1、 2016 年吉林省中考真题数学 一、单项选择题：每小题 2 分，共 12 分 1.在 0， 1， -2， 3 这四个数中，最小的数是 ( ) A.0 B.1 C.-2 D.3 解析：在 0， 1， -2， 3 这四个数中，最小的数是： -2. 答案： C. 2.习近平总书记提出了未来 5 年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约 11700000人，将数据 11700000 用科学记数法表示为 ( ) A.1.17 106 B.1.17 107 C.1.17 108 D.11.7 106 解析： 11700000 用科学记数法表示为 1.17 107， 答案： B. 3.用 5 个完全相
2、同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的主视图为 ( ) A. B. C. D. 解析：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形， 答案： A. 4.计算 (-a3)2 结果正确的是 ( ) A.a5 B.-a5 C.-a6 D.a6 解析： 原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断 . 答案： D 5.小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个 a 元，白色珠子每个 b 元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费 ( ) A.(3a+4b)元 B.(4a+3b)元 C.4(a+b)元 D.3(a+b)元 解析：黑色珠子每个 a 元，白色珠子每个 b 元，
3、要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费为： 3a+4b. 答案： A. 6.如图，阴影部分是两个半径为 1 的扇形，若 =120， =60，则大扇形与小扇形的面积之差为 ( ) A.3B.6C.53D.56解析： 223 6 0 6 0 1 3 6 0 2 0 13 6 0 3 6( 06) ， 答案： B. 二、填空题：每小题 3 分，共 24 分 7.化简： 82 = . 解析：原式 =2 2 2 = 2 . 答案： 2 . 8.分解因式： 3x2-x= . 解析： 3x2-x=x(3x-1). 答案： x(3x-1). 9.若 x2-4x+5=(x-2)2+m，则 m= . 解析：已
4、知等式变形得： x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1=(x-2)2+m， 则 m=1， 答案： 1 10.某学校要购买电脑， A 型电脑每台 5000 元， B 型电脑每台 3000 元，购买 10 台电脑共花费 34000 元 .设购买 A 型电脑 x 台，购买 B 型电脑 y 台，则根据题意可列方程组为 . 解析：根据题意得： 105 0 0 0 3 0 0 0 3 4 0 0 0xyxy， 答案： 105 0 0 0 3 0 0 0 3 4 0 0 0xyxy11.如图， AB CD，直线 EF 分别交 AB、 CD 于 M， N 两点，将一个含有 45角的直角三角尺按如
5、图所示的方式摆放，若 EMB=75，则 PNM 等于 度 . 解析： AB CD， DNM= BME=75， PND=45， PNM= DNM- DNP=30， 答案： 30. 12.如图，已知线段 AB，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、 D 两点，作直线 CD 交 AB 于点 E，在直线 CD 上任取一点 F，连接 FA， FB.若 FA=5，则FB= . 解析：由题意直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线， 点 F 在直线 CD 上， FA=FB， FA=5， FB=5. 答案： 5. 13.如图，四边形 ABCD 内接于 O， DAB=13
6、0，连接 OC，点 P 是半径 OC 上任意一点，连接 DP， BP，则 BPD 可能为 度 (写出一个即可 ). 解析：连接 OB、 OD， 四边形 ABCD 内接于 O， DAB=130， DCB=180 -130 =50， 由圆周角定理得， DOB=2 DCB=100， DCB BPD DOB，即 50 BPD 100， BPD 可能为 80， 答案： 80. 14.在三角形纸片 ABC 中， C=90， B=30，点 D(不与 B， C 重合 )是 BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若 EF 的长度为 a，则 DEF 的周长为 (用含 a 的式子表示 ). 解析： 由折叠
7、的性质得： B 点和 D 点是对称关系， DE=BE， 则 BE=EF=a， BF=2a， B=30， DF=12BF=a， DEF 的周长 =DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a； 答案： 3a. 三、解答题：每小题 5 分，共 20 分 15.先化简，再求值： (x+2)(x-2)+x(4-x)，其中 x=14. 解析：根据平方差公式和单项式乘以多项式，然后再合并同类项即可对题目中的式子化简，然后将 x=14代入化简后的式子，即可求得原式的值 . 答案： (x+2)(x-2)+x(4-x) =x2-4+4x-x2 =4x-4， 当 x=14时，原式 =4 14-4 1-4 -3.
