1、 2016 年北京市中考真题数学 一、选择题 (本题共 30 分，每小题 3 分 ) 1.如图所示，用量角器度量 AOB，可以读出 AOB 的度数为 ( ) A.45 B.55 C.125 D.135 解析：由图形所示， AOB 的度数为 55， 答案： B. 2.神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约 28000 公里，将 28000 用科学记数法表示应为 ( ) A.2.8 103 B.28 103 C.2.8 104 D.0.28 105 解析： 28000=1.1 104. 答案： C. 3.实数 a， b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 ( ) A.a
2、-2 B.a -3 C.a -b D.a -b 解析： A、如图所示： -3 a -2，故此选项错误； B、如图所示： -3 a -2，故此选项错误； C、如图所示： 1 b 2，则 -2 -b -1，故 a -b，故此选项错误； D、由选项 C 可得，此选项正确 . 答案： D. 4.内角和为 540的多边形是 ( ) A. B. C. D. 解析：设多边形的边数是 n，则 (n-2) 180 =540， 解得 n=5. 答案： C. 5.如图是某个几何体的三视图，该几何体是 ( ) A.圆锥 B.三棱锥 C.圆柱 D.三棱柱 解析：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可
3、判断出这个几何体应该是三棱柱 . 答案： D 6.如果 a+b=2，那么代数 2 baaa a b （ ）的值是 ( ) A.2 B.-2 C.12 D.-12解析： a+b=2， 原式 = 2a b a b a aba a b 答案： A. 7.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确 . 答案： D. 8.在 1-7 月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤
4、利润最大的月份是 ( ) A.3 月份 B.4 月份 C.5 月份 D.6 月份 解析：由图象中的信息可知， 3 月份的利润 =7.5-4.5=3 元， 4 月份的利润 =6-2.4=3.6 元， 5 月份的利润 =4.5-1.5=3 元， 5 月份的利润 =2.5-1=1.5 元， 故出售该种水果每斤利润最大的月份是 4 月份， 答案： B. 9.如图，直线 m n，在某平面直角坐标系中， x 轴 m， y 轴 n，点 A 的坐标为 (-4， 2)，点B 的坐标为 (2， -4)，则坐标原点为 ( ) A.O1 B.O2 C.O3 D.O4 解析：设过 A、 B 的直线解析式为 y=kx+b
5、 点 A 的坐标为 (-4， 2)，点 B 的坐标为 (2， -4) 2442kbkb解得 12kb直线 AB 为 y=-x-2 直线 AB 经过第二、三、四象限 如图，连接 AB，则原点在 AB 的右上方 坐标原点为 O1 答案： A 10.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价 .水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的 80%， 15%和 5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市 5 万户居民家庭上一年的年用水量 (单位： m3)，绘制了统计图 .如图所示，下面四个推断 ( ) 年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭按第一档水价交
6、费； 年用水量超过 240m3 的该市居民家庭按第三档水价交费； 该市居民家庭年用水量的中位数在 150-180 之间； 该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180. A. B. C. D. 解析：由条形统计图可得：年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭一共有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(万 )， 45 100%=80%，故年用水量不超过 180m3 的该市居民家庭按第一档水价交费，正确； 年用水量超过 240m3 的该市居民家庭有 (0.15+0.15+0.05)=0.35(万 )， 0.355 100%=7% 5%，故年用水量超过 240m3 的该市居民家庭按第三
7、档水价交费，故此选项错误； 5 万个数数据的中间是第 25000 和 25001 的平均数， 该市居民家庭年用水量的中位数在 120-150 之间，故此选项错误； 由得，该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180，正确， 答案： B. 二、填空题 (本题共 18 分，每小题 3 分 ) 11.如果分式 21x有意义，那么 x 的取值范围是 . 解析：由题意，得 x-1 0， 解得 x 1， 答案： x 1. 12.如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 . 解析：由题意可得： am+bm+cm=m(a+b+c). 答案： am+bm+cm=m(a+b+c). 13.林业部门要考察
