1、2016年上海市嘉定区高考一模试卷数学文 一 .填空题 (本大题满分 56 分 )本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4分，否则一律得零分 . 1. 221lim 22nnnn= . 解析：分式的分子分母同时除以 n2，利用极限的性质能求出结果 . 221lim 22nnnn= 2211lim 122nnnn=12. 答案： 12. 2.设集合 A=x|x2-2x 0， x R， B=x| 11xx 0， x R，则 A B= . 解析：集合 A=x|x2-2x 0， x R=x|x 0或 x 2， x R， B=x| 11xx 0 ， x R=x|
2、-1 x 1， x R， A B=x|-1 x 0， x R(或 -1， 0). 答案： x|-1 x 0， x R(或 -1， 0) 3.若函数 f(x)=ax(a 0且 a 1)的反函数的图象过点 (3， -1)，则 a= . 解析：函数 f(x)=ax(a 0且 a 1)的反函数的图象过点 (3， -1)， 3=a-1，解得 a=13. 答案： 134.已知一组数据 6， 7， 8， 9， m的平均数是 8，则这组数据的方差是 . 解析：一组数据 6， 7， 8， 9， m的平均数是 8， 15(6+7+8+9+m)=8，解得 m=10， 这组数据的方差 S2=15(6-8)2+(7-8
3、)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2=2. 答案： 2 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， M 为棱 A1B1的中点，则异面直线 AM 与 B1C 所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示 ). 解析：以 D为原点， DA为 x轴， DC为 y轴， DD1为 z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD-A1B1C1D1棱长为 2， 则 A(2， 0， 0)， M(2， 1， 2)， B1(2， 2， 2)， C(0， 2， 0)， AM =(0， 1， 2)， 1BC=(-2， 0， 2)， 设异面直线 AM与 B1C所成的角为，114 10c o s58|5A M
4、 B CA M B C . =arccos 105.异面直线 AM与 B1C所成的角为 arccos 105. 答案： arccos 105. 6.若圆锥的底面周长为 2，侧面积也为 2，则该圆锥的体积为 . 解析： 圆锥的底面周长为 2，圆锥的底面半径 r=1，设圆锥母线为 l，则 rl=2， l=2， 圆锥的高 h= 22lr = 3 .圆锥的体积 V=13 r2h= 33. 答案： 33. 7.已知 sin cos21=0，则 sin2 = . 解析 ： sin cos21=0， sin -2cos =0， sin2 +cos2 =5cos2 =1，解得 cos = 55， 当 cos
5、=- 55时， sin =2cos =-255， sin2 =2sin cos =2 (-255) (- 55)=45， 当 cos = 55时， sin =2cos =255， sin2 =2sin cos =2 255 55=45， 故 sin2 =45. 答案： 45. 8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 S值是 . 解析：模拟执行程序，可得 k=1， S=0 满足条件 k 2015， S= 112， k=2. 满足条件 k 2015， S= 112+ 123， k=3. 满足条件 k 2015， S= 112+ 123+ + 12014 2015， k=2015. 满足条件
6、k 2015， S= 112+ 123+ + 12014 2015+ 12015 2016， k=2016. 不满足条件 k 2015，退出循环，输出 S的值 . 由于 S= 112+ 123+ + 12014 2015+ 12015 2016=1-12+12-13+13- + 12015- 12016=1-12016 =20152016 . 答案： 20152016. 9.过点 P(1， 2)的直线与圆 x2+y2=4相切，且与直线 ax-y+1=0垂直，则实数 a 的值为 . 解析：当 a=0 时，直线 ax-y+1=0，即直线 y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点 P(1，2)， 故
7、有所求的直线为 x=1，此时，不满足所求直线与圆 x2+y2=4相切，故 a 0. 故要求的直线的斜率为 1a，要求的直线的方程为 y-2=1a(x-1)，即 x-ay+2a-1=0. 再根据圆心 O到 x-ay+2a-1=0的距离等于半径 2，可得20 0 2 11aa =2，求得 a=-34. 答案： -34. 10.从 3 名男同学， 2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛，则选到的 2 名同学中至少有 1 名男同学的概率是 . 解析：从 3名男同学， 2名女同学中任选 2人参加知识竞赛， 基本事件总数 n= 25C=10， 选到的 2名同学中至少有 1名男同学的对立事件是选到两名女同学
