1、四川省专升本（高等数学）-试卷 9 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量3.= ( ) （分数：2.00）A.0B.1C.D.一 14.方程 x 3 +2x 2 x2=0 在3，2上 ( )（分数：2.00）A.有 1 个实根B.有 2 个实根C.至少有 1 个实根D.无实根5.设 z=x 3 e y2
2、 ，则 dz= ( )（分数：2.00）A.6x 2 ye y2 dxdyB.x 2 e y2 (3dx+2xydy)C.3x 2 e y2 dxD.x 3 e y2 dy6.直线 （分数：2.00）A.平行B.直线在平面内C.垂直D.相交但不垂直7.若 f(x)dx=sin2，则 （分数：2.00）A.sin2B.2sin2C.sin2D.8.设向量 a=j+3k，b= （分数：2.00）A.abB.ab 且 a，b 同向C.ab 且 a，b 反向D.a 与 b 既不平行，也不垂直9.若幂级数 （分数：2.00）A.(1，3B.1，3)C.(1，3)D.1，310.微分方程 （分数：2.00
3、）A.y=CcosxB.y 1 =CsinxC.y 1 =C+sinxD.y=Csinx11.设 A，B 是两个 n 阶方阵，若 AB=0，则必有 ( )（分数：2.00）A.A=0 且 B=0B.A=0 或 B=0C.A=0 且B=0D.A=0 或B=0二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.函数 y=x 3 一 2x+1 在区间1，2上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.比较积分大小： lnxdx 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知平面 ：2x+y3z+2=0，则过原点且与 垂直的直线方程为 1
4、（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.求由方程 siny+xe y =0 确定的曲线在点(0，)处的切线方程（分数：2.00）_20.设 f(x)为连续函数，且 f(x)=x 3 +3x （分数：2.00）_21.设函数 z=2cos 2 (x y)，求 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.将函数 f(x)=ln(1+x 一 2x 2 )展开为 x 0
5、 =0 的幂级数（分数：2.00）_24.求微分方程 y+4y+3y=9e 3x 的通解（分数：2.00）_25.a，b 分别取何值时，方程组 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.求 y=e x ，y=sinx，x=0 与 x=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V x （分数：2.00）_27.将函数 f(x)= （分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明：当 x1 时，lnx （分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 9 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数
6、：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量 D.无界变量一定是无穷大量解析：解析：A 项：无穷小量(除去零)的倒数是无穷大量 B 项：无穷小量不是绝对值很小很小的数(除去零) C 项：无穷小量是以零为极限的变量 D 项：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量是无界变量3.= ( ) （分数：2.00）A.0 B.1C.D.一 1解析：解析： =0，cosx 有界， 4.方程 x 3 +2x 2 x2=0 在3，
7、2上 ( )（分数：2.00）A.有 1 个实根B.有 2 个实根C.至少有 1 个实根 D.无实根解析：解析：设 f(x)=x 3 +2x 2 一 x 一 2(x一 3，2) 因为 f(x)在区间一 3，2上连续， 且f(3)=80，f(2)=120， 由“零点定理”可知，至少存在一点 ( 3，2)，使 f()=0， 所以方程在一 3，2上至少有 1 个实根5.设 z=x 3 e y2 ，则 dz= ( )（分数：2.00）A.6x 2 ye y2 dxdyB.x 2 e y2 (3dx+2xydy) C.3x 2 e y2 dxD.x 3 e y2 dy解析：解析：公式法 因为 =3x 2
8、 e y2 =x 3 .e y2 .2y=2x 3 ye y2 ， 所以 dz= 6.直线 （分数：2.00）A.平行 B.直线在平面内C.垂直D.相交但不垂直解析：解析：由题意得直线过点(0，0，0)且直线的方向向量为(1，一 1，0)，平面的法向量为(1，1，1)，由(1，1，0)(1，1，1)=0 且点(0，0，0)不在平面上可得直线与平面平行7.若 f(x)dx=sin2，则 （分数：2.00）A.sin2B.2sin2C.sin2 D.解析：解析：本题考查的知识点是定积分的概念和定积分的换元积分法换元时积分的上、下限一定要一起换 因为 f(x)dx=sin2 更广义的理解应为 f(u
9、)du=sin2，所以8.设向量 a=j+3k，b= （分数：2.00）A.abB.ab 且 a，b 同向C.ab 且 a，b 反向 D.a 与 b 既不平行，也不垂直解析：解析：由题意知 a=2b，则易判断 ab 且 a，b 反向9.若幂级数 （分数：2.00）A.(1，3 B.1，3)C.(1，3)D.1，3解析：解析：令 x 一 a=t， ，收敛半径 R=1，收敛域为 t1，1)，故10.微分方程 （分数：2.00）A.y=CcosxB.y 1 =Csinx C.y 1 =C+sinxD.y=Csinx解析：解析：y=0 是原方程的常数解，当 y0 时，原方程可化为 11.设 A，B 是
10、两个 n 阶方阵，若 AB=0，则必有 ( )（分数：2.00）A.A=0 且 B=0B.A=0 或 B=0C.A=0 且B=0D.A=0 或B=0 解析：解析：由 A=二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 f(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由导数定义有13.函数 y=x 3 一 2x+1 在区间1，2上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：y=3x 2 2，令其为 0，得驻点 x= 14.比较积分大小： lnxdx 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
