1、2016年上海市中考真题数学 一、选择题：本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分 1. 如果 a与 3互为倒数，那么 a是 ( ) A.-3 B.3 C.-13D.13解析：根据乘积为 1的两个数互为倒数，可得答案 . 答案： D. 2. 下列单项式中，与 a2b是同类项的是 ( ) A.2a2b B.a2b2 C.ab2 D.3ab 解析： A、 2a2b与 a2b 所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确； B、 a2b2与 a2b所含字母相同，但相同字母 b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误； C、 ab2与 a2b所含字母相同，但相同字母 a的指数不相同，不
2、是同类项，本选项错误； D、 3ab与 a2b所含字母相同，但相同字母 a的指数不相同，不是同类项，本选项错误 . 答案： A. 3. 如果将抛物线 y=x2+2向下平移 1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ( ) A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=x2+1 D.y=x2+3 解析：抛物线 y=x2+2向下平移 1个单位， 抛物线的解析式为 y=x2+2-1，即 y=x2+1. 答案： C. 4. 某校调查了 20 名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这 20 名男生该周参加篮球运动次数的平均数是 ( ) A.3次 B.3.5次 C.4次 D.4.
3、5次 解析： (2 2+3 2+4 10+5 6) 20 =(4+6+40+30) 20 8020 =4(次 ). 答：这 20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是 4次 . 答案： C. 5. 已知在 ABC中， AB=AC， AD 是角平分线，点 D在边 BC上，设 BC a ， AD b ，那么向量 AC 用向量 a 、 b 表示为 ( ) A.12abB.12abC. 12abD. 12ab解析：如图所示： 在 ABC中， AB=AC， AD是角平分线， BD=DC， BC a ， 12DC a， AD b ， 12A C A D D C a b . 答案： A. 6. 如图，在 Rt
4、 ABC中， C=90， AC=4， BC=7，点 D在边 BC 上， CD=3， A的半径长为3， D与 A相交，且点 B在 D外，那么 D的半径长 r的取值范围是 ( ) A.1 r 4 B.2 r 4 C.1 r 8 D.2 r 8 解析：连接 AD， AC=4， CD=3， C=90， AD=5， A的半径长为 3， D与 A相交， r 5-3=2， BC=7， BD=4， 点 B在 D外， r 4， D的半径长 r的取值范围是 2 r 4. 答案： B. 二、填空题：本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分 7. 计算： a3 a=_. 解析：根据同底数幂相除，底数不变指数相减进
5、行计算即可求解 . 答案： a2. 8. 函数 y= 32x的定义域是 _. 解析：直接利用分式有意义的条件得出答案 . 答案： x 2. 9. 方程 1x =2的解是 _. 解析：方程两边平方得， x-1=4， 解得， x=5， 把 x=5代入方程，左边 =2，右边 =2， 左边 =右边， 则 x=5是原方程的解 . 答案： x=5. 10. 如果 a=12， b=-3，那么代数式 2a+b的值为 _. 解析：当 a=12， b=-3时， 2a+b=1-3=-2. 答案： -2 11. 不等式组 2510xx的解集是 _. 解析： 2510xx， 解得 x 52， 解得 x 1， 则不等式组
6、的解集是 x 1. 答案： x 1. 12. 如果关于 x的方程 x2-3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数 k的值是 _. 解析：关于 x的方程 x2-3x+k=0有两个相等的实数根， =(-3)2-4 1 k=9-4k=0， 解得： k=94. 答案： 94. 13. 已知反比例函数 y=kx(k 0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内， y的值随着 x的值增大而减小，那么 k的取值范围是 _. 解析：反比例函数 y=kx(k 0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内， y的值随着 x的值增大而减小， k的取值范围是： k 0. 答案： k 0. 14. 有一枚材质均匀的正方体骰
7、子，它的六个面上分别有 1 点、 2 点、 6 点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是 3的倍数的概率是 _. 解析：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是 3的倍数的概率 =2163. 答案： 13. 15. 在 ABC 中，点 D、 E 分别是边 AB、 AC 的中点，那么 ADE 的面积与 ABC 的面积的比是 _. 解析：如图， AD=DB， AE=EC， DE BC.DE=12BC， ADE ABC， 2 14A D EABCS DES B C（ ） . 答案： 14. 16. 今年 5 月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图 1和图 2 是收集数据后绘