8、某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据： 移 植的棵数 n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成 活的棵数 m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成 活的频率 mn0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 . 解析： x =(0.865+0.904+0.888+0.875+0.882+0.878+0.879+0.881) 8=0.880， 这种幼树移植成活率的概率约为
9、0.880. 答案 ： 0.880 14.如图，小军、小珠之间的距离为 2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为 1.8m， 1.5m，已知小军、小珠的身高分别为 1.8m， 1.5m，则路灯的高为 m. 解析：如图， CD AB MN， ABE CDE， ABF MNF， C D D E F N M NA B B E F B A B ， ， 即 1 . 8 1 . 8 1 . 5 1 . 51 . 8 1 . 5 2 . 7A B B D A B B D ， ， 解得： AB=3m， 答：路灯的高为 3m. 15.百子回归图是由 1， 2， 3， 100 无重复排列而成的正方形数表，它是一部
10、数化的澳门简史，如：中央四位“ 19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“ 23 50”标示澳门面积，同时它也是十阶幻方，其每行 10 个数之和，每列 10 个数之和，每条对角 线 10 个数之和均相等，则这个和为 . 解析： 1 100 的总和为： 1 1 0 0 1 0 0 50502 ， 一共有 10 行，且每行 10 个数之和均相等，所以每行 10 个数之和为： 5050 10=505， 答案： 505. 16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线 l 和 l 外一点 P.(如图 1) 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P. 作法
11、：如图 2 (1)在直线 l 上任取两点 A， B； (2)分别以点 A， B 为圆心， AP， BP 长为半径作弧，两弧相交于点 Q； (3)作直线 PQ. 所以直线 PQ 就是所求的垂线 . 请回答：该作图的依据是 . 解析：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 (A、 B 都在线段 PQ 的垂直平分线上 )， 理由：如图， PA=PQ， PB=PB， 点 A、点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上， 直线 AB 垂直平分线段 PQ， PQ AB. 三、解答题 (本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29题 8 分
12、)，解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.计算： 03 4 4 5 8 1 3s i n （ ） . 解析：根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式 ( 03 4 4 5 8 1 3s i n （ ） 的值是多少即可 . 答案： 03 4 4 5 8 1 3s i n （ ） = 21 4 2 2 3 12 =1 2 2 2 2 3 1 = 3 18.解不等式组： 2 5 3 174 2xxxx . 解析： 根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集 . 答案：解不等式 2x+5 3(x-1)，得： x
13、8， 解不等式 742xx ，得： x 1， 不等式组的解集为： 1 x 8. 19.如图，四边形 ABCD 是平行四边形， AE 平分 BAD，交 DC 的延长线于点 E.求证： DA=DE. 解析： 由平行四边形的性质得出 AB CD，得出内错角相等 E= BAE，再由角平分线证出 E= DAE，即可得出结论 . 答案：四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD， E= BAE， AE 平分 BAD， BAE= DAE， E= DAE， DA=DE. 20.关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2-1=0 有两个不相等的实数根 . (1)求 m 的取值范围； (2)写出一个满
14、足条件的 m 的值，并求此时方程的根 . 解析： (1)由方程有两个不相等的实数根即可得出 0，代入数据即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； (2)结合 (1)结论，令 m=1，将 m=1 代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论 . 答案： (1)关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2-1=0 有两个不相等的实数根， =(2m+1)2-4 1 (m2-1)=4m+5 0， 解得： m 54. (2)m=1，此时原方程为 x2+3x=0， 即 x(x+3)=0， 解得： x1=0， x2=-3. 21.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(-6，
