1、2016年吉林省长春市中考真题数学 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分 1.-5的相反数是 ( ) A.-15B.15C.-5 D.5 解析： 只有符号不同的两个数互为相反数 . -5的相反数是 5. 答案 ： D. 2.吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人” 45000 多名，45000这个数用科学记数法表示为 ( ) A.45 103 B.4.5 104 C.4.5 105 D.0.45 103 解析： 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位
2、， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值大于 10时， n是正数；当原数的绝对值小于 1时， n是负数 . 45000这个数用科学记数法表示为 4.5 104. 答案 ： B. 3.如图是由 5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：从上面看到的平面图形即为该组合体的俯视图 . 从上面看共有 2行，上面一行有 3个正方形，第二行中间有一个正方形 . 答案 ： C. 4. 不等式组 202 6 0xx ， 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 202 6 0xx ， ，由得， x -2，由得， x
3、 3， 故不等式组的解集为： -2 x 3. 在数轴上表示 如下 . 答案 ： C. 5.把多项式 x2-6x+9分解因式，结果正确的是 ( ) A.(x-3)2 B.(x-9)2 C.(x+3)(x-3) D.(x+9)(x-9) 解析 ： x2-6x+9=(x-3)2. 答案 ： A 6.如图，在 Rt ABC中， BAC=90，将 Rt ABC绕点 C按逆时针方向旋转 48得到 Rt AB C，点 A在边 B C上，则 B的大小为 ( ) A.42 B.48 C.52 D.58 解析 ： 在 Rt ABC中， BAC=90，将 Rt ABC绕点 C按逆时针方向旋转 48得到 Rt AB
4、C， A = BAC=90， ACA =48， B =90 - ACA =42 . 答案 ： A. 7.如图， PA、 PB 是 O 的切线，切点分别为 A、 B，若 OA=2， P=60，则 AB 的长为 ( ) A.23 B. C.43 D.53 解析 ： PA、 PB 是 O 的切线， OBP= OAP=90， 在四边形 APBO中， P=60， AOB=120， OA=2， AB 的长 l=120 21 4380 . 答案 ： C 8.如图，在平面直角坐标系中，点 P(1， 4)、 Q(m， n)在函数 y=kx(x 0)的图象上，当 m 1时，过点 P分别作 x轴、 y轴的垂线，垂足
5、为点 A， B；过点 Q分别作 x轴、 y轴的垂线，垂足为点 C、 D.QD交 PA 于点 E，随着 m的增大，四边形 ACQE的面积 ( ) A.减小 B.增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小 解析 ： AC=m-1， CQ=n，则 S 四边形 ACQE=AC CQ=(m-1)n=mn-n. P(1， 4)、 Q(m， n)在函数 y=kx(x 0)的图象上， mn=k=4(常数 ). S 四边形 ACQE=AC CQ=4-n， 当 m 1时， n随 m的增大而减小， S 四边形 ACQE=4-n随 m的增大而增大 . 答案 ： B. 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 3分，共 18
6、 分 9.计算 (ab)3= . 解析 ： 原式 =a3b3. 答案： a3b3 10.关于 x的一元二次方程 x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则 m的值是 . 解析 ： 关于 x的一元二次方程 x2+2x+m=0有两个相等的实数根， =0， 22-4m=0， m=1. 答案 ： 1. 11.如图，在 ABC中， AB AC，按以下步骤作图：分别以点 B和点 C为圆心，大于 BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 M和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D；连结 CD.若 AB=6， AC=4，则 ACD的周长为 . 解析 ： 由题意直线 MN 是线段 BC的垂直平分线， 点 D在直
7、线 MN 上， DC=DB， ADC的周长 =AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB， AB=6， AC=4， ACD的周长为 10. 答案 ： 10. 12.如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的对称中心与原点重合，顶点 A的坐标为 (-1，1)，顶点 B在第一象限，若点 B在直线 y=kx+3上，则 k的值为 . 解析 ： 正方形 ABCD 的对称中心与原点重合，顶点 A的坐标为 (-1， 1)， B(1， 1). 点 B在直线 y=kx+3 上， 1=k+3，解得 k=-2. 答案： -2. 13.如图，在 O 中， AB 是弦， C 是 AB 上一点 .若 OAB=25，
