1、2016年四川省自贡一中、二中联考高考模拟试卷数学文 一、选择题 (共 50分，每小题 5分 ) 1.已知集合 M=1， 2， 3， N=x Z|1 x 4，则 ( ) A.M N B.N=M C.M N=2， 3 D.M N=1， 4 解析： M=1， 2， 3， N=x Z|1 x 4=2， 3， N M， M N=2， 3， M N=1， 2， 3. 答案： C. 2.为了得到函数 ( ) ( )3y s in x x R的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点( ) A.向右平移3个单位长度 B.向右平移6个单位长度 C.向左平移3个单位长度 D.向左平移6个单位长度 解析：
2、由 y=sinx到 ( ) ( )3y s in x x R，只是横坐标由 x变为3x ， 要得到函数 ( ) ( )3y s in x x R的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动3个单位长度 . 答案： A. 3.命题“ x R， f(x) 0”的否定为 ( ) A. x0 R， f(x0) 0 B. x0 R， f(x0) 0 C. x0 R， f(x0) 0 D. x0 R， f(x0) 0 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“ x R， f(x) 0”的否定为： x0 R，f(x0) 0. 答案： B. 4.若 a b 0，则 ( ) A.a2 b2
3、 B.ab b2 C. 1122ab D. 2baab 解析： 根据不等式的性质 ： a b 0，则 a2 b2， ab b2， 1122ab ， 2baab . 答案 ： D. 5.执行程序框图，如果输入的 t -1， 3，则输出的 s属于 ( ) A.-3， 4 B.-5， 2 C.-4， 3 D.-2， 5 解析：由判断框中的条件为 t 1，可得： 函数分为两段，即 t 1与 t 1， 又由满足条件时函数的解析式为： s=3t； 不满足条件时，即 t 1时，函数的解析式为： s=4t-t2 故分段函数的解析式为：23141s t tt t t， ， 如果输入的 t -1， 3，画出此分段
4、函数在 t -1， 3时的图象， 则输出的 s属于 -3， 4. 答案： A. 6.实数 m是 0， 6上的随机数，则关于 x的方程 x2-mx+4=0有实根的概率为 ( ) A.14B.13C.12D.23解析：根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的 m的范围，然后用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率 . 方程 x2-mx+4=0有实根， 判别式 =m2-16 0， m -4或 m 4时方程有实根， 实数 m是 0， 6上的随机数，区间长度为 6， 4， 6的区间长度为 2， 所求的概率为 1326P . 答案： B. 7.下列命题中真命题
5、是 ( ) A.若 m， m ，则 B.若 m ， n ， m， n，则 C.若 m ， n ， m， n是异面直线，那么 n与相交 D.若 =m， n m，则 n且 n 解析： A.根据面面垂直的判定定理进行判断，若 m， m ，则； B.根据面面平行的判定定理进行判断，若 m ， n ， m， n，当与相交时，满足，当与不相交时，结论不成立； C.根据直线和平面的位置关系进行判断，若 m ， n ， m， n是异面直线，那么 n与相交，或 n，故 C 错误； D.根据线面平行的性质进行判断，若 =m， n m，则 n且 n错误，有可能 n 或 n ，故 D错误 . 答案： A 8.过双曲线
6、 221xyab(a 0， b 0)的右顶点 A作斜率为 -1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、 C.若 12AB BC，则双曲线的离心率是 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 解析 ：直线 l： y=-x+a 与渐近线 l1： bx-ay=0交于 2()a abBa b a b， l与渐近线 l2： bx+ay=0交于 2()a abCa b a b， A(a， 0)， ()a b a bABa b a b ， 222 2 2 22( 2 )a b a bBC a b a b， ， 12AB BC， 222ab a ba b a b ， b=2a， c2-a2
7、=4a2， 222 5ce a， e= 5 . 答案： C. 9.如图：已知，在 OAB 中，点 A 是 BC 的中点，点 D 是将向量 OB 分为 2： 1 的一个分点，DC和 OA 交于点 E，则 AO与 OE的比值是 ( ) A.2 B.54C.32D.65解析： O， E， A三点共线，且 A是 BC的中点； 设 2O E O A O B O C ； 又 32OB OD； 342O E O D O C； C， E， D三点共线； 3 =142； 解得 45； 45OE OA； 54AOOE. 答案： B. 10.设函数 f(x)=(x-a)2+(lnx2-2a)2，其中 x 0， a