15、 0)的直线 l1 与直线 l2： y=2x 相交于点 B(m，4). (1)求直线 l1 的表达式； (2)过动点 P(n， 0)且垂于 x 轴的直线与 l1， l2 的交点分别为 C， D，当点 C 位于点 D 上方时，写出 n 的取值范围 . 解析： (1)先求出点 B 坐标，再利用待定系数法即可解决问题 . (2)由图象可知直线 l1 在直线 l2 上方即可，由此即可写出 n 的范围 . 答案： (1)点 B 在直线 l2 上， 4=2m， m=2，点 B(2， 4) 设直线 l1 的表达式为 y=kx+b， 由题意 2460kbkb，解得 123kb， 直线 l1 的表达式为 y=1
16、2x+3. (2)由 图象可知 n 2. 22.调查作业：了解你所在小区家庭 5 月份用气量情况： 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有 300 户家庭，每户家庭人数在 2-5之间，这 300 户家庭的平均人数均为 3.4. 小天、小东和小芸各自对该小区家庭 5 月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表 1，表 2 和表 3. 表 1 抽样调查小区 4 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位： m3) 家庭人数 2 3 4 5 用气量 14 19 21 26 表 2 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位： m3) 家庭人数 2 2
17、 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 用气量 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 表 3 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位： m3) 家庭人数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 根据以上材料回答问题： 小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭 5 月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处 . 解析： 首先根据题意分析家庭平均人数，进而
18、利用加权平均数求出答案，再利用已知这 300户家庭的平均人数均为 3.4 分析即可 . 答案：小芸，小天调查的人数太少，小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为： (2 3+3 11+4) 15=2.87， 远远偏离了平均人数的 3.4，所以他的数据抽样有明显的问题， 小芸抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为： (2 2+3 7+4 4+5 2) 15=3.4， 说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好的 反应出该小区家庭 5 月份用气量情况 . 23.如图，在四边形 ABCD 中， ABC=90， AC=AD， M， N 分别为 AC， CD 的中点，连接 BM，MN， BN
19、. (1)求证： BM=MN； (2) BAD=60， AC 平分 BAD， AC=2，求 BN 的长 . 解析： (1)根据三角形中位线定理得 MN=12AD，根据直角三角形斜边中线定理得 BM=12AC，由此即可证明 . (2)首先证明 BMN=90，根据 BN2=BM2+MN2 即可解决问题 . 答案： (1)证明：在 CAD 中， M、 N 分别是 AC、 CD 的中点， MN AD， MN=12AD， 在 RT ABC 中， M 是 AC 中点， BM=12AC， AC=AD， MN=BM. (2)解： BAD=60， AC 平分 BAD， BAC= DAC=30， 由 (1)可知，
20、 BM=12AC=AM=MC， BMC= BAM+ ABM=2 BAM=60， MN AD， NMC= DAC=30， BMN= BMC+ NMC=90， BN2=BM2+MN2， 由 (1)可知 MN=BM=12AC=1， BN= 2 24.阅读下列材料： 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略 .“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业 . 2011 年，北京市文化创意产业实现增加值 1938.6 亿元，占地区生产总值的 12.2%.2012 年
21、，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值 2189.2 亿元，占地区生产总值的 12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业 .2013 年，北京市文化产业实现增加值 2406.7 亿元，比上年增长 9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位 .2014 年，北京市文化创意 产业实现增加值 2749.3 亿元，占地区生产总值的 13.1%，创历史新高， 2015 年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值 3072.3亿元，占地区生产总值的 13.4%. 根据以上材料解答下列问题： (1)用折线图将 2011-2015 年北京市文化创
