1、2017年青海省西宁市高考二模试卷数学文 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.复数 512ii=( ) A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i 解析： 5 1 25 21 2 1 2 1 2iii ii i i . 答案： C 2.设集合 M=-1， 0， 1， N=a， a2则使 M N=N成立的 a的值是 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.1或 -1 解析： M=-1， 0， 1， N=a， a2， M N=N，211aa，解得 a=-1. 答案： C 3.已知平面向量 a =(1，
2、 2)， b =(-2， m)，且 a b ，则 |b |为 ( ) A.2 5 B.5 C.3 5 D.1 解析： a b ， 平面向量 a =(1， 2)， b =(-2， m)， -2 2-m=0，解得 m=-4. b =(-2， -4)， 222 4 2 5b . 答案： A 4.已知 cos 4)45( ，则 sin2 =( ) A.2425B.725C. 2425D. 725解析：由 cos 4)45( ， 可得： cos4cos +sin4sin =45，则 cos +sin =425， 两边平方，得 1+sin2 =3225，则 sin2 =725. 答案： B 5.某四棱锥的
3、三视图如图所示，其中正 (主 )视图是等腰直角三角形，侧 (左 )视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是 ( ) A.8 B.83C.4 D.43解析：由三视图可知，几何体是一个底面是正方形的四棱锥，且一条侧棱垂直于底面 . 底面对角线的长为 2，底面面积是 S=12 22=2， 四棱锥高为 h=2，所以它的体积是 142233 . 答案： D 6.抛物线 y2=16x 的焦点为 F，点 A 在 y 轴上，且满足 OA OF ，抛物线的准线与 x 轴的交点是 B，则 FA AB =( ) A.-4 B.4 C.0 D.-4或 4 解析：抛物线 y2=16x的焦点为 F(4， 0)
4、， OA OF ，可得 A(0， 4)， 又 B(-4， 0)，即有 FA =(-4， 4)， AB =(-4， -4)， 或 FA =(-4， -4)， AB =(-4， 4)， 则有 FA AB =16-16=0. 答案： C 7.在 ABC中， A， B， C成等差数列是 (b+a-c)(b-a+c)=ac的 ( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： (1)如图，若 A， B， C成等差数列： 2B=A+C，所以 3B=180， B=60； 由余弦定理得， b2=a2+c2-ac； a2+c2-b2=ac； (b+a-c)(b-a
5、+c)=b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=-ac+2ac=ac；即 (b+a-c)(b-a+c)=ac； A， B， C成等差数列是 (b+a-c)(b-a+c)=ac的充分条件； (2)若 (b+a-c)(b-a+c)=ac，则： b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=ac； a2+c2-b2=ac； 由余弦定理： a2+c2-b2=2ac cosB； cosB=12； B=60； 60 -A=180 -(A+60 )-60；即 B-A=C-B； A， B， C成等差数列； A， B， C成等差数列是 (b+a-c)(b-a+c)=ac的必要条件； 综上得， A， B，
6、C成等差数列是 (b+a-c)(b-a+c)=ac的充要条件 . 答案： C 8.现有四个函数： y=x sinx； y=x cosx； y=x |cosx|； y=x 2x 的图象 (部分 )如图： 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 ( ) A. B. C. D. 解析：根据 y=x sinx为偶函数，它的图象关于 y轴对称，故第一个图象即是； 根据 y=x cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在 (0，2)上的值为正数， 在 (2， )上的值为负数，故第三个图象满足； 根据 y=x |cosx|为奇函数，当 x 0时， f(x) 0，故第四个图象满足； y=x 2x，