8、， 选到的 2名同学中至少有 1名男同学的概率： p= 222591 10CC. 答案： 910. 11.设 PA =(k， 12)， PB =(4 ， 5)， PC =(10， k)，则 k= 时，点 A， B， C共线 . 解析 ： PA =(k， 12)， PB =(4， 5)， PC =(10， k)， AB =(4-k， -7)， BC =(6， k-5)； 又 AB 与 BC 共线， (4-k)(k-5)-(-7) 6=0， 即 k2-9k-22=0，解得 k=-2或 k=11；当 k=-2或 11时，点 A， B， C共线 . 答案： -2或 11. 12.已知 1 2 2 1
9、122 2 2 nnn n nC C C n=80，则 n= . 解析：因为 1 2 2 1 11 2 2 2 2n n nn n nC C C =(1+2)n=80+1=81，所以 3n=81， n=4. 答案： 4 13.设数列 an满足 a1=2， an+1=1-1na，记数列前 n项的积为 Pn，则 P2016的值为 . 解析： 1=2， an+1=1-1na， a2=12， a3=-1， a4=2， an+3=an.a1a2a3=-1.数列前 2016项的积 P2016=(-1)672=1. 答案： 1. 14.对于函数 y=f(x)，若存在定义域 D内某个区间 a， b，使得 y=
10、f(x)在 a， b上的值域也为 a， b，则称函数 y=f(x)在定义域 D 上封闭，如果函数 f(x)= 41 xx 在 R 上封闭，则b-a= . 解析： f(x)= 41 xx = )()440141xxxx ， ， ， ， ，设 0 x1 x2， 则 f(x1)-f(x2)= 21124 11xxxx 0，故 f(x)在 0， + )上是 单调递减函数，又 f(x)= 41 xx， f(-x)=-f(x)， f(x)是奇函数 . 所以 f(x)在 R上是单调递减函数， 而 x 0， + )时， f(x)值域为 (-4， 0， x (- .0)时， f(x)值域为 (0， 4) 要使得
11、 y=f(x)在 a， b上的值域也为 a， b，则 a 0 b， 由 f a bf b a，得441441baab ，得 33ab， b-a=6. 答案： 6 二 .选择题 (本大题满分 20分 )本大题共有 4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5分，否则一律得零分 . 15.“函数 y=sin(x+ )为偶函数”是“ =2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ：若 =2时， y=sin(x+ )=cosx 为偶函数； 若 y=sin(x+ )为偶函数，则 =2+k， k
12、 Z； “函数 y=sin(x+ )为偶函数”是“ =2”的必要不充分条件 . 答案： B. 16.下列四个命题： 任意两条直线都可以确定一个平面； 若两个平面有 3个不同的公共点，则这两个平面重合； 直线 a， b， c，若 a 与 b共面， b与 c共面，则 a与 c共面； 若直线 l上有一点在平面外，则 l在平面外 . 其中错误命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ： 在中，两条异面直线不能确定一个平面，故错误； 在中，若两个平面有 3个不共线的公共点，则这两个平面重合， 若两个平面有 3个共线的公共点，则这两个平面相交，故错误； 在中，直线 a， b， c，若 a
13、与 b共面， b与 c共面，则 a与 c不一定共面， 如四面体 S-ABC中， SA与 AB共面， AB 与 BC共面，但 SA与 BC异面，故错误； 在中，若直线 l上有一点在平面外，则由直线与平面的位置关系得 l在平面外，故正确 . 答案： C 17.若椭圆 x2+my2=1的焦距为 2，则 m的值是 ( ) A.12B.1 C.2 D.4 解析 ： 椭圆 x2+my2=1 的焦距为 2， 121m=2，解得 m=12. 故选： A 18.已知等比数列 an中，各项都是正数，且 3a1， 12a3， 2a2成等差数列，则8967aaaa 等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析：
14、 3a1， 12a3， 2a2成等差数列， a3=3a1+2a2， q2-2q-3=0， q=3， q=-1(舍去 ). 238 9 1 7 1 86 7 1 5 1 6 1a a a q a q qqa a a q a q q =q2=32=9. 故选： D 三 .解答题 (本大题满分 74分 )本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19.如图，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为 20cm的正方形，高为 30cm，内有 20cm深的溶液 .现将此容器倾斜一定角度 (图 )，且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上 (图、均为容器的纵截面 ). (