8、R，存在 x0使得 f(x0) 45成立，则实数 a值是 ( ) A.15B.25C.12D.1 解析：函数 f(x)可以看作是动点 M(x， lnx2)与动点 N(a， 2a)之间距离的平方， 动点 M在函数 y=2lnx 的图象上， N在直线 y=2x的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由 y=2lnx得， 22yx，解得 x=1， 曲线上点 M(1， 0)到直线 y=2x的距离最小，最小距离 2 525 5d ， 则 f(x) 45， 根据题意，要使 f(x0) 45，则 f(x0)=45，此时 N 恰好为垂足， 由 2 0 211 12MN aak ，解得 a=15
9、. 答案 ： A. 二、填空题 (共 25分，每小题 5分 ) 11.若向量 a =(sin， cos -2sin )， b =(1， 2)，且 a b ，则 tan = . 解析：根据向量平行列出方程得出 sin， cos的关系，得出 tan . a b ， 2sin -cos +2sin =0，即 cos =4sin， 14sinta n co s . 答案： 14. 12.已知 x、 y满足 222xyxy ，则 z=x+2y的最大值为 . 解析：作出不等式组对应的平面区域如图： (阴影部分 ). 由 z=x+2y得 1122y x z ， 平移直线 1122y x z ， 由图象可知当
10、直线 1122y x z 经过点 B时，直线 1122y x z 的截距最大， 此时 z最大 . 由 22xy，即 B(2， 2)， 代入目标函数 z=x+2y 得 z=2 2+2=6. 答案： 6. 13.已知正 ABC的边长为 1，那么 ABC的直观图 A B C的面积为 . 解析：正 ABC的边长为 1， 正 ABC的面积 S= 34， 设 ABC的直观图 A B C的面积为 S 则 61624SS ， 答案 ： 616. 14.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1： (x+1)2+(y-6)2=25，圆 C2： (x-17)2+(y-30)2=r2.若圆C2上存在一点 P，使得过点
11、P可作一条射线与圆 C1依次交于点 A、 B，满足 PA=2AB，则半径 r的取值范围是 . 解析：求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径 r的取值范围即可 . 圆 C1： (x+1)2+(y-6)2=25，圆心 (-1， 6)；半径为： 5. 圆 C2： (x-17)2+(y-30)2=r2.圆心 (17， 30)；半径为： r. 两圆圆心距为： 221 7 1 3 0 6 3 0 . 如图： PA=2AB，可得 AB 的最大值为直径， 此时 C2A=20， r 0.当半径扩大到 55 时，此时圆 C2上只有一点到 C1的距离为 25，而且是最小值，半径再大，没有点满足 PA=
12、2AB. r 5， 55. 答案： 5， 55. 15.在平面直角坐标系中，已知 M(-a， 0)， N(a， 0)，其中 a R，若直线 l 上有且只有一点P，使得 |PM|+|PN|=10，则称直线 l 为“黄金直线”，点 P 为“黄金点” .由此定义可判断以下说法中正确的是 . 当 a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； 当 a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线； 当 a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆； 当 a=0时，坐标平面内有且只有 1条黄金直线 . 解析：当 a=7时， |PM|+|PN| |MN|=14 10，因此坐标平面内不存在黄金直线； 当 a=5时， |PM|+|PN|=10=
13、|MN|，因此线段 MN 上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确； 当 a=3时， |PM|+|PN|=10 6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确； 当 a=0时，点 M与 N重合为 (0， 0)， |PM|+|PN|=10=2|PM|，点 P在以原点为圆心、 5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线 . 答案： . 三、解答题 (共 75分 ) 16.已知 ABC为 锐角三角形， a， b， c分别为角 A， B， C所对的边，且 3 a=2csinA. (1)求角 C. 解析： (1)由 3 a=2csinA，利用正弦定理，结合 ABC为锐角三角形， a求角 C
