1、 2016 年内蒙古包头市中考真题数学 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 . 1.若 2(a+3)的值与 4 互为相反数，则 a 的值为 ( ) A.-1 B. 72C.-5 D.12解析： 2(a+3)的值与 4 互为相反数， 2(a+3)+4=0， a=-5. 答案： C 2.下列计算结果正确的是 ( ) A. 2 3 2 3 B. 8 2 2 C.(-2a2)3=-6a6 D.(a+1)2=a2+1 解析： A、 23 不是同类二次根式，所以不能合并，所以 A 错误； B、 8 2 2，所以 B 正确； C、 (-2a2)3=-8a6 -6a6，所以 C
2、错误； D、 (a+1)2=a2+2a+1 a2+1，所以 D 错误 . 答案： B 3.不等式 1 123xx的解集是 ( ) A.x 4 B.x 4 C.x -1 D.x -1 解析：去分母，得： 3x-2(x-1) 6， 去括号，得： 3x-2x+2 6， 移项、合并，得： x 4， 答案 ： A. 4.一组数据 2， 3， 5， 4， 4， 6 的中位数和平均数分别是 ( ) A.4.5 和 4 B.4 和 4 C.4 和 4.8 D.5 和 4 解析：这组数据按从小到大的顺序排列为： 2， 3， 4， 4， 5， 6， 故中位数为： (4+4) 2=4； 平均数为： (2+3+4+4
3、+5+6) 6=4. 答案： B. 5.120的圆心角对的弧长是 6，则此弧所在圆的半径是 ( ) A.3 B.4 C.9 D.18 解析：根据弧长的公式180nrl ， 得到： 1206180r ， 解得 r=9. 答案： C. 6.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是 ( ) A.38B.58C.23D.12解析：由题意可得，所有的可能性为： 至少有两枚硬币正面向上的概率是： 4182， 答案： D. 7.若关于 x 的方程 2 1102x m x （ ）的一个实数根的倒数恰是它本身，则 m 的值是( ) A. 52B.12C. 52或 12D.1 解析：由根与系数的
4、关系可得： x1+x2=-(m+1)， x1 x2=12， 又知个实数根的倒数恰是它本身， 则该实根为 1 或 -1， 若是 1 时，即 1+x2=-(m+1)，而 x2=12，解得 m= 52； 若是 -1 时，则 m=12. 答案： C. 8.化简221 1 1 1 aba b a b （ ），其结果是 ( ) A. 22ababB. 22abbaC. 1abD. 1ba解析：原式 = 2 2 2 2a b a b a baba b a b a b b a ， 答案： B 9.如图，点 O 在 ABC 内，且到三边的距离相等 .若 BOC=120，则 tanA 的值为 ( ) A. 3 B
5、. 33C. 32D. 22解析：点 O 到 ABC 三边的距离相等， BO 平分 ABC， CO 平分 ACB， A=180 -( ABC+ ACB)=180 -2( OBC+ OCB)=180 -2 (180 - BOC)=180 -2(180 -120 )=60， tanA=tan60 = 3 ， 答案： A. 10.已知下列命题：若 a b，则 a2 b2；若 a 1，则 (a-1)0=1；两个全等的三角形的面积相等；四条边相等的四边形是菱形 .其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 解析：当 a=0， b=-1 时， a2 b2，
6、所以命题“若 a b，则 a2 b2”为假命题，其逆命题为若a2 b2；，则 a b“，此逆命题也是假命题，如 a=-2， b=-1； 若 a 1，则 (a-1)0=1，此命题为真命题，它的逆命题为：若 (a-1)0=1，则 a 1，此逆命题为假命题，因为 (a-1)0=1，则 a 1； 两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题； 四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题 . 答案： D. 11.如图，直线 2 43yx与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、 D 分别为线段
7、AB、 OB的中点，点 P 为 OA 上一动点， PC+PD 值最小时点 P 的坐标为 ( ) A.(-3， 0) B.(-6， 0) C.( 32， 0) D.( 52， 0) 解析：作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小，如图所示 . 令 2 43yx中 x=0，则 y=4， 点 B 的坐标为 (0， 4)； 令 2 43yx中 y=0，则 23x+4=0，解得： x=-6， 点 A 的坐标为 (-6， 0). 点 C、 D 分别为线段 AB、 OB 的中点， 点 C(-3， 2)，点 D(0， 2). 点 D和点 D 关于 x 轴对称，