8、16.解方程： 2131xx. 解析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案：去分母得： 2x-2=x+3， 解得： x=5， 经检验 x=5 是分式方程的解 . 17.在一个不透明的口袋中装有 1 个红球， 1 个绿球和 1 个白球，这 3 个球除颜色不同外，其它都相同，从口袋中随机摸出 1 个球，记录其颜色 .然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出 1 个球，记录其颜色，请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率 . 解析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球都是红球的情况，再利
9、用概率公式即可求得答案 . 答案：画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有 1 种情况， 两次摸到的球都是红球的概率 =19. 18.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，且 DE AC， AE BD.求证：四边形 AODE是矩形 . 解析： 根据菱形的性质得出 AC BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形 AODE 为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形 AODE 是矩形 . 答案：四边形 ABCD 为菱形， AC BD， AOD=90， DE AC， AE BD， 四边形 AODE 为平行四边形， 四边形 AODE 是矩形 . 四、解答题：
10、每小题 7 分，共 28 分 19.图 1，图 2 都是 8 8 的正方形网格，每个小正方形的顶点成为格点，每个小正方形的边长均为 1，在每个正方形网格中标注了 6 个格点，这 6 个格点简称为标注点 (1)请在图 1，图 2 中，以 4 个标注点为顶点，各画一个平行四边形 (两个平行四边形不全等 )； (2)图 1 中所画的平行四边形的面积为 . 解析： (1)根据平行四边形的判定，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可在图 1和图 2 中按要求画出平行四边形； (2)根据平行四边形的面积公式计算 . 答案： (1)如图 1，如图 2； (2)图 1 中所画的平行四边形的面积 =2 3
11、=6. 故答案为 6. 20.某校学生会为了解环保知识的普及情况，从该校随机抽取部分学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查，根调查收集的数据绘制了如下的扇形统计图，其中对垃圾分类非常了解的学生有 30 人 (1)本次抽取的学生有 人； (2)请补全扇形统计图； (3)请估计该校 1600 名学生中对垃圾分类不了解的人数 . 解析： (1)根据不了解的人数除以不了解的人数所占的百分比，可得的答案； (2)根据有理数的减法，可得答案； (3)根据样本估计总体，可得答案 . 答案： (1)30 10%=300， 故答案为： 300； (2)如图， 了解很少的人数所占的百分比 1-30%-10%-2
12、0%=40%， 故答案为： 40%， (3)1600 30%=480 人， 该校 1600 名学生中对垃圾分类不了解的人数 480 人 . 21.如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 =43，求飞机 A 与指挥台 B 的距离 (结果取整数 ) (参考数据： sin43 =0.68， cos43 =0.73， tan43 =0.93) 解析： 先利用平行线的性质得到 B= =43，然后利用 B 的正弦计算 AB 的长 . 答案：如图， B= =43， 在 Rt ABC 中， sinB= ACAB， AB= 120043sin
13、 1765(m). 答：飞机 A 与指挥台 B 的距离为 1765m. 22.如图，在平面直径坐标系中，反比例函数 kyx(x 0)的图象上有一点 A(m， 4)，过点 A作 AB x 轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，过点 C 作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D， CD=43(1)点 D 的横坐标为 (用含 m 的式子表示 )； (2)求反比例函数的解析式 . 解析： (1)由点 A(m， 4)，过点 A 作 AB x 轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，可求得点 C 的坐标，又由过点 C 作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D，
14、 CD=43，即可表示出点 D 的横坐标； (2)由点 D 的坐标为： (m+2， 43)，点 A(m， 4)，即可得方程 4m=43(m+2)，继而求得答案 . 答案： (1) A(m， 4)， AB x 轴于点 B， B 的坐标为 (m， 0)， 将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C， 点 C 的坐标为： (m+2， 0)， CD y 轴， 点 D 的横坐标为： m+2； 故答案为： m+2； (2) CD y 轴， CD=43， 点 D 的坐标为： (m+2， 43)， A， D 在反比例函数 kyx(x 0)的图象上， 4m=43(m+2)， 解得： m=1， 点 a 的横坐标