7、为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第 2个图象满足 . 答案： D 9.若偶函数 f(x)在 (-， 0上单调递减， a=f(log23)， b=f(log45)， c=f( 32 )，则 a， b， c满足 ( ) A.a b c B.b a c C.c a b D.c b a 解析：偶函数 f(x)在 (-， 0上单调递减， f(x)在 0， + )上单调递增， 2 log23=log49 log45， 32 2， f(log45) f(log23) f( 32 )， b a c. 答案： B. 10.函数 y=cos( x+ )( 0， 0 )为奇函数，该函数的部分图象如图所示，
8、A、 B分别为最高点与最低点，且 |AB|=2 2 ，则该函数图象的一条对称轴为 ( ) A.x=2B.x=3C.x=2 D.x=1 解析：由函数 y=cos( x+ )( 0， 0 )为奇函数，可得 =k +2， k z. 再结合 0，可得 =2. 再根据 AB2=8=4+()2，求得 =2，函数 y=cos(22x)=-sin2x，故它的一条对称轴方程为 x=1. 答案： D 11.椭圆 22xyab=1(a b 0)的中心在原点， F1， F2分别为左、右焦点， A， B分别是椭圆的上顶点和右顶点， P是椭圆上一点，且 PF1 x轴， PF2 AB，则此椭圆的离心率等于 ( ) A.13
9、B.12C. 22D. 55解析：如图所示，把 x=-c代入椭圆方程 22xyab=1(a b 0)，可得 P(-c， 2ba)，又 A(0， b)， B(a， 0)， F2(c， 0)， kAB= ba， kPF2= 22bac， PF2 AB， 22bba ac ，化为： b=2c. 4c2=b2=a2-c2，即 a2=5c2， e= 2255ca . 答案： D 12.已知定义在 R上的函数 f(x)满足： f(x)=f(4-x)， f(x+2)=f(x)，在 0， 1上表达式为 f(x)=2x-1，则函数 g(x)=f(x)-log3|x|的零点个数为 ( ) A.4 B.5 C.6
10、D.7 解析：函数 f(x)满足： f(x)=f(4-x)， f(x+2)=f(2-x)， 函数的对称轴为 x=2， f(x+2)=f(x)，函数的周期为 2， 在 0， 1上表达式为 f(x)=2x-1， 做出函数的图象和 y=log3|x|的图象， 通过图象得出交点的个数为 4. 答案： A 二、填空题 (每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ) 13.2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时， 甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海； 乙说：我没去过茶卡天空之境； 丙说：我们三人去过
11、同一个地方 . 由此可判断乙去过的地方为 . 解析：由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只能是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一个地方， 则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖 . 答案：陆心之海青海湖 14.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” .利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” .如图 是利用刘徽的“割圆术”思想设计
12、的一个程序框图，则输出 n的值为 .(参考数据： sin15 =0.2588， sin7.5=0.1305) 解析：模拟执行程序，可得 n=6， S=3sin60 =332， 不满足条件 S 3.10， n=12， S=6 sin30 =3， 不满足条件 S 3.10， n=24， S=12 sin15 =12 0.2588=3.1056， 满足条件 S 3.10，退出循环，输出 n的值为 24. 答案： 24 15.在区间 -1， 1上随机取一个数 k，使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为 . 解析：圆 x2+y2=1 的圆心为 (0， 0)， 圆心到直线 y=k(
13、x+2)的距离为221kk ， 要使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1有公共点，则221kk 1解得 33k ， 在区间 -1， 1上随机取一个数 k，使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为 3331 1 3. 答案： 3316.已知正四棱锥 S-ABCD中， SA=2 3 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 . 解 析 ： 设 底 面 边 长 为 a ， 则 高 h= 2 22 2 1222aaSA ， 所 以 体 积 V=62411123 3 2aa h a， 设 y=12a4-12a6，则 y =48a3-3a5，当 y取最值时， y =48a3-3a5