8、 点 D的坐标为 (0， -2). 设直线 CD的解析式为 y=kx+b， 直线 CD过点 C(-3， 2)， D (0， -2)， 有 232kbb -，解得： 432kb ， 直线 CD的解析式为 y=-43x-2. 令 y=-43x-2 中 y=0，则 0=-43x-2，解得： x=-32， 点 P 的坐标为 (-32， 0). 答案： C. 12.如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， ABC=90， E 是 AB 上一点，且 DE CE.若 AD=1，BC=2， CD=3，则 CE 与 DE 的数量关系正确的是 ( ) A.CE= 3 DE B.CE= 2 DE C.CE=3D
9、E D.CE=2DE 解析：过点 D 作 DH BC， AD=1， BC=2， CH=1， DH=AB= 2 2 2 23 1 2 2C D C H ， AD BC， ABC=90， A=90， DE CE， AED+ BEC=90， AED+ ADE=90， ADE= BEC， ADE BEC， A D A E D EB E B C C E ， 设 BE=x，则 AE=22x ， 即 1 2 22 xx ， 解得 x= 2 ， 12A D D EB E C E ， CE= 2 DE， 答案： B. 二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 13.据统计， 2015 年，
10、我国发明专利申请受理量达 1102000 件，连续 5 年居世界首位，将1102000 用科学记数法表示为 . 解析：将 1102000 用科学记数法表示为 1.102 106， 答案： 1.102 106. 14.若 2x-3y-1=0，则 5-4x+6y 的值为 . 解析： 2x-3y-1=0， 2x-3y=1， 5-4x+6y=5-2(2x-3y) =5-21 =3. 答案： 3. 15.计算： 216 3 13 （ ）= . 解析：原式 = 36 3 2 3 13 （ ）= 2 3 4 2 3 =-4. 答案： -4. 16.已知一组数据为 1， 2， 3， 4， 5，则这组数据的方差
11、为 . 解析：平均数为 =(1+2+3+4+5) 5=3， 2 2 2 2 2 21 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 25 S （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）. 答案： 2. 17.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE BD，垂足为点 E，若 EAC=2 CAD，则 BAE= 度 . 解析：四边形 ABCD 是矩形， AC=BD， OA=OC， OB=OD， OA=OB OC， OAD= ODA， OAB= OBA， AOE= OAC+ OCA=2 OAC， EAC=2 CAD， EAO= AOE， AE BD， AEO=90，
12、AOE=45， OAB= OBA=180 452 =67.5， BAE= OAB- OAE=22.5 . 答案： 22.5 . 18.如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P，连接 AC，若 A=30， PC=3，则 BP 的长为 . 解析： OA=OC， A=30， OCA= A=30， COB= A+ ACO=60， PC 是 O 切线， PCO=90， P=30， PC=3， OC=PC tan30 = 3 ， PO=2OC=2 3 ， PB=PO-OB= 3 ， 答案： 3 . 19.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限
13、内，点 B 在 x 轴上， AOB=30， AB=BO，反比例函数 kyx(x 0)的图象经过点 A，若 S ABO= 3 ，则 k 的值为 . 解析：过点 A 作 AD x 轴于点 D，如图所示 . AOB=30， AD OD， ODAD=cot AOB= 3 ， AOB=30， AB=BO， AOB= BAO=30， ABD=60， BDAD=cot ABD= 33， OB=OD-BD， 333 233ADO B O D B DO D O D AD ， 23ABOADOSS ， S ABO= 3 ， 1 3 322A D OSk ， 反比例函数图象在第二象限， k=-33 答案： -33.