14、. 答案： (1)由正弦定理得 acsinA sinC， 将已知代入得 sinC= 32. 因为 ABC为锐角三角形，所以 0 C2， 所以 C=3. (2)当 c=2 3 时，求： ABC面积的最大值 . 解析： (2)当 c=2 3 时，利用余弦定理，结合基本不等式，可得 ab 12，即可求： ABC面积的最大值 . 答案： (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC， 即 12=a2+b2-ab， 又 a2+b2-ab 2ab-ab=ab 所以 ab 12. 所以 ABC的面积 13 324 3S a b s i n C a b ， 当且仅当 a=b，即 ABC为等边三角形时，
15、 ABC的面积取到 33 . 所以 ABC面积的最大值为 33 . 17.已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a4=5， S9=54. (1)求数列 an的通项公式与 Sn. 解析： (1)利用等差数列的通项公式即可得出 . 答案： (1)依题意知 S9=9a5=54，解得 a5=6， ) 公差 d=a5-a4=6-5=1， a1=a4-(4-1)d=2. an=2+(n-1) 1=n+1， 21 32122nnn nnSn . (2)若 12n nb Sn ，求数列 bn的前 n项和 . 解析： (2)由 (1)知 2 2 2 1 123 2 1 1nb n n n n n n n
16、，利用“裂项求和”即可得出 . 答案： (2)由 (1)知 2 2 2 1 123 2 1 1nb n n n n n n n ， 设数列 bn的前 n项和为 Tn， 则121 1 1 1 1()2 2 3 3 4 1 1 1 22 1 2 11 1 1nnnT b b b n n n n . 18.已知四边形 ABCD为平行四边形， BD AD， BD=AD， AB=2，四边形 ABEF为正方形，且平面ABEF平面 ABCD. (1)求证： BD平面 ADF. 解析： (1)证明 AF平面 ABCD，得出 AF BD，再由 BD AD即可得出 BD平面 ADF. 答案： (1)正方形 ABE
17、F 中， AF AB， 平面 ABEF平面 ABCD，又 AF 平面 ABEF， 平面 ABEF平面 ABCD=AB， AF平面 ABCD； 又 BD 平面 ABCD， AF BD； 又 BD AD， AF AD=A， AF、 AD 平面 ADF， BD平面 ADF. (2)若 M 为 CD 中点，证明：在线段 EF 上存在点 N，使得 MN平面 ADF，并求出此时三棱锥N-ADF的体积 . 解析： (2)N 为线段 EF中点时， MN平面 ADF，证明时利用正方形 ABEF与平行四边形形 ABCD的性质，得出四边形 NFDM 为平行四边形，从而证得 MN DF， MN平面 ADF，利用等积法
18、求出三棱 锥 N-ADF的条件即可 . 答案： (2)当 N为线段 EF中点时， MN平面 ADF； 证明如下：正方形 ABEF中， NF 12BA且 NF=12BA， 平行四边形形 ABCD中， MD 12BA且 MD=12BA. NF MD且 NF=MD， 四边形 NFDM为平行四边形， MN DF； 又 DF 平面 ADF， MN 平面 ADF， MN平面 ADF，过 D 作 DH AB于 H， 平面 ABEF平面 ABCD， 又 DH 平面 ABCD，平面 ABEF平面 ABCD=AB， DH平面 ABEF； 在 Rt ABD中， AB=2， BD=AD， DH=1， 11 1 13
19、1 123 2 3A N FN A D F D A N FV V D H S 三 棱 锥 三 棱 锥. 19.某城市 100户居民的月平均用电量 (单位：度 )，以 160， 180)， 180， 200)， 200， 220)，220， 240)， 240， 260)， 260， 280)， 280， 300分组的频率分布直方图如图 . (1)求直方图中 x的值 . 解析： (1)由直方图的性质可得 (0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025) 20=1，解方程可得 . 答案： (1)由直方图的性质可得 (0.002+0.0095+0.011+0.01
20、25+x+0.005+0.0025) 20=1， 解方程可得 x=0.0075， 直方图中 x的值为 0.0075. (2)求月平均用电量的平均数 . 解析： (2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在 220， 240)内，设中位数为 a，解方程 (0.002+0.0095+0.011) 20+0.0125 (a-220)=0.5可得 . 答案： (2)月平均用电量的平均数为 x (170 0.002+190 0.0095+210 0.011+2300.0125+250 0.0075+270 0.005+290 0.0025) 20=225.6 (3)在月平均用电量为 220
21、， 240)， 240， 260)， 260， 280)， 280， 300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11户居民， 求月平均用电量在 220， 240)的用户中应抽取多少户？ 如果月平均用电量在 220， 240)的用户中有 2 个困难户，从月平均用电量在 220， 240)的用户中任取 2户，则至少有一个困难户 的概率是多少？ 解析： (3)可得各段的用户分别为 25， 15， 10， 5，可得抽取比例，可得要抽取的户数； 一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可 . 答案： (3)月平均用电量为 220， 240)的用户有 0.0125 20 100