8、 OCA=40，则 BOC 的大小为 度 . 解析 ： BAO=25， OA=OB， B= BAO=25， AOB=180 - BAO- B=130， ACO=40， OA=OC， C= CAO=40， AOC=180 - CAO- C=100， BOC= AOB- AOC=30 . 答案 ： 30 14.如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC的顶点 A在 x轴正半轴上，顶点 C的坐标为 (4，3)， D是抛物线 y=-x2+6x上一点，且在 x轴上方，则 BCD面积的最大值为 . 解析： D是抛物线 y=-x2+6x上一点，设 D(x， -x2+6x)， 顶点 C的坐标为 (4， 3)，
9、OC= 2243 =5， 四边形 OABC是菱形， BC=OC=5， BC x轴， S BCD=12 5 (-x2+6x-3)=-52(x-3)2+152， -52 0， S BCD有最大值，最大值为 152. 答案 ： 152. 三、解答题：本大题共 10小题，共 78 分 15.先化简，再求值： (a+2)(a-2)+a(4-a)，其中 a=14. 解析： 根据平方差公式和单项式乘以多项式可以对原式化简，然后将 a=14代入化简后的式子，即可解答本题 . 答案 ： (a+2)(a-2)+a(4-a)=a2-4+4a-a2=4a-4， 当 a=14时，原式 =4 14-4=1-4=-3. 1
10、6.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字 0， 1， 2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图 (或列表 )的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是 3的概率 . 解析： 列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是 3的概率 . 答案 ：列表得： P(和为 3)=29. 17.A、 B 两种型号的机器加工同一种零件，已知 A 型机器比 B 型机器每小时多加工 20 个零件， A 型机器加工 400个零件所用时间与 B型机器加工 300个零件所用时间
11、相同，求 A型机器每小时加工零件的个数 . 解析： 关键描述语为：“ A 型机器加工 400 个零件所用时间与 B 型机器加工 300 个零件所用时间相同”；等量关系为： 400 A 型机器每小时加工零件的个数 =300 B 型机器每小时加工零件的个数 . 答案 ：设 A型机器每小时加工零件 x个，则 B型机器每小时加工零件 (x-20)个 . 根据题意列方程得： 400 30020xx ，解得： x=80. 经检验， x=80是原方程的解 . 答： A型机器每小时加工零件 80 个 . 18.某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了 n 名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下 条形统
12、计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)求 n的值； (2)根据统计结果，估计该校 1100名学生中一年的课外阅读量超过 10 本的人数 . 解析： (1)可直接由条形统计图，求得 n的值； (2)首先求得统计图中课外阅读量超过 10本的百分比，继而求得答案 . 答案 ： (1)根据题意得： n=6+33+26+20+15=100， 答： n的值为 100. (2)根据题意得： 20 15100 1100=385(人 )， 答：估计该校 1100名学生中一年的课外阅读量超过 10本的人数为： 385人 . 19.如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度 AB，在与纪念碑底部 B 相距 27
13、 米的 C 处，用高 1.5 米的测角仪 DC 测得纪念碑顶端 A 的仰角为 47，求纪念碑的高度 (结果精确到 0.1米 )【参考数据： sin47 =0.731， cos47 =0.682， tan47 =1.072】 解析： 作 DE AB于 E，根据正切的概念求出 AE 的长，再结合图形根据线段的和差计算即可求解 . 答案 ：作 DE AB 于 E， 由题意得 DE=BC=27米， ADE=47， 在 Rt ADE中， AE=DE tan ADE=27 1.072=28.944 米， AB=AE+BE 30.4米， 答：纪念碑的高度约为 30.4米 . 20.如图，在 平行四边形 AB
