1、 2016 年上海市青浦区高考一模 数学 一 .填空题 (本大题满分 56 分 )本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1.方程组 3 5 6 04 3 7 0xyxy 的增广矩阵是 . 解析：方程组 3 5 6 04 3 7 0xyxy 的增广矩阵是： 3 5 64 3 7 答案： 3 5 64 3 7 2.已知 32i 是关于 x 的方程 220x p x q 的一个根，则实数 p+q= . 解析： 32i 是关于 x 的方程 220x p x q 的一个根， 32i也是关于 x 的方程 220x p x q 的一个根
2、， 3 2 3 2 3 2 3 222pqi i i i （ ） ， （ ） （ ）， 解得 p=8， q=26 p+q=34 答案： 34 3.设函数1 1021()0)xxfxxx （ ）若 f(a) a，则实数 a 的取值范围是 . 解析：当 a 0 时， 1 12f a a a ，解得 a -2， 矛盾，无解 当 a 0 时， 1f a aa ， a -1 综上： a -1 实数 a 的取值范围是 (-， -1) 答案： (-， -1) 4. 已知函数 f(x)=sin(2x+ )， 0图象的一条对称轴是直线8x ，则 = . 解析：函数 f(x)=sin(2x+ )， 0图象的一条对
3、称轴是直线8x ， 208 2 4k k k Z ， 即 ， ， 又 ， =4， 答案：4 5.函数 23xxf x lg（ ） （ ）的定义域为 . 解析：要使函数有意义，则 23xx 0， 即 23xx 0， 22133 x xx （ ） ， 解得 x 0， 函数的定义域为 (-， 0)， 答案： (-， 0) 6.已知函数 2 2f x x（ ） ，若 f(a)=f(b)，且 0 a b，则 ab 的取值范围是 . 解析： 2222 2 2222= 2x x xf x xxx ， 或（ ）， ， 作出函数的图象如图： 若 f(a)=f(b)，且 0 a b， 则 2 0 2ba ， ，则
4、 ab 0， 则由 f(a)=f(b)， 得 2 2 2 22 2 4a b a b ， 即， 0 a b， 2242a b a b ， 则 ab 2， 综上 0 ab 2， 即 ab 的取值范围是 (0， 2)， 答案： (0， 2) 7. 设集合 2 | | 34 M x y y x b N x y y x x （ ， ） ， （ ， ），当 M N 时，则实数 b 的取值范围是 . 解析：集合 2 | | 34 M x y y x b N x y y x x （ ， ） ， （ ， ）， M N ， 直线 y=x+b 与半圆 222 3 4 1 3x y y （ ） （ ） （ ）有交点
5、， 半圆 222 3 4 1 3x y y （ ） （ ） （ ）表示： 圆心在 (2， 3)，半径为 2 的圆的下半部分， y=x+b 表示斜率为 1 的平行线， 其中 b 是直线在 y 轴上的截距， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 即圆心 (2， 3)到直线 y=x+b 的距离 23 22bd ， 解得 1 2 2 1 2 2bb 或 (舍 )， 由图知 b 的取值范围是 1 2 2 3 ， 实数 b 的取值范围是 1 2 2 3 ， 答案： 1 2 2 3 ， 8.执行如图所示的程序框图，输出结果为 . 解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 框 图 可 知 ： 该 程 序
6、 的 功 能 是 计 算 并 输 出1 1 1 11 3 3 5 5 7 2 0 1 5 2 0 1 7S 的值 2 0 1 6 1 0 0 81 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 11 3 3 5 5 7 2 0 1 5 2 0 1 7 3 3 5 5 7 2 0 1 5 2 0 1 7 2 2 0 1 7 2 0 1 7S （ ） 答案： 10082017 9.平面直角坐标系中，方程 |x|+|y|=1 的曲线围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周所形成的几何体的体积为 . 解析：方程 |x|+|y|=1 的曲线围成的封闭图形是一个以 (0， 1)， (1， 0)， (0， -1
7、)， (-1， 0)为顶点的正方形， 绕 y 轴旋转一周所形成的几何体是两个圆锥形成的组合体， 如下图所示： 圆锥的底面半径为 1，高为 1， 故几何体的体积为： 122133 ， 答案： 23 10.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是 m，记第二颗骰子出现的点数是 n，向量 22()a m n ， ，向量 1 )1(b ， ，则向量 ab 的概率是 . 解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次出现的点数情况共 6 6=36 种， 由 22()a m n ， ，向量 1 )1(b ， ， 由于向量 ab ， 所以 m-2+2-n=0，即 m-n=0， 上述满足 m-n=0