8、制的两幅不完整统计图 .根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是 _. 解析：由题意，得 4800 40%=12000， 公交 12000 50%=6000. 答案： 6000. 17. 如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30，测得底部 C 的俯角为60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD为 90米，那么该建筑物的高度 BC约为 _米 .(精确到 1米，参考数据： 3 1.73) 解析：由题意可得： tan30 = 39 0 3B D B DAD ， 解得： BD=30 3 ， tan60 =90 3D C D CAD ， 解得： DC=90
9、 3 ， 故该建筑物的高度为： BC=BD+DC=120 3 208(m). 答案： 208. 18. 如图，矩形 ABCD中， BC=2，将矩形 ABCD绕点 D顺时针旋转 90，点 A、 C分别落在点A、 C处 .如果点 A、 C、 B在同一条直线上，那么 tan ABA的值为 _. 解析：设 AB=x，则 CD=x， A C=x+2， AD BC， C D A DBC A C ，即 222x x ， 解得， x1= 5 -1， x2=- 5 -1(舍去 )， AB CD， ABA = BA C， tan BA C= 2 5 125 1 1BCAC ， tan ABA = 512. 答案：
10、 512. 三、解答题：本大题共 7小题，共 78分 19. 计算： | 3 -1|- 142- 12 +(13)-2. 解析：利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解 . 答案：原式 = 3 -1-2-2 3 +9=6- 3 20. 解方程：214 124xx. 解析：根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1进行计算即可 . 答案：去分母得， x+2-4=x2-4， 移项、合并同类项得， x2-x-2=0， 解得 x1=2， x2=-1， 经检验 x=2是增根，舍去； x=-1是原方程的根， 所以原方程的根是 x=-1. 21. 如图，在
11、 Rt ABC 中， ACB=90， AC=BC=3，点 D 在边 AC 上，且 AD=2CD， DE AB，垂足为点 E，联结 CE，求： (1)线段 BE的长； (2) ECB的余切值 . 解析： (1)由等腰直角三角形的性质得出 A= B=45，由勾股定理求出 AB=3 2 ，求出ADE= A=45，由三角函数得出 AE= 2 ，即可得出 BE的长； (2)过点 E作 EH BC，垂足为点 H，由三角函数求出 EH=BH=BE cos45 =2，得出 CH=1，在Rt CHE中，由三角函数求出 cot ECB= 12CHEH即可 . 答案： (1) AD=2CD， AC=3， AD=2，
12、 在 Rt ABC中， ACB=90， AC=BC=3， A= B=45， AB= 2 2 2 23 3 3 2A C B C ， DE AB， AED=90， ADE= A=45， AE=AD cos45 =2 2 =22， BE=AB-AE=3 2 2 = 2 2 ， 即线段 BE的长为 2 2 ； (2)过点 E作 EH BC，垂足为点 H，如图所示： 在 Rt BEH中， EHB=90， B=45， EH=BH=BE cos45 =2 2 22=2， BC=3， CH=1， 在 Rt CHE中， cot ECB= 12CHEH， 即 ECB的余切值为 12. 22. 某物流公司引进 A
13、、 B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运 5小时， A种机器人于某日 0时开始搬运，过了 1小时， B种机器人也开始搬运，如图，线段 OG表示 A种机器人的搬运量 yA(千克 )与时间 x(时 )的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求 yB关于 x的函数解析式； (2)如果 A、 B两种机器人连续搬运 5个小时，那么 B种机器人比 A种机器人多搬运了多少千克？ 解析： (1)设 yB关于 x 的函数解析式为 yB=kx+b(k 0)，将点 (1， 0)、 (3， 180)代入一次函数函数的解析式得到关于 k， b的方程组，从而可求得函数的解析式；
14、(2)设 yA关于 x 的解析式为 yA=k1x.将 (3， 180)代入可求得 yA关于 x 的解析式，然后将 x=6，x=5代入一次函数和正比例函数的解析式求得 yA， yB的值，最后求得 yA与 yB的差即可 . 答案： (1)设 yB关于 x的函数解析式为 yB=kx+b(k 0). 将点 (1， 0)、 (3， 180)代入得： 03 180kbkb， 解得： k=90， b=-90. 所以 yB关于 x的函数解析式为 yB=90x-90(1 x 6). (2)设 yA关于 x的解析式为 yA=k1x. 根据题意得： 3k1=180. 解得： k1=60. 所以 yA=60x. 当
15、x=5时， yA=60 5=300(千克 )； x=6时， yB=90 6-90=450(千克 ). 450-300=150(千克 ). 答：若果 A、 B两种机器人各连续搬运 5小时， B种机器人比 A种机器人多搬运了 150千克 . 23. 已知：如图， O 是 ABC的外接圆， AB AC ，点 D在边 BC 上， AE BC， AE=BD. (1)求证： AD=CE； (2)如果点 G在线段 DC 上 (不与点 D重合 )，且 AG=AD，求证：四边形 AGCE是平行四边形 . 解析： (1)根据等弧所对的圆周角相等，得出 B= ACB，再根据全等三角形的判定得 ABD CAE，即可得