22、意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据； (2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估 2016 年北京市文化创意产业实现增加值约 亿元，你的预估理由 . 解析： (1)画出 2011-2015 的北京市文化创意产业实现增加值折线图即可 . (2)设 2013 到 2015 的平均增长率为 x，列出方程求出 x，用近 3 年的平均增长率估计 2016年的增长率即可解决问题 . 答案： (1)2011-2015 年北京市文化创意产业实现增加值如图所示， (2)设 2013 到 2015 的平均增长率为 x， 则 2406.7(1+x)2=3072.3， 解得 x 13%， 用近 3 年的平均
23、增长率估计 2016 年的增长率， 2016 年的增长率为 3072.3 (1+13%) 3471.7 亿元 . 故答案分别为 3471.7，用近 3 年的平均增长率估计 2016 年的增长率 . 25.如图， AB 为 O 的直径， F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交 AC 于点 D，过点 D 作O 的切线，交 BA 的延长线于点 E. (1)求证： AC DE； (2)连接 CD，若 OA=AE=a，写出求四边形 ACDE 面积的思路 . 解析： (1)欲证明 AC DE，只要证明 AC OD， ED OD 即可 . (2)作 DM OA 于 M，连接 CD， CO， AD，首先
24、证明四边形 ACDE 是平行四边形，根据 S 平行四边形 ACDE=AE?DM，只要求出 DM 即可 . 答案： (1)证明： ED 与 O 相切于 D， OD DE， F 为弦 AC 中点， OD AC， AC DE. (2)解：作 DM OA 于 M，连接 CD， CO， AD. 首先证明四边形 ACDE 是平行四边形，根据 S 平行四边形 ACDE=AE DM，只要求出 DM 即可 . AC DE， AE=AO， OF=DF， AF DO， AD=AO， AD=AO=OD， ADO 是等边三角形，同理 CDO 也是等边三角形， CDO= DOA=60， AE=CD=AD=AO=DD=a，
25、 AO CD，又 AE=CD， 四边形 ACDE 是平行四边形，易知 DM= 32a， 平行四边形 ACDE 面积 = 32a2. 26.已知 y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围 x 0，下表是 y 与 x 的几组对应值： X 1 2 3 5 7 9 Y 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究 . 下面是小腾的探究过程，请补充完整： (1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (2)根据画出
26、的函数图象，写出： x=4 对应的函数值 y 约为 ； 该函数的一条性质： . 解析： (1)按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可； (2)在所画的函数图象上找出自变量为 4 所对应的函数值即可； 利用函数图象有最高点求解 . 答案： (1)如图， (2) x=4 对应的函数值 y 约为 2； 该函数有最大值 . 故答案为 2，该函数有最大值 . 27.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2-2mx+m-1(m 0)与 x 轴的交点为 A， B. (1)求抛物线的顶点坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点 . 当 m=1 时，求线段 AB 上整点的个数； 若抛物线在点
27、 A， B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内 (包括边界 )恰有 6 个整点，结合函数的图象，求 m 的取值范围 . 解析： (1)利用配方法即可解决问题 . (2) m=1 代入抛物线解析式，求出 A、 B 两点坐标即可解决问题 . 根据题意判断出点 A 的位置，利用待定系数法确定 m 的范围 . 答案： (1) y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1， 抛物线顶点坐标 (1， -1). (2) m=1， 抛物线为 y=x2-2x， 令 y=0，得 x=0 或 2，不妨设 A(0， 0)， B(2， 0)， 线段 AB 上整点的个数为 3 个 . 如图所示，抛物线在点 A， B
28、 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内 (包括边界 )恰有 6 个整点， 点 A 在 (-1， 0)与 (-2， 0)之间 (包括 (-1， 0)， 当抛物线经过 (-1， 0)时， m=14， 当抛物线经过点 (-2， 0)时， m=19， m 的取值范围为 1149m. 28.在等边 ABC 中， (1)如图 1， P， Q 是 BC 边上的两点， AP=AQ， BAP=20，求 AQB 的度数； (2)点 P， Q 是 BC 边上的两个动点 (不与点 B， C 重合 )，点 P 在点 Q 的左侧，且 AP=AQ，点 Q关于直线 AC 的对称点为 M，连接 AM， PM. 依题意将图 2