8、 的有 (1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)， (5， 5)， (6， 6)共 6 种， 故所求概率为 6 136 6P 答案： 1611. 已知平面向量 0 1 3O A O B O C O A O B O A O C O B C A C B、 、 足 ， 且 ， ，满 则的最大值是 . 解析： 0 1 0 0 3O A O B O A O B A B C c o s s i n ， ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ）设， 13C A c o s s i n C B c o s s i n （ ， ） ， （ ， ）， 221 3 3 1 2 6C A C
9、 B c o s c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n s i n （ ） （ ） （ ） 当 16s in C A C B （ ） ，时取得最大值 3 答案： 3 12.如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：每个自然数“放置”在一个“整点” (横纵坐标均为整数的点 )上； 0 在原点， 1 在 (0， 1)点， 2 在 (1，1)点， 3 在 (1， 0)点， 4 在 (1， -1)点， 5 在 (0， -1)点，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“ 0”为中心的“桩”上，则放置数字 (2n+1)2， n N*的整点坐标
10、是 . 解析：观察已知中点 (0， 1)处标 1，即 21 ， 点 (-1， 2)处标 9，即 23 ， 点 (-2， 3)处标 25，即 25 ， 由此推断 点 (-n， n+1)处标 221n（ ） ， 故放置数字 221n（ ） ， n N*的整点坐标是 (-n， n+1) 答案 ： (-n， n+1) 13.设 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c 成等比数列，则 baab的取值范围 . 解析： ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c 成等比数列， 2b ac ， a 0， b 0， c 0， 22b a b aa b a b ， 2 22 0ba
11、 b c a b a a b ba ， ， ， 2 1 5 1 51022b a aa b b ， a 0， b 0 1502ab ， 又 b-a c， 2bbaa ， 220a ab b ， 2 10aabb，不等式恒成立 同时成立 1 5 5 1202215abba ， ， 1 5 5 1 522baab baab的取值范围是 25， ） 答案： 25， ） 14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， 2 2 21 232f x x a x a a （ ） （ ），若 1x R f x f x ， （ ） （ ），则实数 a 的取值范围为 . 解析：当 x 0 时，
12、 2 2 21 232f x x a x a a （ ） （ ） 2 2 2 210 2 32 x a f x x a x a a x ， （ ） （ ）当 时； 2 2 22a x a f x a ， （ ）当 时 ； 2223x a f x x a ， （ ）当 时 由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 即可画出 f(x)在 R 上的图象，如图所示： 当 x 0 时， f(x)的最小值为 2a ，当 x 0 时， f(x)的最大值为 2a ， 由于 1x R f x f x ， （ ） （ ）， 故函数 f(x-1)的图象不能在函数 f(x)的图象的上方， 结合下图 可得 221
13、3 3aa，即 261a ，求得 66a ， 答案 ： 6666 ， 二 .选择题 (本大题满分 20 分 )本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 . 15. 14a是“直线 (a+1)x+3ay+1=0 与直线 (a-1)x+(a+1)y-3=0 相互垂直”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：对于：直线 (a+1)x+3ay+1=0 与直线 (a-1)x+(a+1)y-3=0， 当 a=0 时，分别化为： x+1=0， -x+y-3=0