11、）解析：解析：因为在1，2上 lnx(lnx) 3 ，所以 15.已知平面 ：2x+y3z+2=0，则过原点且与 垂直的直线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知平面 ：2x+y 一 3z+2=0，其法向量 n=(2，1，3)又知直线与平面 垂直，则直线的方向向量为 s=(2，1，3)，所以直线方程为16.已知 f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设有 f(x)dx =f(1)f(x)三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步
12、骤。（分数：2.00）_解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：利用等价无穷小量代换，当 x0 时，tanxx，sinx 4 x 4 ，1 一 cosx 19.求由方程 siny+xe y =0 确定的曲线在点(0，)处的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两边对 x 求导得 cosy.y+e y +xe y .y=0， 得 所以 )解析：解析：本题主要考查如何求切线方程已知切线过定点，只需求出函数在该点的导数值，即得切线的斜率，代入直线方程，进而求得切线方程20.设 f(x)为连续函数，且 f(x)=x 3 +3x （分数：2.00）_正
13、确答案：(正确答案：设 A= f(x)dx，则 f(x)=x 3 +3Ax 将上式两端在0，1上积分，得 因此 f(x)=x 3 一 )解析：解析：由于定积分 f(x)dx 存在，因此它表示一个确定的数值，设 A= f(x)dx，则 f(x)=x 3 +3Ax这是解题的关键，为了能求出 A，可考虑将左端也转化为 A 的表达式，为此将上式两端在0，1上取定积分，可得 A= 21.设函数 z=2cos 2 (x y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=2cos 2 (x y)=1+cos(2xy)， =sin(2xy)， )解析：解析：对 y 求偏导时，将 x 视为常数求二阶混合偏
14、导数时，次序可以互换，如本题中先求=2sin(2xy)， 一 2sin(2xy)=2cos(2xy)=22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L 1 是先沿直线从点(1，1)到点(1，2)，L 1 ：x=1，y：12， L 2 是沿直线点从(1，2)到点(4，2)，L 2 ：y=2，x：14， )解析：解析：本题考查对坐标曲线积分的计算23.将函数 f(x)=ln(1+x 一 2x 2 )展开为 x 0 =0 的幂级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1+x 一 2x 2 =(1+2x)(1x)， 所以 ln(1+x 一 2x 2 )=ln(1+2x)+ln(1x)
15、 由 ln(1+x)= (一 1x1)。 得 ln(1+2x)= ln(1 一 x)= (一 1x1)， 故 )解析：解析：因为我们已知 ln(1+x)和 ln(1 一 x)的展开式，所以首先将 f(x)化成上述形式即 ln(1+x一 2x 2 )=ln(1+2x)(1 一 x)=ln(1+2x)+ln(1 一 x)然后套用已知展开式这是间接展开的方法24.求微分方程 y+4y+3y=9e 3x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程：r 2 +4r+3=0 r 1 =1，r 2 =3 故对应的齐次方程y+4y+3y=0 的通解为 =C 1 e x +C 2 e 3x ， 因
16、为 a=3 是特征值，故可设特解为 y * =Axe 3x 因为(y * )=Ae 3x 一 3Axe 3x ， (y * )=3Ae 3x 一 3(Ae 3x 一 3Axe 3x )=6Ae 3x +9Axe 3x ， 代入 y+4y+3y=9e 3x 得 一 2Ae 3x =9e 3x 所以 y * = xe 3x 故所求通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x )解析：解析：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解求解二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)的一般步骤：(1)先求出其相应的齐次方程通解 25.a，b 分别取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：
17、(正确答案：增广矩阵 讨论：(1)当 a0 时，继续初等行变换可化为 r(A)r(B)，无解 (2)当 a=0 时，继续初等行变换可化为 进一步讨论 b 的值 当 a=0，b4 时，r(A)r(B)，无解 当 a=0，b=4 时，r(A)=r(B)=25， 有无穷多解，基础解系个数为 52=3， 此时 自由未知量 x 3 ，x 4 ，x 5 ，分别在对应的齐次方程组中代入(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)可解出导出组 AX=0 的基础解系： )解析：解析：本题考查利用初等变换求非齐次线性方程组的通解四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.求 y=e x ，y=sinx，x=0
18、 与 x=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由图可知所求体积为 V x = (1 一 cos2x)dx = )解析：解析：解答本题首先应画出0，1上 y=e x 和 y=sinx 的图象，确定积分变量，利用体积公式计算求得结果27.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 又 =1 一 x+x 2 x 3 +(1) n x n +(x1)， 所以 )解析：解析：因为我们已知 的展开式，所以首先将 f(x)化成五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.证明：当 x1 时，lnx （分数：2.0
19、0）_正确答案：(正确答案：先将不等式变形为(x+1)lnx2(x1) 设 F(x)=(x+1)lnx2(x1)，则因为当 x=1 时，F(1)=0， 所以当 x1 时，只要证明 F(x)F(1)=0，即证 F(x)为单调递增函数即可 由于 当 x1 时，F(x)0，所以 F(x)为单调递增函数 即当 x1 时，F(x)F(1)=0 由于 F(x)0，得 F(x)为单调递增函数， 所以当 x1，F(x)F(1)=0， 即当 x1 时，(x+1)lnx2(x1)0 所以当 x1 时，lnx )解析：解析：通过构造函数 F(x)=(x+1)lnx2(x1)，利用函数求导得出 F(x)F(1)=0，即证明不等式成立