15、1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少； (2)现需要倒出不少于 3000cm3的溶液，当 =60时，能实现要求吗？请说明理由 . 解析： (1)根据题意画出图形，结合图形，过 C作 CF BP，交 AD 所在直线于 F，且点 F在线段 AD 上，用 tan表示出 DF、 AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时的最大值； (2)当 =60时，过 C 作 CF BP，交 AB 所在直线于 F，则点 F在线段 AB上，溶液纵截面为Rt CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论 . 答案： (1)根据题意，画出图形，如图所示， 过 C作 CF BP，交 AD 所在
16、直线于 F， 在 Rt CDF中， FCD=， CD=20cm， DF=20tan， 且点 F在线段 AD 上， AF=30-20tan， 此时容器内能容纳的溶液量为： S 梯形 ABCF 20= 2AF BC AB 20=(30-20tan +30) 20 10=2000(6-2tan )(cm3)； 而容器中原有溶液量为 20 20 20=8000(cm3)， 令 2000(6-2tan ) 8000，解得 tan 1，所以 45， 即的最大角为 45时，溶液不会溢出； (2)如图所示，当 =60时， 过 C作 CF BP，交 AB 所在直线于 F， 在 Rt CBF中， BC=30cm，
17、 BCF=30， BF=10 3 cm， 点 F在线段 AB 上，故溶液纵截面为 Rt CBF， S ABF=12BC BF=150 3 cm2， 容器内溶液量为 150 3 20=300 3 cm3， 倒出的溶液量为 (8000-3000 3 )cm3 3000cm3.不能实现要求 . 20.已知 x R，设 m =(2cosx ， sinx+cosx)， n =( 3 sinx ， sinx-cosx)，记函数 f(x)=m n . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)设 ABC 的角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 f(C)=2， c= 3 ，
18、a+b=3，求 ABC的面积 S. 解析： (1)利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得 f(x)，再利用三角函数的图象与性质即可得出； (2)利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出 . 答案： (1) f(x)=m n =2 3 sinxcosx+sin2x-cos2x= 3 sin2x-cos2x=2sin(2x-6). f(x)的最小正周期是 T= . 由 2k -2 2x-6 2k +2， k Z， 得函数 f(x)的单调递增区间是 k -6， k +3(k Z). (2)由 f(C)=2，得 sin(2C-6)=1， 0 C，所以 -6 2C-6 116， 2C
19、-6=2， C=3. 在 ABC中，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 得 3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，即 ab=2， ABC的面积 S=12absinC=12 2 32= 32. 21.设函数 f(x)=k ax-a-x(a 0且 a 1)是奇函数 . (1)求常数 k的值； (2)设 a 1，试判断函数 y=f(x)在 R上的单调性，并解关于 x的不等式 f(x2)+f(2x-1) 0. 解析： (1)可看出 f(x)的定义域为 R，而 f(x)又是奇函数，从而有 f(0)=0，这样可求出 k=1； (2)f(x)=ax-a-x，根据单调性的定义，设任意的 x1
20、， x2 R，且 x1 x2，然后作差，通分，提取公因式，便可说明 f(x1) f(x2)，这便得出 f(x)在 R 上单调递增，从而根据 f(x)为奇函数和增函数便可由原不等式得到 x2 1-2x，解该不等式便可得出原不等式的解集 . 答案： (1)函数 f(x)的定义域为 R， f(x)是奇函数； f(0)=k-1=0； k=1； (2)由 (1)， f(x)=ax-a-x，设 x1， x2 R，且 x1 x2，则： f(x1)-f(x2)= 1 1 2 2 1 21211x x x x x xxxa a a a a a a ； a 1， x1 x2； ax1-ax2 0，又 1+1ax1
