1、 2016 年上海市闸北区高考二模 数学 理 一、填空题 (60 分 )本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6 分，否则一律得零分 1.已知函数 01xxf x a a a a （ ） （ ， ），且 f(1)=3，则 f(0)+f(1)+f(2)的值是 . 解析： 1 2 2 1 21 3 0 2 2 2 7f a a f f a a a a （ ） ， （ ） ， （ ） （ ）， f(1)+f(0)+f(2)=12 答案： 12 2.已知集合 2 | | 2 2 3 0A x x a B x x x B A ， ， 若，则实数 a 的取值范围是
2、 . 解析：由 |x-2| a，可得 2-a x 2+a(a 0)， A=(2-a， 2+a)(a 0) 由 2 2 3 0xx ，解得 -1 x 3 B=(-1， 3) 2123aBAa ， 则，解得 a 3 答案： a 3 3.如果复数 z 满足 |z|=1 且 2z a bi ，其中 a， b R，则 a+b 的最大值是 . 解析： |z|=1， 2 1z ， 2 2 2 1z a b i a b 由 ， 得， 2 2 222a b a b （ ） （ ）， 故当 22ab 时， a+b 的最大值是 2 答案： 2 4.在直角坐标系 xOy 中，已知三点 A(a， 1)， B(2， b)
3、， C(3， 4)，若向量 OAOB， 在向量 OC 方向上的投影相同，则 3a-4b 的值是 . 解析：向量 OAOB， 在向量 OC 方向上的投影相同， O A O C O B O C ， A(a， 1)， B(2， b)， C(3， 4)， 3a+4=6+4b， 3a-4b=2， 答案： 2 5.某科技创新大赛设有一、二、三等奖 (参与活动的都有奖 )且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项， 2 为公比的等比数列，相应的奖金分别是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 . 解析：某科技创新大赛设有一、二、三等奖 (参与活动的都有奖 )且相应奖项获奖
4、的概率是以 a 为首项， 2 为公比的等比数列， 获得一、二、三等奖的概率分别为 a， 2a， 4a，且 a+2a+4a=1，解得 17a， 获得一、二、三等奖的概率分别为 1 2 4777， ， 一、三、三等奖相应的奖金分别是以 7000 元、 5600 元、 4200 元， 参加此次大赛获得奖金的期望 1 2 47 0 0 0 5 6 0 0 4 2 0 0 5 0 0 07 7 7EX （ ）元 答案： 5000 6.已知12FF、是椭圆 C： 2222 1 0 0yx abab （ ， ）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且12PF PF若12PFF的面积为 9，则 b= . 解析
5、：12FF、是椭圆 C： 2222 1 0 0yx abab （ ， ）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且12PF PF 22 21 2 1 2 1 212 4 92P F P F a P F P F c P F P F ， ， ， 2 2 21 2 1 24 2 4P F P F c P F P F a （ ）， 2 2 23 6 4 4a c b （ ） ， b=3 答案： 3 7. ABC 中， a， b， c 分别是 A， B， C 的对边且 2 2 2ac c b a ，若 ABC 最大边长是 7 且 sinC=2sinA，则 ABC 最小边的边长为 . 解析： 2 2 22
6、2 2 122a c ba c c b a c o s B ac ， 2 73Bb ， sinC=2sinA， c=2a， 三角形的最短边为 a 由余弦定理得 22247 124aac o s B a，解得 a=1 答案： 1 8.在极坐标系中，曲线 =sin +2 与 sin =2 的公共点到极点的距离为 . 解析： =sin +2 与 sin =2 消去 sin，可得 ( -2)=2，由于 0，解得 13 答案： 13 9.如图， A， B 是直线 l 上的两点，且 AB=2两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A， B 点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧 ， 与线段 AB 围成图形面积