14、=0，解得 a=0 或 a=4时，当a=4时，体积最大，此时 h= 2122a 2. 答案： 2 三、解答题 (本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.已知 an是等差数列， bn是等比数列，且 b2=3， b3=9， a1=b1， a14=b4. (1)求 an的通项公式； (2)设 cn=an+bn，求数列 cn的前 n 项和 . 解析： (1)设 an是公差为 d 的等差数列， bn是公比为 q 的等比数列，运用通项公式可得q=3， d=2，进而得到所求通项公式； (2)求得 cn=an+bn=2n-1+3n-1，再由数列的求和方法：分组求和，
15、运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和 . 答案： (1)设 an是公差为 d的等差数列， bn是公比为 q的等比数列， 由 b2=3， b3=9，可得 q=32bb =3， bn=b2qn-2=3 3n-2=3n-1； 即有 a1=b1=1， a14=b4=27，则 d= 14 113aa=2，则 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1； (2)cn=an+bn=2n-1+3n-1， 则数列 cn的前 n项和为 (1+3+ +(2n-1)+(1+3+9+ +3n-1)= 21 1 3 3 122 1 3 2nnn n n . 18.为选拔选手参加“中国谜语大会”，
16、某中学举行了一次“谜语大赛”活动 .为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数 (得分取正整数，满分为 100 分 )作为样本(样本容量为 n)进行统计 .按照 50， 60)， 60， 70)， 70， 80)， 80， 90)， 90， 100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图 (图中仅列出了得分在 50， 60)， 90， 100的数据 ). ( )求样本容量 n和频率分布直方图中的 x、 y的值； ( )在选取的样本中，从竞赛成绩在 80分以上 (含 80分 )的学生中随机抽取 2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的 2名学生中至少有一人得分在 90， 1
17、00内的概率 . 解析： ( )由样本容量和频数频率的关系易得答案； ( )由题意可知，分数在 80， 90)内的学生有 5人，记这 5人分别为 a1， a2， a3， a4， a5，分数在 90， 100内的学生有 2人，记这 2人分别为 b1， b2，列举法易得 . 答 案 ： ( ) 由 题 意 可 知 ， 样 本 容 量 n 80.016 10=50 ， y 250 10=0.004 ，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030； ( )由题意可知，分数在 80， 90)内的学生有 5人，记这 5人分别为 a1， a2， a3， a4， a5， 分数在
18、90， 100内的学生有 2人，记这 2人分别为 b1， b2.抽取的 2名学生的所有情况有 21种，分别为： (a1， a2)， (a1， a3)， (a1， a4)， (a1， a5)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a2， a3)， (a2，a4)， (a2， a5)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a3， a4)， (a3， a5)， (a3， b1)， (a3， b2)， (a4， a5)， (a4，b1)， (a4， b2)， (a5， b1)， (a5， b2)， (b1， b2). 其中 2名同学的分数都不在 90， 100内的情况有 10 种，分别为：
19、 (a1， a2)， (a1， a3)， (a1， a4)， (a1， a5)， (a2， a3)， (a2， a4)， (a2， a5)， (a3， a4)， (a3， a5)，(a4， a5). 所抽取的 2名学生中至少有一人得分在 90， 100内的概率 P= 10 11121 21. 19.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为边 AD 上的点，点 F 为边 CD 的中点， AB=AE=23AD=4，现将 ABE沿 BE边折至 PBE 位置，且平面 PBE平面 BCDE. (1)求证：平面 PBE平面 PEF； (2)求四棱锥 P-BCEF的体积 . 解析： (1)在 Rt DEF 中