21、+x2 0； f(x1)-f(x2) 0； 即 f(x1) f(x2)；函数 f(x)在 R 上是单调递增函数； 由 f(x2)+f(2x-1) 0，得 f(x2) -f(2x-1)； 即 f(x2) f(1-2x)； f(x)在 R 上单调递增； x2 1-2x，即 x2+2x-1 0；解得 -1- 2 x -1+ 2 ；原不等式的解为 (-1- 2 ， -1+ 2 ). 22.已知抛物线 x2=2py，准线方程为 y+1=0，直线 l 过定点 T(0， t)(t 0)且与抛物线交于 A、B两点， O为坐标原点 . (1)求抛物线的方程； (2)OA OB 是否为定值，若是，求出这个定值；若
22、不是，请说明理由； (3)当 t=1时，设 AT = TB ，记 |AB|=f( )，求 f( )的解析式 . 解析： (1)根据准线方程便可得到 -2p=-1，从而可以求出 p，这便得到抛物线方程为 x2=4y； (2)可设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，可得到直线 l 方程 y=kx+t，联立抛物线方程并消去 y 得到x2-4kx-4t=0，从而得到 121221244x x kx x ty y t ，这样即可得到 OA OB =t2-4t，根据题意知 t为定值，即得出 OA OB 为定值，定值为 t2-4t； (3)可得到 T(0， 1)，可设 B(x0， 204x)，根据条
23、件 AT = TB 便可得到 A(- x0， 1+ - 204x)，而根据点 A 在抛物线 x2=4y 上便可得到 x02= 4，而 T 又是抛物线的焦点，从而有f( )=|AB|=yA+yB+2，带入 A， B的纵坐标及 x02=4便可得出 f( )的解析式 . 答案： (1)由题意， -2p=-1， p=2； 抛物线方程为 x2=4y； (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l： y=kx+t，则： 由2 4y kx txy， 得， x2-4kx-4t=0；121244x x kx x t，； y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t
24、2=-4k2t+4k2t+t2=t2； OA OB =x1x2+y1y2=t2-4t； 因为点 T(0， t)是定点，所以 t是定值，所以 OA OB 是定值，此定值为 t2-4t； (3)T(0， 1)，设 B(x0， x024)，则： TB =(x0， 20 14x )， AT = TB =( x0 ， 204x- )，故 A(- x0 ， 1+ - 204x)； 因为点 A在抛物线 x2=4y上，所以 2x02=4(1+ - 204x)，得 x02=4； 又 T为抛物线的焦点，故 f( )=|AB|=yA+yB+2=(1+ - 204x)+ 204x+2= +1+2； 即 f( )= +
25、1+2( 0). 23.设复数 zn=xn+i yn，其中 xnyn R， n N*， i为虚数单位， zn+1=(1+i) zn， z1=3+4i，复数 zn在复平面上对应的点为 Zn. (1)求复数 z2， z3， z4的值； (2)证明：当 n=4k+1(k N*)时，nOZ1OZ； (3)求数列 xn yn的前 100项之和 . 解析： (1)利用 zn+1=(1+i) zn， z1=3+4i，即可得出； (2)由已知 zn+1=(1+i) zn，得 zn=(1+i)n-1 z1，当 n=4k+1时， (1+i)n-1=(-4)k，即可证明 . (3)由 zn+4=(1+i)4zn=-
26、4zn，可得 xn+4=-4xn， yn+4=-4yn， xn+4yn+4=16xnyn，即可得出 . 答案： (1) zn+1=(1+i) zn， z1=3+4i， z2=(1+i)(3+4i)=-1+7i， z3=-8+6i， z4=-14-2i. (2)由已知 zn+1=(1+i) zn，得 zn=(1+i)n-1 z1， 当 n=4k+1时， (1+i)n-1=(1+i)4k=(-4)k， 令 =(-4)k，则 zn= z1， 即则存在非零实数 =(-4)k(k N*)，使得nOZ=1OZ. 当 n=4k+1(k N*)时， nOZ 1OZ . (3) zn+4=(1+i)4zn=-4zn， 故 xn+4=-4xn， yn+4=-4yn， xn+4yn+4=16xnyn， 又 x1y1=12， x2y2=-7， x3y3=-48， x4y4=28， x1y1+x2y2+x3y3+ +x100y100=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+ +(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)=(12-7-48+28) 251 161 16=1-2100， 数列 xnyn的前 100 项之和为 1-2100.
