1、2016年云南省昆明市中考 二模 数学 一、填空题：本大题共 6个小题，每小题 3分，满分 18分 1.分解因式： x3-4x= . 解析：应先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 . x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2). 答案： x(x+2)(x-2). 2.函数 12xy x 中，自变量 x的取值范围是 . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义： x+1 0且 x-2 0， 解得： x -1且 x 2. 答案： x -1且 x 2. 3.在 Rt ABC中， C=90，如果 AC=4， sinB=23，那么 AB= . 解析：根据正弦函数的定义即可直接求解
2、 . ACsinBAB， 234 6ACABsin B . 答案： 6. 4.已知 A(4， y1)、 B(-4， y2)是抛物线 y=(x+3)2-2 的图象上两点，则 y1 y2. 解析：由 y=(x+3)2-2可知抛物线的对称轴为直线 x=-3， 抛物线开口向上，而点 A(4， y1)到对称轴的距离比 B(-4， y2)远， y1 y2. 答案： . 5.如图， COD 是 AOB 绕点 O 顺时针旋转 40后得到的图形，若点 C 恰好落在 AB 上，且 AOD的度数为 90，则 B的度数是 . 解析： COD是 AOB绕点 O顺时针旋转 40后得到的图形， AOC= BOD=40， A
3、O=CO， AOD=90， BOC=90 -40 2=10， ACO= A=12(180 - AOC)=12(180 -40 )=70， 由三角形的外角性质得， B= ACO- BOC=70 -10 =60 . 答案： 60 . 6.如图， A1B1A2， A2B2A3， A3B3A4， AnBnAn+1 都是等腰直角三角形，其中点 A1、 A2、An在 x轴上，点 B1、 B2、 Bn在直线 y=x上，已知 OA2=1，则 OA2016的长为 . 解析：因为 OA2=1， OA1=12， OA2=1， OA3=2， OA4=4， 由此得出 OAn=2n-2， 所以 OA2016=22014.
4、 答案 ： 22014. 二、选择题：本大题共 8小题，每小题 4分，满分 32分 7.下列计算正确的是 ( ) A.3a2-a2=3 B.a2 a4=a8 C.a8 a2=a5 D.(a3)2=a6 解析：根据合并同类项系数相加字母及指数不变，同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘，可得答案 . A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故 A错误； B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 B错误； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 C错误； D、幂的乘方底数不变指数相乘，故 D正确 . 答案： D. 8.某市轨道交通 3号线全长 32.8
5、3千米， 32.83千米用科学记数法表示为 ( ) A.3.283 104米 B.32.83 104米 C.3.283 105米 D.3.283 103米 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 . 32.83千米 =328300米 =3.283 105米 . 答案： C. 9.在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是 ( ) A. B. C. D. 解析：
6、A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以 A选项错误； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以 B选项错误； C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以 C选项错误； D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以 D选项正确 . 答案： D. 10.一个圆锥形的圣诞帽底面半径为 12cm，母线长为 13cm，则圣诞帽的表面积为 ( ) A.312 cm2 B.156 cm2 C.78 cm2 D.60 cm2 解析：圆锥的底面周长是： 12 13 =156 (cm)， 则圆锥的侧面积是： 12 12 13=156 (cm2). 答案： B. 11
7、.将抛物线 y=2x2向上平移 2个单位后所得抛物线的解析式是 ( ) A.y=2x2+2 B.y=2(x+2)2 C.y=2(x-2)2 D.y=2x2-2 解析：原抛物线的顶点为 (0， 0)，向上平移 2个单位，那么新抛物线的顶点为 (0， 2)，可设新抛物线的解析式为： y=2(x-h)2+k，代入得： y=2x2+2. 答案： A. 12.下列各组条件中，一定能推得 ABC与 DEF相似的是 ( ) A. A= E且 D= F B. A= B且 D= F C. A= E且 AB EFAC EDD. A= E且 AB DFBC ED解析：三角形相似的判定方法：两角法：有两组角对应相等的
8、两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似 . A、 D和 F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B、 A= B， D= F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C、由 AB EFAC ED可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出 ABC与 DEF相似，故此选项正确； D、 A= E 且 AB DFBC ED不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误 . 答案： C. 13.已知 O 是以坐标原点 O 为圆心， 5 为半径的圆，点 M 的坐标为 (-3， 4)