14、，此时两条直线不垂直，舍去； 当 a=-1 时，分别化为： -3y+1=0， -2x-3=0，此时两条直线相互垂直，因此 a=-1 满足条件； 当 a -1， 0 时，两条直线的斜率分别为： 1131aaaa ，由于两条直线垂直，可得11 131aaaa ，解得 14a 或 -1(舍去 ) 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为： 14a或 -1 14a是“直线 (a+1)x+3ay+1=0 与直线 (a-1)x+(a+1)y-3=0 相互垂直”的充分而不必要条件 答案： A 16. 复数1aiz i(a R， i 是虚数单位 )在复平面上对应的点不可能位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限
15、 C.第三象限 D.第四象限 解析： 1 1 1 111 2 2 211a i i a a ia i a azii ii ， z 在复平面上对应的点的坐标为 1122aa（ ， ）， 若 a-1 0，则 a 1， a+1 0 z 在复平面上对应的点不可能位于第一象限 答案： A 17. 已知 na是等比数列，给出以下四个命题： 312 na 是等比数列； 1nnaa是等比数列； 1nnaa是等比数列； |nlg a是等比数列，下列命题中正确的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析： na是等比数列可得1nna qa (q 是定值 ) 3313422 nna qa
16、是定值，故正确； 比如 1 nna （ ），故不正确； 211nnnnaa qaa 是定值，故正确； 1nnlg alg a不一定为常数，故错误 答案 B 18. 已知抛物线 2 20y p x p （ ）与双曲线 2222 1 () 0 0yx abab ， 有相同的焦点 F，点 A是两曲线的一个交点，且 AF x 轴，若 l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则 l 的倾斜角所在的区间可能是 ( ) A.(0，6) B.(64)，C.(43)，D.(32)，解析：抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， p=2c A 是它们的一个公共点，且 AF 垂直 x 轴， 设 A 点的纵坐标大于 0， |AF
17、|=p， 2pAp（ ， ）， 点 A 在双曲线上， 2214ppab， 2 2 22p c b c a ， ， 222 2 24 1cca c a， 化简得： 4 2 2 460c c a a ， 426 1 0ee ， 2 1e ， 2 3 2 2e ， 21 3 2 2ba （ ） 2 2 2 2 3ba （ ） l 的倾斜角所在的区间可能是 (32)， 答案： D 三解答题 (本大题满分 74 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中， AB平面 PAD， AB CD 且 2AB=CD， PD=
18、PA，点 H 为线段 AD 的中点，若 PH 1， 2AD ， PB 与平面 ABCD 所成角的大小为 45 (1)证明： PH平面 ABCD； (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积 解析： (1)由 AB平面 PAD，可得平面 PAD平面 ABCD，再由已知求得 PH AD，由面面垂直的性质得到 PH平面 ABCD； (2)由 (1)可得 PBH 为 PB 与平面 ABCD 所成角等于 45，求解直角三角形 BAH 得到 AB，进一步得到 CD，求得底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式得答案 答案： (1)证明：如图， AB平面 PAD， AB?平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCD，
19、且平面 PAD平面 ABCD=AD， 又 PD=PA，点 H 为线段 AD 的中点， PH AD，则 PH平面 ABCD； (2)解：在 PAD 中， H 为线段 AD 的中点， 2AD ， 22AH， 由 (1)知， PH平面 ABCD， 连接 BH，则 PBH 为 PB 与平面 ABCD 所成角等于 45， 在 Rt PHB 中，由 PBH=45，得 PH=BH=1， 在 Rt BAH 中，有 222 221A B B H A H ， 则 22C D A B， 2 31 222 2 2A B C DS ， 31 1 113 3 2 2P A B C D A B C DV S P H 20.