22、=25户， 月平均用电量为 240， 260)的用户有 0.0075 20 100=15户， 月平均用电量为 260， 280)的用户有 0.005 20 100=10户， 月平均用电量为 280， 300的用户有 0.0025 20 100=5户， 抽取比例 1 1 12 5 1 5 1 0 5 5 ， 所以月平均用电量在 220， 240)的用户中应抽取 125 55 户 . 记这 5户中 2个困难户为 D， E，另外 3户为 A， B， C， 从这 5户中一次任意取出 2户的所有可能结果为： AB， AC， AD， AE， BC， BD， BE， CD， CE， DE，共 10 种情况，
23、 记 A表示从取出的 2户中至少有一个困难户， 则 A中基本事件为： AD， AE， BD， BE， CD， CE， DE，共 7种， 故 710PA. 20.已知 ABC 的两个顶点 A， B 的坐标分别是 (0， 3 )， (0， 3 )，且 AC， BC 所在直线的斜率之积等于 34. (1)求顶点 C的轨迹 M 的方程 . 解析： (1)C 点坐标为 (x， y)，运用直线的斜率公式，化简整理，可得所求轨迹方程，注意去除 y轴上的点 . 答案： (1)令 C点坐标为 (x， y)， 则直线 AC的斜率13yk x ，直线 BC 的斜率23yk x ， 因为两直线的斜率之积为 34，所以
24、有 3 3 34yyxx ， 化简得到 22143xy (x 0)， 所以轨迹 M表示焦点在 x轴上的椭圆，且除去 (0， 3 )， (0， 3 )两点 . (2)当点 P(1， t)为曲线 M上点，且点 P为第一象限点，过点 P作两条直线与曲线 M交于 E，F两点，直线 PE， PF斜率互为相反数，则直线 EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由 . 解析： (2)设 E(x1， y1)， F(x2， y2)，令直线 PE： 132y k x ，联立椭圆方程，运用韦达定理求得 E的坐标，同理将 k 换为 -k，可得 F 的坐标，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值 . 答
25、案： (2)由题意曲线 M为 22143xy (x 0)，点 P(1， 32)， 设 E(x1， y1)， F(x2， y2)，令直线 PE： 132y k x ，联立椭圆方程， 得 2223 4 8 4 1 23322 0k x k k x k ， 则 21 24 1 2 334Pkkxx k ， 故 21 24 1 2 334kkx k ， 同理 22 24 1 2 334kkx k ， 21212 1 2 122212133118 6 2 3 42221242EFk x k xyykx x x xk k k kk x x kx x k ， 故直线 EF斜率为为定值 12. 21.已知函数
26、 f(x)=x+alnx， 212g x f x x b x . (1)讨论函数 f(x)的单调性 . 解析： (1)求出 )0(1 a x af x xxx ，由此利用导数性质能求出讨论函数 f(x)的单调性 . 答案： (1)函数 f(x)=x+alnx， 1 )0(a x af x xxx ， 当 a 0时，由 x 0，得 f (x) 0； 当 a 0时，由 f (x) 0，解得 x -a；由 f (x) 0时，解得 0 x -a. 若 a 0，则 f(x)在 (0， + )为单调递增函数； 若 a 0，则 f(x)在 (0， -a)上单调递减，在 (-a， + )单调递增 . (2)若
27、 f(x)在 x=1处的切线与直线 x+2y=0垂直，求 a的值 . 解析： (2)由 f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+2y=0垂直，利用导数的几何意义能求出 a的值 . 答案： (2) f(x)在 x=1处的切线与直线 x+2y=0垂直， 由题意知 f(1)=1+a=2，即 a=1. (3)在 (2)的条件下 ，设 x1， x2(x1 x2)是函数 g(x)的两个极值点，记12xt x ，若 b 133 ， t的取值范围 . 解析： (3)由 212 1g x l n x x b x ，得 2 11x b xgxx ，令 g(x)=0，得x1+x2=b-1， x1x2=1，由此能求出 t的取值范围 . 答案： (3) f(x)=x+alnx， 212g x f x x b x ， 由 212 1g x l n x x b x ，得 2 11x b xgxx ， 令 g(x)=0， x2-(b-1)x+1=0，即 x1+x2=b-1， x1x2=1 而 2 212 121 2 2 112 2 1 1 0 0 9xx xx tbx x x x t ， 由 x1 x2，即 0 t 1，解上不等式可得： 0 t 19.