15、为 (1， 4)， k=4m=4， 反比例函数的解析式为： 4yx. 五、解答题：每小题 8 分，共 16 分 23.甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从 A 地出发前往 B 地，甲出发 1h 后， y 甲、y 乙与 x 之间的函数图象如图所示 . (1)甲的速度是 km/h； (2)当 1 x 5 时，求 y 乙关于 x 的函数解析式； (3)当乙与 A 地相距 240km 时，甲与 A 地相距 km. 解析： (1)根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速度； (2)利用待定系数法确定出 y 乙关于 x 的函数解析式即可； (3)求出乙距 A 地 240km 时的时间，加上 1，再乘
16、以甲的速度即可得到结果 . 答案： (1)根据图象得： 360 6=60km/h； (2)当 1 x 5 时，设 y 乙 =kx+b， 把 (1， 0)与 (5， 360)代入得： 05 360kbkb， 解得： k=90， b=-90， 则 y 乙 =90x-90； (3)乙与 A 地相距 240km，且乙的速度为 360 (5-1)=90km/h， 乙用的时间是 240 90=83h， 则甲与 A 地相距 60 (83+1)=220km， 故答案为： (1)60； (3)220 24.解决问题 . (1)如图 1，在 Rt ABC 中， ABC=90，以点 B 为中心，把 ABC 逆时针旋
17、转 90，得到 A1BC1；再以点 C 为中心，把 ABC 顺时针旋转 90，得到 A2B1C，连接 C1B1，则 C1B1与 BC 的位置关系为 ； (2)如图 2，当 ABC 是锐角三角形， ABC= ( 60 )时，将 ABC 按照 (1)中的方式旋转，连接 C1B1，探究 C1B1 与 BC 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图 3，在图 2 的基础上，连接 B1B，若 C1B1=23BC， C1BB1 的面积为 4，则 B1BC 的面积为 . 解析： (1)根据旋转的性质得到 C1BC= B1BC=90， BC1=BC=CB1，根据平行线的判定得到BC1 CB1，推
18、出四边形 BCB1C1 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论； (2)过 C1 作 C1E B1C 于 E，于是得到 C1EB= B1CB，由旋转的性质得到 BC1=BC=B1C， C1BC= B1CB，等量代换得到 C1BC= C1EB，根据等腰三角形的判定得到 C1B=C1E，等量代换得到C1E=B1C，推出四边形 C1ECB1 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论； (3)设 C1B1 与 BC 之间的距离为 h，由已知条件得到 1123CBBC，根据三角形的面积公式 得到11123=C BBB BCSS，于是得到结论 . 答案： (1)平行， 把 ABC 逆时针旋转
19、 90，得到 A1BC1；再以点 C 为中心，把 ABC 顺时针旋转 90，得到 A2B1C， C1BC= B1BC=90， BC1=BC=CB1， BC1 CB1， 四边形 BCB1C1 是平行四边形， C1B1 BC， 故答案为：平行； (2)证明：如图，过 C1 作 C1E B1C，交 BC 于 E，则 C1EB= B1CB， 由旋转的性质知， BC1=BC=B1C， C1BC= B1CB， C1BC= C1EB， C1B=C1E， C1E=B1C， 四边形 C1ECB1 是平行四边形， C1B1 BC； (3)由 (2)知 C1B1 BC， 设 C1B1 与 BC 之间的距离为 h，
20、C1B1=23BC， 1123CBBC， 1 1 11111 22C B B B B CS B C h S B C h， 11111 111 2= = = 21 23C B BB B CB C hS BCS B CB C h， C1BB1 的面积为 4， B1BC 的面积为 6， 故答案为： 6. 六、解答题：每小题 10 分，共 20 分 25.如图，在等腰直角三角形 ABC 中， BAC=90， AC=8 2 cm， AD BC 于点 D，点 P 从点 A 出发，沿 A C 方向以 2 cm/s 的速度运动到点 C 停止，在运动过程中，过点 P 作 PQ AB 交 BC 于点 Q，以线段
21、PQ 为边作等腰直角三角形 PQM，且 PQM=90 (点 M， C 位于PQ 异侧 ).设点 P 的运动时间为 x(s)， PQM 与 ADC 重叠部分的面积为 y(cm2) (1)当点 M 落在 AB 上时， x= ； (2)当点 M 落在 AD 上时， x= ； (3)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围 . 解析： (1)当点 M 落在 AB 上时，四边形 AMQP 是正方形，此时点 D 与点 Q 重合，由此即可解决问题 . (2)如图 1 中，当点 M 落在 AD 上时，作 PE QC 于 E，先证明 DQ=QE=EC，由 PE AD，得23PA DEAC D