20、已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴，且抛物线 2 4yx 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点，以 F为圆心，以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l： 2 2 2 0xy 相切 (1)求椭圆 M 的方程； (2)已知直线 y=x+m 与椭圆 M 交于 A、 B 两点，且椭圆 M 上存在点 P 满足 OP OA OB 求m 的值 解析： (1)利用以 F 为圆心，以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l： 2 2 2 0xy 相切，求出 b， a，即可求椭圆 M 的方程； (2)直线 l： y=x+m 与椭圆 M 联立，利用 OP OA OB ，求出 P 的坐标，代入椭圆方程，即可求 m 的值
21、答案： (1)因为抛物线 2 4yx 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点，即 F(1， 0)， 又椭圆 M 的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为 2222 1 () 0 0yx abab ， ，且 221ab， 又以 F 为圆心，以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l： 2 2 2 0xy 相切， 即 21 0 2 11 2 2b ，所以椭圆 M 的方程是 2 2 12x y ； (2)设 221 1 2 2 22 3 4 2 2 022y x mA x y B x y x m x mxy （ ， ） ， （ ， ） ， 2 2 24 1 2 2 2 8 2 4 0 3 3m m m m （
22、 ） （ ） ， OP OA OB ，1 2 1 2P x x y y（ ， ）， 2 21 2 1 24 2 4 2( 13 3 3 3 2) xx x m y y m P m m y 又 ， ， 即 ， 在 上椭 圆， 即 22 342223 3 2m m m 21.如图，有一块平行四边形绿地 ABCD，经测量 BC=2 百米， CD=1 百米， BCD=120，拟过线段 BC 上一点 E 设计一条直路 EF(点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计路的宽度 )，将绿地分为面积之比为 1： 3 的左右两部分，分别种植不同的花卉，设 EC=x 百米， EF=y 百米 (1)当点 F 与点 D
23、 重合时，试确定点 E 的位置； (2)试求 x 的值，使路 EF 的长度 y 最短 解析： (1) 当点 F 与点 D 重 合 时 ，3 3 311 1 2 0 14 4 2 4 4C D E C D EA B C DS S S C E C D s i n x x 平 行 四 形 ， 即 边，从而确定点 E 的位置； (2)分类讨论，确定 y 关于 x 的函数关系式，利用配方法求最值 答案： (1) 12 1 2 1 2 0 32A B C DS s i n 平 行 四 形 边当点 F 与点 D 重合时，由已知 3144C D E A B C DSS 平 行 四 形 边， 又 331 1 2
24、 0 12 4 4C D ES C E C D s i n x x ， E 是 BC 的中点 (2)当点 F 在 CD 上，即 1 x 2 时，利用面积关系可得 1CFx， 再由余弦定理可得 221 13yx x ；当且仅当 x=1 时取等号 当点 F 在 DA 上时，即 0 x 1 时，利用面积关系可得 DF=1-x， ( )当 CE DF 时，过 E 作 EG CD 交 DA 于 G，在 EGF 中， EG=1， GF=1-2x， EGF=60， 利用余弦定理得 24 2 1y x x ( )同理当 CE DF，过 E 作 EG CD 交 DA 于 G，在 EGF 中， EG=1， GF=
25、2x-1， EGF=120， 利用余弦定理得 24 2 1y x x 由 ( )、 ( )可得 24 2 1y x x ， 0 x 1 22 314 2 1 444y x x x ， 0 x 1， 32miny ，当且仅当 14x时取等号， 由可知当 14x时，路 EF 的长度最短为 32 22.设数列 an的所有项都是不等于 1 的正数， na的前 n 项和为 Sn，已知点) *(n n nP a S n N， ， 在直线 y=kx+b 上 (其中常数 k 0，且 k 1)数列，又 12 nbn log a (1)求证数列 na是等比数列； (2)如果 bn=3-n，求实数 k、 b 的值；