9、，则点 M 与 O的位置关系为 ( ) A.M在 O上 B.M在 O内 C.M在 O外 D.M在 O右上方 解析：根据勾股定理，可得 OM的长，根据点与圆心的距离 d，则 d r时，点在圆外；当 d=r时，点在圆上；当 d r时，点在圆内 . OM 223 4 5 ， OM=r=5. 答案： A. 14.如图，正方形 ABCD中， AB=6，点 E在边 CD上，且 CD=3DE.将 ADE沿 AE对折至 AFE，延长 EF 交边 BC于点 G，连接 AG、 CF.下列结论： ABG AFG； BG=GC； AG CF；S FGC=3.其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
10、 解析：正确 . 理由： AB=AD=AF， AG=AG， B= AFG=90， Rt ABG Rt AFG(HL)； 正确 . 理由： EF=DE=13CD=2，设 BG=FG=x，则 CG=6-x. 在直角 ECG中，根据勾股定理，得 (6-x)2+42=(x+2)2， 解得 x=3. BG=3=6-3=GC； 正确 . 理由： CG=BG， BG=GF， CG=GF， FGC是等腰三角形， GFC= GCF. 又 Rt ABG Rt AFG； AGB= AGF， AGB+ AGF=2 AGB=180 - FGC= GFC+ GCF=2 GFC=2 GCF， AGB= AGF= GFC=
11、GCF， AG CF； 错误 . 理由： S GCE=12GC CE=12 3 4=6 GF=3， EF=2， GFC 和 FCE等高， S GFC： S FCE=3： 2， S GFC=35 6=185 3. 故不正确 . 正确的个数有 3个 . 答案： C. 三、解答题：本大题共 9小题，满分 70分 15.计算： 1 020161 3 1 23 4 6 0s i n 解析： 原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 . 答案： 原式 323 1 2342 . 16.图中的小方格都是边长为 1的正方形， ABC的顶点和 O点都在正方
12、形的顶点上 . (1)以点 O为位似中心，在方格图中将 ABC放大为原来的 2倍，得到 A B C . 解析： (1)连接 AO、 BO、 CO并延长到 2AO、 2BO、 2CO长度找到各点的对应点，顺次连接即可 . 答案： (1)见图中 A B C (直接画出图形，不画辅助线不扣分 ) (2) A B C绕点 B顺时针旋转 90，画出旋转后得到的 A B C，并求边 A B在旋转过程中扫过的图形面积 . 解析： (2) A B C的 A、 C绕点 B顺时针旋转 90得到对应点，顺次连接即可 .AB在旋转过程中扫过的图形面积是一个扇 形，根据扇形的面积公式计算即可 . 答案： (2)见图中
13、A B C (直接画出图形，不画辅助线不扣分 ) 2290 24 14 2 0 5360S (平方单位 ). 17.如图，在 ABC中， AB=AC，作 AD AB交 BC 的延长线于点 D，作 AE BD， CE AC，且 AE，CE相交于点 E，求证： AD=CE. 解析：根据平行线的性质得出 EAC= ACB，再利用 ASA 证出 ABD CAE，从而得出 AD=CE. 答案： AE BD， EAC= ACB， AB=AC， B= ACB， B= EAC， 在 ABD和 CAE中， B E A CA B A CB A D A C E， ABD CAE， AD=CE. 18.某商场服装部为
14、了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额 (单位：万元 )，并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图和图 .请根据相关信息，解答下列问题 . ( )该商场服装部营业员的人数为 ，图中 m的值为 . 解析： (1)根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出 m的值即可 . 答案： (1)根据条形图 2+5+7+8+3=25(人 )， m=100-20-32-12-8=28. 故答案为： 25， 28. ( )求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数 . 解析： (2)利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可 . 答案： (2)观察条形统计图， 1 2 2 1 5 5 1
15、8 7 2 1 8 2 4 3 1 8 . 625x ， 这组数据的平均数是 18.6， 在这组数据中， 21 出现了 8次，出现的次数最多， 这组数据的众数是 21， 将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是 18， 这组数据的中位数是 18. 19.某中学要在全校学生中举办“中国梦 ?我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛 .九年级 (1)班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛 .经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛 (胜者参赛 ). 规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数
16、，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止 . 如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题： (1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？ 解析： (1)首先判断出向上一面的点数为奇数有 3 种情况，然后根据概率公式，求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可 . 答案： (1)向上一面的点数为奇数有 3种情况， 小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是： 3162. (2)该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由 .(骰子：六个面上分别刻有 1， 2，3， 4， 5， 6个小圆点的小正方体 ) 解析： (