22、C，由此即可解决问题 . (3)分三种情形当 0 x 4 时，如图 2 中，设 PM、 PQ 分别交 AD 于点 E、 F，则重叠部分为 PEF，当 4 x 163时，如图 3 中，设 PM、 MQ 分别交 AD 于 E、 G，则重叠部分为四边 形 PEGQ.当 163 x 8 时，如图 4 中，则重合部分为 PMQ，分别计算即可解决问题 . 答案： (1)当点 M 落在 AB 上时，四边形 AMQP 是正方形，此时点 D 与点 Q 重合， AP=CP=4 2 ，所以 x= 4 22=4. 故答案为 4. (2)如图 1 中，当点 M 落在 AD 上时，作 PE QC 于 E. MQP， PQ
23、E， PEC 都是等腰直角三角形， MQ=PQ=PC DQ=QE=EC， PE AD， 23PA DEAC DC， AC=8 2 ， PA=16 23， 1 6 2 16233x . 故答案为 163. (3)当 0 x 4 时，如图 2 中，设 PM、 PQ 分别交 AD 于点 E、 F，则重叠部分为 PEF， AP= 2 x， EF=PE=x， y=S PEF= 21122P E E F x . 当 4 x 163时，如图 3 中，设 PM、 MQ 分别交 AD 于 E、 G，则重叠部分为四边形 PEGQ. PQ=PC=8 2 2x ， PM=16-2x， ME=PM-PE=16-3x，
24、y=S PMQ-S MEG= 2 2 27118 2 2 1 6 3 3 2 6 42 2 2x x x x （ ） （ ）. 当 163 x 8 时，如图 4 中，则重合部分为 PMQ， y=S PMQ= 2 2 211 8 2 2 1 6 6 422P Q x x x （ ）. 综上所述2221 04271()()()63 2 6 4 423161 6 6 4 83xxy x x xx x x . 26.如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在 x 轴正半轴上， OB 的长度为 2m，以 OB 为边向上作等边三角形 AOB，抛物线 l： y=ax2+bx+c 经过点 O， A， B 三点
25、(1)当 m=2 时， a= ，当 m=3 时， a= ； (2)根据 (1)中的结果，猜想 a 与 m 的关系，并证明你的结论； (3)如图 2，在图 1 的基础上，作 x 轴的平行线交抛物线 l 于 P、 Q 两点， PQ 的长度为 2n，当 APQ 为等腰直角三角形时， a 和 n 的关系式为 a= ； (4)利用 (2)(3)中的结论，求 AOB 与 APQ 的面积比 . 解析： (1)由 AOB 为等边三角形， AB=2m，得出点 A， B 坐标，再由点 A， B， O 在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代 m=2， m=3，求值即可； (2)同 (1)的方法得出结论 (3)由 A
26、PQ 为等腰直角三角形， PQ 的长度 为 2n，设 A(e， d+n)， P(e-n， d)， Q(e+n， d)，建立方程组求解即可； (4)由 (2)(3)的结论得到 m= 3 n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可 . 答案： (1)如图 1， 点 B 在 x 轴正半轴上， OB 的长度为 2m， B(2m， 0)， 以 OB 为边向上作等边三角形 AOB， AM= 3 m， OM=m， A(m， 3 m)， 抛物线 l： y=ax2+bx+c 经过点 O， A， B 三点 222 2 030a m b m ca m b m c mc ， 3230ambc 当 m=2 时， a= 3
27、2， 当 m=3 时， a= 33， 故答案为： 32， 33； (2)a= 3m理由：如图 1，点 B 在 x 轴正半轴上， OB 的长度为 2m， B(2m， 0)， 以 OB 为边向上作等边三角形 AOB， AM= 3 m， OM=m， A(m， 3 m)， 抛物线 l： y=ax2+bx+c 经过点 O， A， B 三点 222 2 030a m b m ca m b m c mc ， 3230ambc a= 3m， (3)如图 2， APQ 为等腰直角三角形， PQ 的长度为 2n， 设 A(e， d+n)， P(e-n， d)， Q(e+n， d)， P， Q， A， O 在抛物线
28、 l： y=ax2+bx+c 上， 222220a e b e c d na e n b e d c da e n b e n c dc ， 22222a e b e c d na e n b e d c da e n b e n c d ， -化简得， 2ae-an+b=1， -化简得， -2ae-an-b=1， +化简得， an=-1， 1an故答案为 1an， (4) OB 的长度为 2m， AM= 3 m， S AOB= 211 2 3 322O B A M m m m ， 由 (3)有， AN=n PQ 的长度为 2n， S APQ= 211 222P Q A N m n n ， 由 (2)(3)有， a= 3m， a= 1n， 3 1mn ， m= 3 n， 2222333 3 31A O BAPQnS mS nn ， AOB 与 APQ 的面积比为 33： 1.