7、S 的取值范围是 解析：如图，当 O1 与 O2 外切于点 C 时， S 最大， 此时，两圆半径为 1， S 等于矩形 ABO2O1 的面积减去两扇形面积， 212 1 2 1 242()m a xS ， 随着圆半径的变化， C 可以向直线 l 靠近， 当 C 到直线 l 的距离 d 0 时， S 0， 02(2 S ， 答案： (0 22，10.设函数 f(x)=x2-1，对任意 24 3 142 xx f m f x f x f mm ， ） ， （ ） （ ） （ ） （ ）恒成立，则实数 m 的取值范围是 . 解析：依据题意得 2 2 2 2 22 31 4 1 1 1 4 1 2x
8、m x x m xm （ ） （ ） （ ） 在 ， ）上恒定成立， 即22 33124 2 1 2mxxmx 在 ， ）上恒成立 当 x=32时，函数23 2 1y xx 取得最小值 53， 2 51 42 3mm ，即 (3m2+1)(4m2-3) 0， 解得 3322mm 或， 答案： 332 )2( ， ， 二 、选择题 (15 分 )本大题共有 3 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 . 11.向量 ab， 均为单位向量，其夹角为，则命题“ p： 1ab ”是命题 q： 56 2 ， ）的
9、( )条件 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件 解析：若 1ab ，则平方得： 22 12 2 2 12a a b b a b a b ， 即 ，则 12abc o s a bab ， 3 3 p （ ， ， 即 ： （ ， 命题 q： 56 2 ， ）， p 是 q 的必要不充分条件 . 答案： B 12.已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点， SA平面 ABC， AB BC， SA=AB=1， 2BC ，则球 O 的表面积等于 ( ) A.4 B.3 C.2 D. 解析：已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点 OA=
10、OB=OC=OS=1 又 SA平面 ABC， AB BC， SA=AB=1， 2BC ， 球 O 的直径为 2R=SC=2， R=1， 表面积为 4 R2=4 答案： A 13.已知数列 an中， an+1=3Sn，则下列关于 an的说法正确的是 ( ) A.一定为等差数列 B.一定为等比数列 C.可能为等差数列，但不会为等比数列 D.可能为等比数列，但不会为等差数列 解析： an+1=3Sn， Sn+1-Sn=3Sn， Sn+1=4Sn， 若 S1=0，则数列 an为等差数列； 若 S1 0，则数列 Sn为首项为 S1，公比为 4 的等比数列， Sn=S1 4n-1， 此时 an=Sn-Sn
11、-1=3S1 4n-2(n 2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列 综上，数列 an可能为等差数列，但不会为等比数列 答案： C 三、解答题 (本题满分 75 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域 (对应的题号 )内写出必要的步骤 14.(理 )在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=2， AD=1， AA1=1，点 E 在棱 AB 上移动 (1)探求 AE 等于何值时，直线 D1E 与平面 AA1D1D 成 45角； (2)点 E 移动为棱 AB 中点时，求点 E 到平面 A1DC1 的距离 解析： (1)解法一：先找到直线 D1E 与平面 AA1D1
12、D 所成的平面角，放入直角三角形中，根据角的大小为 45，来求三角形中边之间的关系，即可求出 AE 长度 解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出1DE坐标，以及平面 AA1D1D 的 法向量的坐标，因为直线 D1E 与平面 AA1D1D 成 45角，所以1DE与平面 AA1D1D 的法向量成 45角，再用向量的数量积公式即可求出1DE坐标，进而判断 E 点位置 (2)利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式 n DEdn 来求，其中 n 为平面的法向量， DE 为 E 点到平面上任意一点的向量 答案： (1)解法一：长方体 ABCD-A1B1C1D1中，因为点 E 在棱 AB
13、上移动，所以 EA平面 AA1D1D，从而 ED1A 为直线 D1E 与平面 AA1D1D 所成的平面角， Rt ED1A 中，114 5 2E D A A E A D 解法二：以 D 为坐标原点，射线 DA、 DC、 DD1 依次为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，则点 D1(0， 0， 1)，平面 AA1D1D 的法向量为 DC (0， 2， 0)，设 E(1， y， 0)，得1DE (1，y， -1)， 由11 4D E D C sinD E D C ，得 2y ， 故 2AE (2)以 D 为坐标原点，射线 DA、 DC、 DD1 依次为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系