20、，由已知可得 DEF=45，在 Rt ABE中，得到 AEB=45，则可得到 EF BE，结合平面 PBE平面 BCDE，可得 EF平面 PBE，从而得到平面 PBE平面 PEF； (2)过 P做 PO BE，由面面垂直的性质及线面垂直的判定得到 PO平面 BCDE，即 PO为四棱锥 P-BCFE的高 .把 S 四边形 BCFE转化为 S 矩形 ABCD-S ABE-S DEF，求值后代入棱锥的体积公式得答案 . 答案： (1)在 Rt DEF 中， ED=DF， DEF=45 . 在 Rt ABE中， AE=AB， AEB=45， BEF=90，则 EF BE. 平面 PBE平面 BCDE，
21、且平面 PBE平面 BCDE=BE， EF平面 PBE， EF 平面 PEF，平面 PBE平面 PEF； (2)过 P做 PO BE， PO 平面 PBE，平面 PBE平面 BCDE且平面 PBE平面 BCDE=BE， PO平面 BCDE， 四棱锥 P-BCFE的高 h=PO=2 2 .S 四边形 BCFE=S 矩形 ABCD-S ABE-S DEF=6 4-12 4 4-12 2 2=14， 则 VP-BCFE=13S 四边形 BCFE h= 1 2 8 21 4 2 233 . 20.已知椭圆 C： 22xyab=1(a b 0)的右焦点为 F(1， 0)，且点 P(1， 32)在椭圆 C
22、 上， O为坐标原点 . ( )求椭圆 C的标准方程； ( )设过定点 T(0， 2)的直线 l与椭圆 C交于不同的两点 A、 B，且 AOB为锐角，求直线 l的斜率 k的取值范围 . 解析： ( )利用已知条件求出 c=1，得到 a2=b2+1.通过点 P(1， 32)在椭圆 C上，得到221 94ab=1，可解椭圆 C的标准方程 . ( )设直线 l的方程为 y=kx+2，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及 x1x2+y1y2 0.判别式的符号，求解 k的范围即可 . 答案： ( )由题意，得 c=1，所以 a2=b2+1. 因为点 P(
23、1， 32)在椭圆 C上，所以221 94ab =1，可解得 a2=4， b2=3. 则椭圆 C的标准方程为 2243xy=1. ( )设直线 l的方程为 y=kx+2，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 221432xyy kx ，得 (4k2+3)x2+16kx+4=0. 因为 =48(4k2-1) 0，所以 k2 14， 由根与系数的关系，得 x1+x2=21643kk ， x1x2=2443k . 因为 AOB为锐角，所以 OA OB 0，即 x1x2+y1y2 0. 所以 x1x2+(kx1+2)(kx2+2) 0， 即 (1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
24、0， 222 2 24 1 6 1 2 1 61 2 4 0 04 3 4 3 4 3kkkkk k k ， 所以 k2 43. 综上 14 k2 43，解得 2 3 132k 或 1 2 323k . 21.已知函数 f(x)=aln(x+1)-ax-x2. (1)若 x=1为函数 f(x)的极值点，求 a的值； (2)讨论 f(x)在定义域上的单调性 . 解析： (1)求函数的导数，根据 x=1为函数 f(x)的极值点，建立方程 f (1)=0，进行求解即可 . (2)求函数的导数，讨论 a的取值范围，结合函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可 . 答案： (1)因为 f (x)=1ax-
25、a-2x， 令 f (1)=0，即2a-a-2=0，解得 a=-4， 经检验：此时， x (0， 1)， f (x) 0， f(x)递增； x (1， + )， f (x) 0， f(x)递减， f(x)在 x=1处取极大值 .满足题意 . (2)f (x)=222211axxa axxx ， 令 f (x)=0，得 x=0，或 x=- 22a，又 f(x)的定义域为 (-1， + ). 当 - 22a -1，即 a 0时，若 x (-1， 0)，则 f (x) 0， f(x)递增； 若 x (0， + )，则 f (x) 0， f(x)递减； 当 -1 - 22a 0，即 -2 a 0时，若 x (-1， - 22a)，则 f (x) 0， f(x)递减； 若 x (- 22a， 0)，则 f (x) 0， f(x)递增；若 x (0， + )，则 f (x) 0， f(x)递减； 当 - 22a=0，即 a=-2时， f (x) 0， f(x)在 (-1， + )内递减， 当 - 22a 0，即 a -2时，若 x (-1， 0)，则 f (x) 0， f(x)递减； 若 x (0， - 22a)，则 f (x) 0， f(x)递增； 若 x (- 22a， + )，则 f (x) 0， f(x)递减 .