14、 20.如图，已知 ABC 是等边三角形，点 D、 E 分别在边 BC、 AC 上，且 CD=CE，连接 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连接 AF， CF，连接 BE 并延长交 CF 于点 G.下列结论： ABE ACF； BC=DF； S ABC=S ACF+S DCF；若 BD=2DC，则 GF=2EG.其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号 ) 解析：正确 . ABC 是等边三角形， AB=AC=BC， BAC= ACB=60， DE=DC， DEC 是等边三角形， ED=EC=DC， DEC= AEF=60， EF=AE， AEF 是等边三角形， AF=AE， EAF=6
15、0， 在 ABE 和 ACF 中， A B A CB A E C A FA E A F， ABE ACF，故正确 . 正确 . ABC= FDC， AB DF， EAF= ACB=60， AB AF， 四边形 ABDF 是平行四边形， DF=AB=BC，故正确 . 正确 . ABE ACF， BE=CF， S ABE=S AFC， 在 BCE 和 FDC 中， BC DFCE CDBE CF， BCE FDC， S BCE=S FDC， S ABC=S ABE+S BCE=S ACF+S BCE=S ABC=S ACF+S DCF，故正确 . 正确 . BCE FDC， DBE= EFG， B
16、ED= FEG， BDE FGE， BD DEFG EG， FG BDEG DE， BD=2DC， DC=DE， FGEG=2， FG=2EG.故正确 . 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 60 分 . 21.一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有 1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 23. (1)求袋子中白球的个数； (请通过列式或列方程解答 ) (2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率 .(请结合树状图或列表解答 ) 解析： (1)首先设袋子中白球有 x 个，利用概率公式求即可得方程：1
17、23xx ，解此方程即可求得答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： (1)设袋子中白球有 x 个， 根据题意得：1 23xx ， 解得： x=2， 经检验， x=2 是原分式方程的解， 袋子中白球有 2 个； (2)画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有 5 种情况， 两次都摸到相同颜色的小球的概率为： 59. 22.如图，已知四边形 ABCD 中， ABC=90， ADC=90， AB=6， CD=4， BC 的延长线与AD 的延长线交于点 E. (1)若 A
18、=60，求 BC 的长； (2)若 sinA=45，求 AD 的长 . (注意：本题中的计算过程和结果均保留根号 ) 解析： (1)要求 BC 的长，只要求出 BE 和 CE 的长即可，由题意可以得到 BE 和 CE 的长，本题得以解决； (2)要求 AD 的长，只要求出 AE 和 DE 的长即可，根据题意可以得到 AE、 DE 的长，本题得以解决 . 答案： (1) A=60， ABE=90， AB=6， tanA=BEAB， E=30， BE=tan60 6=63， 又 CDE=90， CD=4， sinE=CDCE， E=30， 4812CE， BC=BE-CE=63-8； (2) AB
19、E=90， AB=6， sinA= 45 BEAE， 设 BE=4x，则 AE=5x，得 AB=3x， 3x=6，得 x=2， BE=8， AE=10， tanE= 6 48 CDABB E D E D E ， 解得， 163DE， AD=AE-DE= 16 141033， 即 AD 的长是 143. 23.一幅长 20cm、宽 12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3： 2.设竖彩条的宽度为 xcm，图案中三条彩条所占面积为 ycm2. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 25，求横、竖彩条的宽度 . 解析： (1
20、)由横、竖彩条的宽度比为 3： 2 知横彩条的宽度为 32xcm，根据：三条彩条面积 =横彩条面 积 +2 条竖彩条面积 -横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式； (2)根据：三条彩条所占面积是图案面积的 25，可列出关于 x 的一元二次方程，整理后求解可得 . 答案： (1)根据题意可知，横彩条的宽度为 32xcm， y=20 32x+2 12 x-2 32x x=-3x2+54x， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-3x2+54x； (2)根据题意，得： -3x2+54x=25 20 12， 整理，得： x2-18x+32=0， 解得： x1=2， x2=16(舍 )， 32x=