26、 (3)若果存在 t， s N*， s t 使得点 (t， bs)和 (s， bt)都在直线在 y=2x+1 上，是否存在自然数M，当 n M(n N*)时， 1na恒成立？若存在，求出 M 的最小值；若不存在，请说明理由 解析： (1)由题意把点1 1 1( *)n n n n n nP a S P a S n N （ ， ） 、 ， ，代入直线 y=kx+b，整理后得到1 1nna kak ，由此说明数列 an是等比数列； (2) 把 12 nbn log a化 为 指 数 式 ， 结 合 数 列 an 是 等 比 数 列 可 求 k 值 ， 再 由) *(n n nP a S n N，
27、， 在直线 y=kx+b 上，取 n=1 求得 b 值； (3)由 12 nbn log a，知 1na恒成立等价于 bn 0 恒成立结合存在 t， s N*， s t 使得点stt b s b（ ， ） 和 （ ， ）都在直线在 y=2x+1 上，推得 nb是首项为正，公差为 -2 的等差数列再由一定存在自然数 M，使100MMbb 求解自然数 M 的最小值 答案： (1)证明：1 1 1( *)n n n n n nP a S P a S n N （ ， ） 、 ， ，都在直线 y=kx+b 上， 11nnSSkaa ， 即11 nnk a ka（ ），又 k 0，且 k 1， 1 1nn
28、a kak 为非零常数，即数列 na 是等比数列； (2)解：由 12 nbn log a，得 31 2221nnn kab k ， 即 ，得 k=2 由 ) *(n n nP a S n N， ，在直线 y=kx+b 上，得nnS ka b， 令 n=1 得，1 1 1 12 4b S a a ； (3)解：由 12 nbn log a，知 an 1 恒成立等价于 bn 0 恒成立 存在 t， s N*， s t 使得点stt b s b（ ， ） 和 （ ， ）都在直线在 y=2x+1 上， 2 1 2 1 2s t t sb t b s b b s t ， ， 即 （ ）， 又 s=t-
29、1， t 2，可得1 2 1 2ttb b t t （ ）， 又111 2 2 1 2 1 0sb b s t b t s （ ） （ ） ， （ ） ， 即 bn是首项为正，公差为 -2 的等差数列 一定存在自然数 M，使100MMbb ， 即 2 1 1 2 0 11222 1 2 0t s M t s M t st s M ， 解 得 ， M N*， M=t+s 存在自然数 M，其最小值为 t+s，使得当 n M(n N*)时， 1na恒成立 23. 已知函数 f(x)， g(x)满足关系 g x f x f x （ ） （ ） （ ），其中是常数 (1)设2f x c o s x s
30、in x （ ） ， ，求 g(x)的解析式； (2)设计一个函数 f(x)及一个的值，使得 23g x c o s x c o s x s i n x ； (3) 当2f x s in x c o s x （ ） ， 时 ， 存 在12x x R， 对 任 意12x R g x g x g x ， （ ） （ ） （ ）恒成立，求12xx的最小值 解析： (1)求出 f(x+ )，代入 g x f x f x （ ） （ ） （ ）化简得出 (2) 对 g(x) 化 简 得 2 3 4 233g x c o s x c o s x s i n x c o s x c o s x f x c
31、o s x （ ） ， 故 （ ） ， (3)求出 g(x)的解析式，判断 g(x)在何时取的最大值和最小值 . 答案： (1)2f x c o s x s in x （ ） ， 22f x c o s x s i n x c o s x s i n x （ ） （ ） （ ）； 22 2g x c o s x s i n x c o s x s i n x c o s x s i n x c o s x （ ） （ ） （ ） (2) 2 3 43g x c o s x c o s x s i n x c o s x c o s x （ ）， 23f x c o s x （ ） ， (3)
32、f x s i n x c o s x g x f x f x s i n x c o s x c o s x s i n x （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 2 2 222 1 2 2232 2 22312(2 2 2 22c o s x x k ks i n x x k kc o s x x k ks i n x x k k ， ， ， ， ， 因为存在12x x R，对任意 x R，12g x g x g x（ ） （ ） （ ）恒成立， 所以当1 1 12 2 12x k x k k Z g x g x 或 ， ， （ ） （ ）时当227 4x k k Z g x g x ， ， （ ） （ ）时所以1 2 1 2 1 2| ( ) |722 4x x k k k k Z ， 、或1 2 1 2 1 2| ( ) |72224x x k k k k Z ， 、所以12xx的最小值是 34