14、CD中，点 E在边 BC上，点 F在边 AD 的延长线上，且 DF=BE， BE与 CD交于点 G. (1)求证： BD EF； (2)若 23DGGC， BE=4，求 EC的长 . 解析： (1)根据平行四边的判定与性质，可得答案； (2)根据相似三角形的判定与性质，可得答案 . 答案 (1)四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC. DF=BE，四边形 BEFD是平行四边形， BD EF； (2)四边形 BEFD是平行四边形， DF=BE=4. DF EC， DFG CEG， DG DFCG CE， CE=2 4 3D F C GDG =6. 21.甲、乙两车分别从 A、 B两地同时出
15、发，甲车匀速前往 B地，到达 B地立即以另一速度按原路匀速返回到 A地；乙车匀速前往 A地，设甲、乙两车距 A地的路程为 y(千米 )，甲车行驶的时间为 x(时 )， y 与 x之间的函数图象如图所示 . (1)求甲车从 A地到达 B地的行驶时间； (2)求甲车返回时 y与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； (3)求乙车到达 A地时甲车距 A地的路程 . 解析： (1)根据题意列算式即可得到结论； (2)根据题意列方程组即可得到结论； (3)根据题意列算式即可得到结论 . 答案 ： (1)300 (180 1.5)=2.5(小时 )， 答：甲车从 A地到达 B 地的行驶时间是
16、2.5小时 . (2)设甲车返回时 y与 x之间的函数关系式为 y=kx+b， 3 0 0 2 .50 5 .5kbkb，解得： 100550kb，甲车返回时 y与 x之间的函数关系式是 y=-100x+550. (3)300 (300-180) 1.5=3.75小时， 当 x=3.75时， y=175千米， 答：乙车到达 A地时甲车距 A地的路程是 175千米 . 22.解决问题 . 感知：如图 1， AD平分 BAC. B+ C=180， B=90，易知： DB=DC. 探究：如图 2， AD平分 BAC， ABD+ ACD=180， ABD 90，求证： DB=DC. 应用：如图 3，四
17、边形 ABCD中， B=45， C=135， DB=DC=a，则 AB-AC= (用含a的代数式表示 ) 解析：探究：欲证明 DB=DC，只要证明 DFC DEB 即可 . 应用：先证明 DFC DEB，再证明 ADF ADE，结合 BD= 2 EB即可解决问题 . 答案：探究： 证明：如图中， DE AB于 E， DF AC于 F， DA平分 BAC， DE AB， DF AC， DE=DF， B+ ACD=180， ACD+ FCD=180， B= FCD， 在 DFC和 DEB中， F D EBFC D BD F D B ， DFC DEB， DC=DB. 应用：如图连接 AD、 DE
18、AB于 E， DF AC于 F， B+ ACD=180， ACD+ FCD=180， B= FCD， 在 DFC和 DEB中， F D EBFC D BD C D B ， DFC DEB， DF=DE， CF=BE， 在 RT ADF和 RT ADE 中， AD ADDE DF， ADF ADE， AF=AE， AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE， 在 RT DEB中， DEB=90， B= EDB=45， BD=a， BE= 22a， AB-AC= 2 a. 23.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O， AB=8， BAD=60，点 E从点 A出发，沿
19、AB以每秒 2个单位长度的速度向终点 B运动，当点 E不与点 A重合时，过点 E作 EF AD于点 F，作 EG AD交 AC于点 G，过点 G作 GH AD 交 AD(或 AD的延长线 )于点 H，得到矩形 EFHG，设点 E运动的时间为 t秒 . (1)求线段 EF的长 (用含 t的代数式表示 )； (2)求点 H与点 D重合时 t的值； (3)设矩形 EFHG与菱形 ABCD重叠部分图形的面积与 S平方单位，求 S与 t之间的函数关系式； (4)矩形 EFHG的对角线 EH与 FG相交于点 O，当 OO AD时， t的值为 ；当 OO AD 时， t的值为 . 解析： (1)由题意知：
20、AE=2t，由锐角三角函数即可得出 EF= 3 t； (2)当 H与 D重合时， FH=GH=8-t，由菱形的性质和 EG AD可知， AE=EG，解得 t=83； (3)矩形 EFHG与菱形 ABCD重叠部分图形需要分以下两种情况讨论：当 H在线段 AD 上，此时重合的部分为矩形 EFHG；当 H在线段 AD的延长线上时，重合的部分为五边形； (4)当 OO AD 时，此时点 E 与 B 重合；当 OO AD 时，过点 O 作 OM AD 于点 M， EF 与OA相交于点 N，然后分别求出 O M、 O F、 FM，利用勾股定理列出方程即可求得 t的值 . 答案： (1)由题意知： AE=2
