为 y-
27、0=1e(x+1)， 即为 x-ey+1=0； ( )证明： h(x)=af(x)+g(x)=aln(x+1)+12x2-x， 导数 2 1111xaah x xxx ， x -1， 当 a-1 0时，即 a 1 时， h (x) 0， h(x)在 (-1， + )上单调递增； 当 0 a 1时，由 h (x)=0 得，1211x a x a ， 故 h(x)在 (-1， 1 a)上单调递增，在 11aa ， 上单调递减， 在 ( 1 a ， + )上单调递增； 当 a 0时，由 h (x)=0得， x0= 1 a ， h(x)在 11aa ， 上单调递减， 在 ( 1 a ， + )上单调递
28、增 . 当 0 a 1时， h(x)有两个极值点，即1211x a x a ， 可得 x1+x2=0， x1x2=a-1，由 0 a 1得， -1 x1 0， 0 x2 1， 由 2h(x2)-x1 0等价为 2h(x2)+x2 0，即为 2aln(x2+1)+x22-x2 0， 由 x2= 1 a ，可得 a=1-x22，即证明 2(1-x22)ln(x2+1)+x22-x2 0， 由 0 x2 1，可得 1-x2 0， 即证明 2(1+x2)ln(x2+1)-x2 0， 构造函数 t(x)=2(1+x)ln(1+x)-x， 0 x 1， 12 1 2 l n 1 1 1 2 l n 1 0
29、1t x x x xx ， t(x)在 (0， 1)上单调递增， 又 t(0)=0，所以 t(x) 0 在 (0， 1)时恒成立， 即 2(1+x2)ln(x2+1)-x2 0成立 则 2h(x2)-x1 0. 四 、 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.在直角坐标系 xOy中，曲线 C1： co ssin 1xtyt(为参数， t 0)，曲线 C2：2 122 12xsys (s为参数 )，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C3： cos - sin =2，记曲线 C2与 C3的交点为 P. ( )求点 P的直角坐标；
30、( )当曲线 C1与 C3有且只有一个公共点时， C1与 C2相交于 A、 B两点，求 |PA|2+|PB|2的值 . 解析： (I)曲线 C2：2 122 12xsys (s 为参数 )，消去参数 s 可得普通方程 .曲线 C3： cos - sin =2，利用 x= cos， y= sin可得直角坐标方程 . (II)曲线 C1： co ssin 1xtyt(为参数， t 0)，消去参数可得普通方程，由曲线 C1 与 C3有且只有一个公共点，利用圆心到直线的距离等于半径解得 322t .设 A(x1， -x1)， B(x2，-x2).曲线 C1与直线 C2联立化为 4x2+4x-7=0，利
31、用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出 . 答案： (I)曲线 C2：2 122 12xsys (s为参数 )，消去参数 s可得普通方程： x+y=0. 曲线 C3： cos - sin =2，可得直角坐标方程： x-y-2=0. 联立 020xyxy，解得交点 P(1， -1). (II)曲线 C1： co ssin 1xtyt(为参数， t 0)，消去参数可得普通方程： x2+(y-1)2=t2，可得圆心 C1(0， 1)，半径 r=t. 曲线 C1与 C3有且只有一个公共点， 0 1 22 t ，解得 322t . 设 A(x1， -x1)， B(x2， -x2). 联立 2209
32、12xyxy ，化为 4x2+4x-7=0， x1+x2=-1，12 74xx. |PA|2+|PB|2=(x1-1)2 2+(x2-1)2 2=2(x12+x22)-4(x1+x2)+4=2(x1+x2)2-4x1x2-4(x1+x2)+4=2 (-1)2-4 (-1)-4 ( 74)+4=17. 23.设 f(x)=|x-1|+2|x+1|的最小值为 m. ( )求 m的值； ( )设 a， b R， a2+b2=m，求221411ab的最小值 . 解析： ( )通过讨论 x的范围求出函数 f(x)的最小值，从而求出 m的值即可； ( )根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可 . 答案 ： ( )当 x -1时， f(x)=-3x-1 2， 当 -1 x 1时， f(x)=x+3 2， 当 x 1时， f(x)=3x+1 4， 当 x=-1时， f(x)取得最小值 m=2； ( )由题意知 a2+b2=2， a2+1+b2+1=4， 22222 2 2 2 2 2411 4 1 1 4 1 1 91 1 51 1 4 1 1 4 1 1 4ababa b a b a b ， 当且仅当 2222411 =11abab时，即2 13a ，2 53b 等号成立， 2214=11ab的最小值为 94.