17、2)首先应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平即可 . 答案： (2)填表如下： 由上表可知，一共有 36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有 9种结果 . P(小亮胜 ) 1936 4 ， P(小丽胜 ) 1936 4 ， 游戏是公平的 . 20.热气球的探测器显示，从热气球底部 A处看一栋高楼顶部的俯角为 30，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球 A处于地面距离为 420米，求这栋楼的高度 . 解析：过 A作 AE BC，交 CB 的延长线于点 E，先解 Rt ACD，求出 CD的长，则 AE=CD，再解 Rt
18、ABE，求出 BE 的长，然后根据 BC=AD-BE 即可得到这栋楼的高度 . 答案：过 A作 AE BC，交 CB的延长线于点 E， 在 Rt ACD中， CAD=30， AD=420米， CD=AD tan30 3 334 2 0 1 4 0 (米 )， AE=CD 3140 米 . 在 Rt ABE中， BAE=30， AE 3140 米， BE=AE tan30 34 0 13103 4 (米 )， BC=AD-BE=420-140=280(米 ). 答：这栋楼的高度为 280米 . 21.胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人
19、640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过 20 人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为 x人 . (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用 y(元 )与 x(人 )之间的函数关系式 . 解析： (1)根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得 y甲 =640 0.85x，对于乙两家旅行社的总费用，分类讨论：当 0 x 20时， y 乙 =640 0.9x；当 x 20时， y乙 =640 0.920+640 0.75(x-20). 答案： (
20、1)甲两家旅行社的总费用： y 甲 =640 0.85x=544x； 乙两家旅行社的总费用：当 0 x 20 时， y 乙 =640 0.9x=576x；当 x 20 时， y 乙 =640 0.9 20+640 0.75(x-20)=480x+1920. (2)若胡老师组团参加两日游的人数共有 32 人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家 . 解析： (2)把 x=32分别代入 (1)中对应得函数关系计算 y甲和 y乙的值，然后比较大小即可 . 答案： (2)当 x=32时， y 甲 =544 32=17408(元 )， y 乙 =480 32+1920=17
21、280， 因为 y 甲 y 乙 ， 所以胡老师选择乙旅行社 . 22.如图， AC 是 O的直径， BC是 O的弦，点 P 是 O外一点，连接 PB、 AB， PBA= C. (1)求证： PB 是 O的切线 . 解析： (1)连接 OB，由圆周角定理得出 ABC=90，得出 C+ BAC=90，再由 OA=OB，得出 BAC= OBA，证出 PBA+ OBA=90，即可得出结论 . 答案： (1)连接 OB，如图所示： AC是 O的直径， ABC=90， C+ BAC=90， OA=OB， BAC= OBA， PBA= C， PBA+ OBA=90， 即 PB OB， PB是 O的切线 .
22、(2)连接 OP，若 OP BC，且 OP=8， O的半径为 22，求 BC的长 . 解析： (2)证明 ABC PBO，得出对应边成比例，即可求出 BC 的长 . 答案： (2) O的半径为 22， OB=22， AC=42， OP BC， C= BOP， 又 ABC= PBO=90， ABC PBO， BC ACOB OP， 即 4 22 2 8BC ， BC=2. 23.如图，抛物线 22 23y ax x (a 0)的图象与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B点坐标为 (4， 0). (1)求抛物线的解析式 . 解析： (1)将点 B的坐标代入代入抛物线的解析
23、式，可求得 a的值，将 a的值代入可求得抛物线的解析式 . 答案： (1)将点 B的坐标代入得： 16a-6-2=0，解得： a=12， 抛物线的解析式为 2 21322y x x . (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 PB+PC 的和最小？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (2)先求得点 C的坐标，然后依据待定系数法求得直线 BC 的解析式，然后再求得抛物线的对称轴方程，由三角形的三边关系可知当点 P、 C、 B在一条直线上时， PC+PB 有最小值，最后将点 P的横坐标代入直线 BC 的解析式可求得点 P的纵坐标 . 答案： (2)如图 1所示： P
24、C+PB BC， 当点 P、 C、 B在一条直线上时， PC+PB有最小值 . 令 x=0得； y=-2， 点 C的坐标为 (0， -2). 设直线 BC的解析式为 y=kx+b. 将点 B、 C的坐标代入得： 402kbb，解得： 221kb ， 直线 BC的解析式为2 21yx. 抛物线的对称轴为3322 2 1 22bxa ， 点 P的横坐标为 32. 将 x=32代入直线 BC的解析式得； 1 3 522 2 4y ， 点 P的坐标为 35()24，. (3)若点 M是线段 BC下方的抛物线上一点，求 MBC面积的最大值，并求出此时 M点的坐标 . 解析： (3)过点 M 作 MD x
25、 轴，交直线 BC 与点 D.设点 213()2 22M a a a，则点1()2 2D a a ， .于是可求得 DM 的长 (用含 a 的式子表示 )，接下来，依据三角形的面积公式得到 CMB的面积与 a 的函数关系式，最后依据配方法可求得 CMB 的面积的最大值以及点a的值 . 答案： (3)过点 M作 MD x轴，交直线 BC与点 D. 设点 点 213()2 22M a a a，则点 1()2 2D a a ，. 221 1 3 12 2 2 2222D M a a a a a . 22211 4 122 2 4 22 4C M BS M D O B a a a a a ， 当 a=2时， CMB的面积有最大值， CMB的最大面积 =4. 点 M(2， -3).