14、，则点 E(1，1， 0)， A1(1， 0， 1)， C1(0， 2， 1)， 从而11()1 0 1 0 2 1 1 1 0( ) ( )D A D C D E ， ， ， ， ， ， ， ，设平面 DA1C1 的法向量为 n (x， y， z)，由 110 0200n D A xzyzn D C 令 112()1n ， ， 所以点 E 到平面 A1DC1 的距离为 n DEdn =1 15.某公司生产的某批产品的销售量 P 万件 (生产量与销售量相等 )与促销费用 x 万元满足24xP (其中 0 x a， a 为正常数 )已知生产该产品还需投入成本 16 P P（ ） 万元 (不含促销
15、费用 )，产品的销售价格定为 204p（ ）元 /件 (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 解析： (1)根据产品的利润 =销售额 -产品的成本建立函数关系； (2)利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件 答案： (1)由题意知， 20 146y p x PpP （ ） （ ）， 将 24xP 代入化简得： 3241 9 022y x x ax （ ）； (2) 3 1 6 1 62 2 2 2 2 3 2 1 02 2 2y x xxx （ ）， 当且仅当 16 =22 xx ，即 x=2 时，上式
16、取等号； 当 a 2 时，促销费用投入 2 万元时，该公司的利润最大； 2332 4 2 419 2 2 22y x yx x ， （ ）， a 2 时，函数在 0， a上单调递增， x=a 时，函数有最大值即促销费用投入 a 万元时，该公司的利润最大 16.已知函数 f(x)=sin( x+ )( 0， 0 )的周期为，图象的一个对称中心为 04（ ， ），将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )，再将所得到的图象向右平移2个单位长度后得到函数 g(x)的图象 (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式； (2)求证：存在 x064（ ， ），使得 f(x0
17、)， g(x0)， f(x0) g(x0)能按照某种顺序成等差数列 解析： (1)由周期公式可得， 0，再由对称中心可得值，可得 f(x)解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得； (2)当 x64（ ， ）时 sinx cos2x sinx?cos2x，问题转化为方程 2cos2x=sinx+sinx?cos2x 在64（ ， ）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得 答案： (1)函数 f(x)=sin( x+ )的周期为， 0， 2 T 2， 又曲线 y=f(x)的一个对称中心为 ( 04（ ， ）， (0， )， sin(24+ )=0，可得2， f(x)=cos2x， 将函数 f(x
18、)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 )后可得 y=cosx 的图象， 再将 y=cosx 的图象向右平移2个单位长度后得到函数 g(x)=cos(x-2)的图象， 由诱导公式化简可得 g(x)=sinx； (2)当 x64（ ， ）时， 211022 2 2s i n x c o s x ， ， sinx cos2x sinx cos2x， 问题转化为方程 2cos2x=sinx+sinx cos2x 在64（ ， ）内是否有解 设 G(x)=sinx+sinx cos2x-2cos2x， x64（ ， ）， 21 006 4 4 2( ) ( )GG ， ，且函数 G(
19、x)的图象连续不断， 函数 G(x)在 (64（ ， ）内存在零点 x0， 即存在 x064（ ， ），使得 f(x0)， g(x0)， f(x0) g(x0)能按照某种顺序成等差数列 17.若动点 M 到定点 A(0， 1)与定直线 l： y=3 的距离之和为 4 (1)求点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图； (2)记 (1)得到的轨迹为曲线 C，问曲线 C 上关于点 B(0， t)(t R)对称的不同点有几对？请说明理由 解析： (1)设 M(x， y)，由题意 22 1 3 4x y y ，分类讨论，可得点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图； (2)当 t 0 或 t 4 显然