21、3， 答：横彩条的宽度为 3cm，竖彩条的宽度为 2cm. 24.如图，在 Rt ABC 中， ABC=90， AB=CB，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，点 E 是AB 边上一点 (点 E 不与点 A、 B 重合 )， DE 的延长线交 O 于点 G， DF DG，且交 BC 于点 F. (1)求证： AE=BF； (2)连接 GB， EF，求证： GB EF； (3)若 AE=1， EB=2，求 DG 的长 . 解析： (1)连接 BD，由三角形 ABC 为等腰直角三角形，求出 A 与 C 的度数，根据 AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到 ADB 为直角，即 BD 垂直于 A
22、C，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 AD=DC=BD=12AC，进而确定出 A= FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用 ASA 得到三角形 AED 与三角形 BFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证 ； (2)连接 EF， BG，由三角形 AED 与三角形 BFD 全等，得到 ED=FD，进而得到三角形 DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证； (3)由全等三角形对应边相等得到 AE=BF=1，在直角三角形 BEF 中，利用勾股定理求出 EF 的长，利用锐角三角形函数定义求出 DE 的长
23、，利用两对角相等的三角形相似得到三角形 AED与三角形 GEB 相似，由相似得比例，求出 GE 的长，由 GE+ED 求出 GD 的长即可 . 答案： (1)证明：连接 BD， 在 Rt ABC 中， ABC=90， AB=BC， A= C=45， AB 为圆 O 的直径， ADB=90，即 BD AC， AD=DC=BD=12AC， CBD= C=45， A= FBD， DF DG， FDG=90， FDB+ BDG=90， EDA+ BDG=90， EDA= FDB， 在 AED 和 BFD 中， A F B DA D B DE D A F D B， AED BFD(ASA)， AE=BF
24、； (2)证明：连接 EF， BG， AED BFD， DE=DF， EDF=90， EDF 是等腰直角三角形， DEF=45， G= A=45， G= DEF， GB EF； (3) AE=BF， AE=1， BF=1， 在 Rt EBF 中， EBF=90， 根据勾股定理得： EF2=EB2+BF2， EB=2， BF=1， EF= 222 1 5 ， DEF 为等腰直角三角形， EDF=90， cos DEF= DEEF， EF= 5 ， DE= 102522， G= A， GEB= AED， GEB AED， GE EBAE ED，即 GE ED=AE EB， 102 GE=2，即 G
25、E= 2 105， 则 GD=GE+ED= 9 1010. 25.如图，已知一个直角三角形纸片 ACB，其中 ACB=90， AC=4， BC=3， E、 F 分别是 AC、AB 边上点，连接 EF. (1)图，若将纸片 ACB的一角沿 EF折叠，折叠后点 A落在 AB边上的点 D处，且使 S 四边形 ECBF=3S EDF，求 AE 的长； (2)如图，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处，且使 MF CA. 试判断四边形 AEMF 的形状，并证明你的结论； 求 EF 的长； (3)如图，若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N， CN=1
26、， CE=47，求 AFBF的值 . 解析： (1)先利用折叠的性质得到 EF AB， AEF DEF，则 S AEF S DEF，则易得 S ABC=4S AEF，再证明 Rt AEF Rt ABC，然后根据相似三角形的性质得到 2AEFABCS AFS B F（ ） ，再利用勾股定理求出 AB 即可得到 AE 的长； (2)通过证明四条边相等判断四边形 AEMF 为菱形； 连结 AM 交 EF 于点 O，如图，设 AE=x，则 EM=x， CE=4-x，先证明 CME CBA 得到43 4 5C M x x，解出 x 后计算出 CM=43 ，再利用勾股定理计算出 AM，然后根据菱形的面积公
27、式计算 EF； (3)如图，作 FH BC 于 H，先证明 NCE NFH，利用相似比得到 FH： NH=4： 7，设 FH=4x，NH=7x，则 CH=7x-1， BH=3-(7x-1)=4-7x，再证明 BFH BAC，利用相似比可计算出 x=25，则可计算出 FH 和 BH，接着利用勾股定理计算出 BF，从而得到 AF 的长，于是可计算出 AFBF的值 . 答案： (1)如图， ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处， EF AB， AEF DEF， S AEF S DEF， S 四边形 ECBF=3S EDF， S ABC=4S AEF， 在 Rt A