16、出 AD=CE； (2)连接 AO 并延长，交边 BC 于点 H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出 AH BC，再由垂径定理得 BH=CH，得出 CG 与 AE 平行且相等 . 答案： (1)在 O中， AB AC ， AB=AC， B= ACB， AE BC， EAC= ACB， B= EAC， 在 ABD和 CAE中， AB CAB EACBD AE ， ABD CAE(SAS)， AD=CE； (2)连接 AO并延长，交边 BC于点 H， AB AC ， OA 为半径， AH BC， BH=CH， AD=AG， DH=HG， BH-DH=CH-GH，即 BD=CG， BD=AE， CG
17、=AE， CG AE， 四边形 AGCE是平行四边形 . 24. 如图，抛物线 y=ax2+bx-5(a 0)经过点 A(4， -5)，与 x轴的负半轴交于点 B，与 y轴交于点 C，且 OC=5OB，抛物线的顶点为点 D. (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结 AB、 BC、 CD、 DA，求四边形 ABCD的面积； (3)如果点 E在 y轴的正半轴上，且 BEO= ABC，求点 E的坐标 . 解析： (1)先得出 C 点坐标，再由 OC=5BO，得出 B 点坐标，将 A、 B 两点坐标代入解析式求出 a， b； (2)分别算出 ABC和 ACD 的面积，相加即得四边形 ABCD的面积；
18、 (3)由 BEO= ABC可知， tan BEO=tan ABC，过 C作 AB 边上的高 CH，利用等面积法求出CH，从而算出 tan ABC，而 BO 是已知的，从而利用 tan BEO=tan ABC 可求出 EO 长度，也就求出了 E点坐标 . 答案： (1)抛物线 y=ax2+bx-5与 y轴交于 点 C， C(0， -5)， OC=5. OC=5OB， OB=1， 又点 B在 x轴的负半轴上， B(-1， 0). 抛物线经过点 A(4， -5)和点 B(-1， 0)， 1 6 4 5 550abab ，解得 14ab， 这条抛物线的表达式为 y=x2-4x-5. (2)由 y=x
19、2-4x-5，得顶点 D的坐标为 (2， -9). 连接 AC， 点 A的坐标是 (4， -5)，点 C的坐标是 (0， -5)， 又 S ABC=12 4 5=10， S ACD=12 4 4=8， S 四边形 ABCD=S ABC+S ACD=18. (3)过点 C作 CH AB，垂足为点 H. S ABC=12 AB CH=10， AB=5 2 ， CH=2 2 ， 在 RT BCH中， BHC=90， BC= 26 ， BH= 22 3 2B C C H， tan CBH= 23CHBH. 在 RT BOE中， BOE=90， tan BEO=BOEO， BEO= ABC， 23BOE
20、O，得 EO=32， 点 E的坐标为 (0， 32). 25. 如图所示，梯形 ABCD 中， AB DC， B=90， AD=15， AB=16， BC=12，点 E 是边 AB 上的动点，点 F是射线 CD上一点，射线 ED和射线 AF交于点 G，且 AGE= DAB. (1)求线段 CD的长； (2)如果 AEC是以 EG 为腰的等腰三角形，求线段 AE的长； (3)如果点 F在边 CD上 (不与点 C、 D重合 )，设 AE=x， DF=y，求 y关于 x的函数解析式，并写出 x的取值范围 . 解析： (1)作 DH AB于 H，如图 1，易得四边形 BCDH为矩形，则 DH=BC=1
21、2， CD=BH，再利用勾股定理计算出 AH，从而得到 BH 和 CD的长； (2)分类讨论：当 EA=EG时，则 AGE= GAE，则判断 G点与 D点重合，即 ED=EA，作 EM AD于 M，如图 1，则 AM=12AD=152，通过证明 Rt AME Rt AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当 GA=GE时，则 AGE= AEG，可证明 AE=AD=15， (3)作 DH AB 于 H，如图 2，则 AH=9， HE=AE-AH=x-9，先利用勾股定理表示出 DE= 221 2 9x ，再证明 EAG EDA，则利用相似比可表示出 EG= 2221 2 9xx，则可表示出 DG，
22、然后证明 DGF EGA，于是利用相似比可表示出 x和 y的关系 . 答案： (1)作 DH AB于 H，如图 1， 易得四边形 BCDH为矩形， DH=BC=12， CD=BH， 在 Rt ADH中， AH= 2 2 2 21 5 1 2A D D H =9， BH=AB-AH=16-9=7， CD=7； (2)当 EA=EG时，则 AGE= GAE， AGE= DAB， GAE= DAB， G点与 D点重合，即 ED=EA， 作 EM AD于 M，如图 1，则 AM=12AD=152， MAE= HAD， Rt AME Rt AHD， AE： AD=AM： AH，即 AE： 15=152：
23、 9，解得 AE=252； 当 GA=GE时，则 AGE= AEG， AGE= DAB， 而 AGE= ADG+ DAG， DAB= GAE+ DAG， GAE= ADG， AEG= ADG， AE=AD=15， 综上所述， AEC是以 EG为腰的等腰三角形时，线段 AE的长为 252或 15； (3)作 DH AB于 H，如图 2，则 AH=9， HE=AE-AH=x-9， 在 Rt ADE中， DE= 22 2 21 2 9D H H E x ， AGE= DAB， AEG= DEA， EAG EDA， EG： AE=AE： ED，即 EG： x=x： 221 2 9x ， EG= 2221 2 9xx， DG=DE-EG= 222221 2 91 2 9xxx ， DF AE， DGF EGA， DF： AE=DG： EG，即 y： x=( 222221 2 91 2 9xxx )： 2221 2 9xx， y= 225 18xx(9 x 252).