20、不存在符合题意的对称点当 0 t 4 时，注意到曲线 C 关于 y 轴对称，至少存在一对 (关于 y 轴对称的 )对称点，下面研究曲线 C 上关于 B(0， t)对称但不关于 y轴对称的对称点即可 答案： (1)设 M(x， y)，由题意 22 1 3 4x y y ：当 y 3 时，有 22 1 = 1x y y ，化简得： x2=4y ：当 y 3 时，有 22 1 = 7 -x y y ，化简得： x2=-12(y-4)(二次函数 ) 综上所述：点 M 的轨迹方程为 2431 2 4 3yyxyy， (如图 ) (2)当 t 0 或 t 4 显然不存在符合题意的对称点 当 0 t 4 时
21、，注意到曲线 C 关于 y 轴对称，至少存在一对 (关于 y 轴对称的 )对称点 下面研究曲线 C 上关于 B(0， t)对称但不关于 y 轴对称的对称点 设 P(x0， y0)是轨迹 x2=4y(y 3)上任意一点，则 x20 4y0(y0 3)，它关于 B(0， t)的对称点为Q(-x0， 2t-y0)，由于点 Q 在轨迹 x2=-12(y-4)上， 所以 (-x0)2 -12(2t-y0-4)，联立方程组 200241 2 2 4xyx t y (*)得 4y0=-12(2t-y0-4)，化简得 00( 0 )6 33yty 当 y0 (0， 3)时， t (2， 3)，此时方程组 (*
22、)有两解，即增加有两组对称点 当 y0=0 时， t=2，此时方程组 (*)只有一组解，即增加一组对称点 (注：对称点为 P(0， 0)，Q(0， 4) 当 y0=3 时， t=3，此时方程组 (*)有两解为 2 3 3()2) 33(PQ， ， ，没有增加新的对称点 综上所述：040 2 1222 3 33 4 1()()tttttt ， ， 不 存 在， ， ， ， ，对对对对18.已知数列 an， Sn 为其前 n 项的和，满足 12n nnS (1)求数列 an的通项公式； (2)设数列 1na的前 n项和为 Tn，数列 Tn的前 n项和为 Rn，求证：当 n 2， n N*时 Rn-
23、1=n(Tn-1)； (3)已知当 n N*，且 n 6 时有 1132mm nn （ ） （ ），其中 m=1， 2， n，求满足 3n+4n+(n+2)n=(an+3)an的所有 n 的值 解析： (1)利用递推关系即可得出； (2)法一：直接计算化简即可证明； 法二：利用数学归纳法即可证明 (3)利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出 答案： (1)解：当 n 2 时， 11122n n nn n n na S S n ， 又 a1=S1=1， an=n (2)证明：法一： 1 1 1 112nn Ta n n ， ， 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1
24、1 ? 2 3 12 2 3 2 1 ) 2( 31nR n n nnn = 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 22 3 1 2( ) ( ) ( )31 nn n n T nn n n n 法二：数学归纳法 n=2 时， 1 1 21 1 21 1 11 2 1 2 1 1R T Ta a a ， ， 假设 n=k(k 2， k N*)时有 Rk-1=k(Tk-1)， 当 n=k+1 时， 1 1 1 11111 1 1 1 1 1 1 11k k k k k k k k kkR R T k T T k T k k T k k T k k Tak ， n=k+1 是原式成立
25、由可知当 n 2， n N*时 Rn-1=n(Tn-1) (3)解： 11 1 232n mm mnn ， ， ， ， 2312 11321 12321332411323 132nnnn nn nnmnnmnnmnmnnmnn ， ， ， 相 加 得 ， ， 时时时时时， 2 3 12 1 34 1 1 1 1 13 3 3 3 2 2 2 2 2n n n n nnnnn n n n ， 2 3 11 1 1 1 1 1= 1 12 2 2 2 2 2n n n ， 3n+4n+ +(n+2)n (n+3)n， n 6 时， 3n+4n+ +(n+2)n=(n+3)n 无解， 又当 n=1 时； 3 4， n=2 时， 32+42=52； n=3 时， 33+43+53=63n=4 时， 34+44+54+64 为偶数，而74 为奇数，不符合 n=5 时， 35+45+55+65+75 为奇数，而 85 为偶数，不符合 综上所述 n=2 或者 n=3