28、BC 中， ACB=90， AC=4， BC=3， AB= 223 4 5， EAF= BAC， Rt AEF Rt ABC， 2AEFABCS AFS B F（ ） ，即 2 154AE （ ） ， AE=52； (2)四边形 AEMF 为菱形 .理由如下： 如图， ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处， AE=EM， AF=MF， AFE= MFE， MF AC， AEF= MFE， AEF= AFE， AE=AF， AE=EM=MF=AF， 四边形 AEMF 为菱形； 连结 AM 交 EF 于点 O，如图， 设 AE=x，则 EM=x， CE=4-x，
29、 四边形 AEMF 为菱形， EM AB， CME CBA， C M C E EMC B C A A B，即 43 4 5C M x x，解得 x=209， CM=43， 在 Rt ACM 中， AM= 22 2 2 4 1 04433A C C M ， S 菱形 AEMF=12EF AM=AE CM， EF= 2042 4 1 03994 1 03 ； (3)如图，作 FH BC 于 H， EC FH， NCE NFH， CN： NH=CE： FH，即 1： NH=47： FH， FH： NH=4： 7， 设 FH=4x， NH=7x，则 CH=7x-1， BH=3-(7x-1)=4-7x，
30、 FH AC， BFH BAC， BH： BC=FH： AC，即 (4-7x)： 3=4x： 4，解得 x=25， FH=4x=85， BH=4-7x=65， 在 Rt BFH 中， BF= 226855=2， AF=AB-BF=5-2=3， 32AFBF. 26.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx-2(a 0)与 x 轴交于 A(1， 0)、 B(3， 0)两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为点 D，点 E 的坐标为 (0， -1)，该抛物线与 BE 交于另一点 F，连接 BC. (1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为 y=a(x-h)2+k 的形式； (2)若
31、点 H(1， y)在 BC 上，连接 FH，求 FHB 的面积； (3)一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动，连接 OM，BM，设运动时间为 t 秒 (t 0)，在点 M 的运动过程中，当 t 为何值时， OMB=90？ (4)在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 P，使得 PBF 被 BA 平分？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)用待定系数法求出抛物线解析式； (2)先求出 GH，点 F 的坐标，用三角形的面积公式计算即可； (3)设出点 M，用勾股定理求出点 M 的坐标，从而求出 MD，最后求出时间 t； (
32、4)由 PBF 被 BA 平分，确定出过点 B 的直线 BN 的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可 . 答案： (1)抛物线 y=ax2+bx-2(a 0)与 x 轴交于 A(1， 0)、 B(3， 0)两点， 209 3 2 0abab8332ab ， 抛物线解析式为 222 2 23 3 38 223y x x x （ ）； (2)如图 1， 过点 A 作 AH y 轴交 BC 于 H， BE 于 G， 由 (1)有， C(0， -2)， B(0， 3)， 直线 BC 解析式为 y=23x-2， H(1， y)在直线 BC 上， y=-43， H(1， -43)， B(3， 0)， E(
33、0， -1)， 直线 BE 解析式为 y=-13x-1， G(1， -23)， GH=23， 直线 BE： y=-13x-1 与抛物线 2 2323 8y x x 相较于 F， B， F( 5126，)， 1122F H B G F B GS G H x x G H x x =12GH|xB-xF| = 132 231 2 （ ）=56. (3)如图 2， 由 (1)有 2 2323 8y x x ， D 为抛物线的顶点， D(2， 43)， 一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动， 设 M(2， m)， (m 43)， OM2=m2+4， BM2=m
34、2+1， OB2=9， OMB=90， OM2+BM2=OB2， m2+4+m2+1=9， m= 2 或 m=- 2 (舍 )， M(0， 2 )， MD= 423， 一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动， t= 423； (4)存在点 P，使 PBF 被 BA 平分， 如图 3， PBO= EBO， E(0， -1)， 在 y 轴上取一点 N(0， 1)， B(3， 0)， 直线 BN 的解析式为 y=-13x+1， 点 P 在抛物线 2 2323 8y x x 上， 联立得，3212xy或 30xy(舍 )， P( 3122，)， 即：在 x 轴上方的抛物线上，存在点 P，使得 PBF 被 BA 平分， P(3122，).