21、t， 0 t 4， BAD=60， AFE=90， sin BAD=EFAE， EF= 3 t. (2) AE=2t， AEF=30， AF=t， 当 H与 D重合时，此时 FH=8-t， GE=8-t， EG AD， EGA=30， 四边形 ABCD是菱形， BAC=30， BAC= EGA=30， AE=EG， 2t=8-t， t=83； (3)当 0 t 83时， 此时矩形 EFHG与菱形 ABCD重叠部分图形为矩形 EFHG， 由 (2)可知： AE=EG=2t， S=EF EG= 3 t 2t=2 3 t2， 当 83 t 4时，如图 1， 设 CD与 HG交于点 I， 此时矩形 E
22、FHG与菱形 ABCD重叠部分图形为五边形 FEGID， AE=2t， AF=t， EF= 3 t， DF=8-t， AE=EG=FH=2t， DH=2t-(8-t)=3t-8， HDI= BAD=60， tan HDI= HIDH， HI=3DH， S= 2221 1 333 5 2 3 8 3322 2 4 3 22E F E G D H H I t t t t . (4)当 OO AD时，如图 2， 此时点 E与 B重合， t=4； 当 OO AD 时，如图 3， 过点 O作 OM AD 于点 M， EF与 OA 相交于点 N， 由 (2)可知： AF=t， AE=EG=2t， FN=
23、33t， FM=t， O O AD， O是 FG 的中点， O O是 FNG的中位线， O O= 1326FNt， AB=8，由勾股定理可求得： OA=4 3 ， OM=2 3 ， O M=2 336t， FE= 3 t， EG=2t，由勾股定理可求得： FG2=7t2，由矩形的性质可知： O F2=14FG2， 由勾股定理可知： O F2=O M2+FM2， 74t2=(2 336)2+t2， t=3或 t=-6(舍去 ). 24.如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 y=a(x-h)2.抛物线 y=a(x-3)2+4 经过原点，与 x轴正半轴交于点 A，与其对称轴交于点 B， P是抛物线 y
24、=a(x-3)2+4上一点，且在 x轴上方，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线 y=(x-h)2于点 Q，过点 Q 作 PQ 的垂线交抛物线 y=(x-h)2于点Q (不与点 Q重合 )，连结 PQ，设点 P的横坐标为 m. (1)求 a的值； (2)当抛物线 y=a(x-h)2经过原点时，设 PQQ与 OAB重叠部分图形的周长为 l. 求 PQQQ的值； 求 l与 m之间的函数关系式； (3)当 h为何值时，存在点 P，使以点 O， A， Q， Q为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出 h的值 . 解析： (1)把 (0， 0)代入 y=a(x-3)2+4即可解决问题 . (2)用 m的代数式
25、表示 PQ、 QQ，即可解决问题 . 分 0 m 3或 3 m 6两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决 . (3)当 h=3 时，两个抛物线对称轴 x=3，四边形 OAQQ是等腰梯形 .当四边形 OQ 1Q1A是菱形时，求出抛物线对称轴即可解决问题 . 答案 ： (1)抛物线 y=a(x-3)2+4经过原点， x=0时， y=0， 9a+4=0， a=-49. (2)抛物线 y=a(x-h)2经过原点时， h=0， a=-49， y=-49x2. P(m， -49m2+83m)， Q(m， -49m2)， PQ=-49m2+83m-(-49m2)=83m， QQ
26、 =2m， 8 432 3mPQQ Q m. 如图 1中，当 0 m 3时，设 PQ与 OB交于点 E，与 OA 交于点 F， PQQQ =BMOM， PQQ = BMO=90， PQQ BMO， QPQ = OBM， EF BM， OEF= OBM， OEF= QPQ， OE PQ， EF OFBM OM， EF=43m， OE=53m， l=OF+EF+OE=m+43m+53m=4m， 当 3 m 6 时，如图 2 中，设 PQ与 AB 交于点 H，与 x 轴交于点 G， PQ 交 AB 于 E，交 OA于 F，作 HM OA 于 M. AF=6-m， tan EAF= 43EFAF， E
27、F=43(6-m)， AE=53(6-m)， tan PGF= 43PFFG， PF= 249 83mm， GF=-2716m2+2m， AG=-2716m2+m+6， GM=AM= 2 1732 22 3mm ， HG=HA= 24 5 5 5c o s 3 2 6AM mmH A G ， l=GH+EH+EF+FG=-92m2+4m+8. 综上所述 l=24 0 34 8 3)6(9 (2mmm m m ， (3)如图 3中，当 h=3时，两个抛物线对称轴 x=3， 点 O、 A关于对称轴对称，点 Q， Q关于对称轴对称， OA QQ， OQ =AQ，四边形 OAQQ是等腰梯形，属于轴对称图形 . 当四边形 OQ 1Q1A是菱形时， OQ 1=OA=6， Q 1Q1=OA=6，点 Q1的纵坐标为 4， 在 RT OHQ 1，中， OH=4， OQ 1=6， HQ 1=2 5 ， h=3-2 5 或 3+2 5 ， 综上所述 h=3或 3-2 5 或 3+2 5 时点 O， A， Q， Q为顶点的四边形是轴对称图形 .