29、 补全； 小茹通过观察、实验提出猜想：在点 P， Q 运动的过程中，始终有 PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：要证明 PA=PM，只需证 APM 是等边三角形； 想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BN=BP，要证明 PA=PM，只需证 ANP PCM； 想法 3：将线段 BP绕点 B顺时针旋转 60，得到线段 BK，要证 PA=PM，只需证 PA=CK， PM=CK 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA=PM(一种方法即可 ). 解析： (1)根据等腰三角形的性质得到 APQ= AQP，由邻补角的定义得到 APB= AQC，根
30、据三角形外角的性质即可得到结论； (2)如图 2 根据等腰三角形的性质得到 APQ= AQP，由邻补角的定义得到 APB= AQC，由点 Q 关于直 线 AC 的对称点为 M，得到 AQ=AM， OAC= MAC，等量代换得到 MAC= BAP，推出 APM 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论 . 答案： (1) AP=AQ， APQ= AQP， APB= AQC， ABC 是等边三角形， B= C=60， BAP= CAQ=20， AQB= APQ= BAP+ B=80； (2)如图 2， AP=AQ， APQ= AQP， APB= AQC， ABC 是等边三角形， B= C=6
31、0， BAP= CAQ， 点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M， AQ=AM， QAC= MAC， MAC= BAP， BAP+ PAC= MAC+ CAP=60， PAM=60， AP=AQ， AP=AM， APM 是等边三角形， AP=PM. 29.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 (x1， y1)，点 Q 的坐标为 (x2， y2)，且 x1 x2， y1 y2，若 P， Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P， Q 的“相关矩形”，如图为点 P， Q 的“相关矩形”示意图 . (1)已知点 A 的坐标为 (1， 0)， 若点 B 的
32、坐标为 (3， 1)，求点 A， B 的“相关矩形”的面积； 点 C 在直线 x=3 上，若点 A， C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； (2) O 的半径为 2 ，点 M 的坐标为 (m， 3)，若在 O 上存在一点 N，使得点 M， N 的“相关矩形”为正方形，求 m 的取值范围 . 解析： (1)由相关矩形的定义可知：要求 A 与 B 的相关矩形面积，则 AB 必为对角线，利用A、 B 两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积； 由定义可知， AC 必为正方形的对角线，所以 AC 与 x 轴的夹角必为 45，设直线 AC 的解析式为； y=kx+b
33、，由此可知 k= 1，再 (1， 0)代入 y=kx+b，即可求出 b 的值； (2)由定义可知， MN 必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线 MN 与 x 轴的夹角为 45，由因为点 N 在圆 O 上，所以该直线 MN 与圆 O 一定要有交点，由此可以求出 m 的范围 . 答案： (1) A(1， 0)， B(3， 1) 由定义可知：点 A， B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1， 点 A， B 的“相关矩形”的面积为 2 1=2； 由定义可知： AC 是点 A， C 的“相 关矩形”的对角线， 又点 A， C 的“相关矩形”为正方形 直线 AC 与 x 轴的夹角为
34、45， 设直线 AC 的解析为： y=x+m 或 y=-x+n 把 (1， 0)分别 y=x+m， m=-1， 直线 AC 的解析为： y=x-1， 把 (1， 0)代入 y=-x+n， n=1， y=-x+1， 综上所述，若点 A， C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y=x-1 或 y=-x+1； (2)设直线 MN 的解析式为 y=kx+b， 点 M， N 的“相关矩形”为正方形， 由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45， k= 1， 点 N 在 O 上， 当直线 MN 与 O 有交点时，点 M， N 的“相关矩形”为正方形， 当 k=1 时， 作 O 的切线
35、AD 和 BC，且与直线 MN 平行， 其中 A、 C 为 O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B， 连接 OA， OC， 把 M(m， 3)代入 y=x+b， b=3-m， 直线 MN 的解析式为： y=x+3-m ADO=45， OAD=90， OD= 2 OA=2， D(0， 2) 同理可得： B(0， -2)， 令 x=0 代入 y=x+3-m， y=3-m， -2 3-m 2， 1 m 5， 当 k=-1 时，把 M(m， 3)代入 y=-x+b， b=3+m， 直线 MN 的解析式为： y=x+3+m， 同理可得： -2 3+m 2， -5 m -1； 综上所述，当点 M， N 的“相关矩形”为正方形时， m 的取值范围是： 1 m 5 或 -5 m-1
