1、山西省专升本考试大学数学真题 2012 年(经贸类)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在价格为 100 元时，商品的需求价格弹性为-0.5，则商品价格上升到 101 元时，需求量将_（分数：3.00）A.增加 0.5%B.减少 0.5%C.增加 50%D.减少 50%2.下列等式中，成立的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.3.设 _ Adx+dy B2dx+2dy C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.设 A 和 B 为 n 阶方阵，则必有_（分数：3.0
2、0）A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA|D.(A+B)-1=A-1+B-15.无论方差 2 是否已知，正态总体均值 的置信区间的中心都是_ A B 2 C （分数：3.00）A.B.C.D.三、非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.已知 f(x+1)=x 2 -1，则 f“(x)= 1 （分数：3.00）7. （分数：3.00）8.方程 xy“+3y=0 的通解是 1 （分数：3.00）9.函数 y=lnx 在1，e上满足拉格朗日中值定理的 = 1 （分数：3.00）10.积分 （分数：3.00）11.设 f(x，y
3、)=e -x sin(x+2y)，则 （分数：3.00）12.设矩阵 （分数：3.00）13.已知向量 =(a，a，a)，=(-a，a，b)，=(-a，-a，-b)线性相关，则 a，b 满足关系式 1 （分数：3.00）14.设连续随机变量 X 的分布函数为 （分数：3.00）15.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=2，方差 D(X)=4，则 E(X 2 )= 1 （分数：3.00）五、解答题(总题数：10，分数：105.00)16.计算 （分数：8.00）_17.求曲线 （分数：10.00）_18.已知 f(x)=x 3 +ax 2 +bx+c 在 x=0 处有极大值 1，且有拐点(1，
4、1)，求： (1)a，b，c 的值； (2)f(x)的单调区间、凹凸区间及极小值 （分数：10.00）_19.计算 （分数：8.00）_20.设 ，证明 （分数：8.00）_一个商家销售某商品，其销售量 Q(单位：吨)与销售价格 P 有关系：Q=35-5p，商品的成本函数 C=3Q+1(万元)，若销售一吨商品，政府要征税 a 万元，求：（分数：10.00）(1).商家获得最大利润(指缴税后)时的销售量 Q；（分数：5.00）_(2).每吨税收 a 为何值时，商家既获得最大利润，且政府税收总额也最大?（分数：5.00）_21.给定向量组 1 =(1，-2，3，-1，2) T ， 2 =(3，-
5、1，5，-3，1) T ， 3 =(5，0，7，-5，-4) T ， 4 =(2，1，2，-2，-3) T ，求： (1)此向量组的秩； (2)此向量组的一个极大无关组； (3)判定此向量组的线性相关性； (4)将向量组的其他向量用求出的极大无关组线性表示 （分数：13.00）_22.求线性方程组 （分数：13.00）_23.设随机变量 X 的概率为 用 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 出现的次数，求： (1) 至少出现一次的概率； (2) （分数：13.00）_24.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：12.00）_山西省专升本考试大学数学真题 2012 年(经贸类)答案解析(总
6、分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在价格为 100 元时，商品的需求价格弹性为-0.5，则商品价格上升到 101 元时，需求量将_（分数：3.00）A.增加 0.5%B.减少 0.5% C.增加 50%D.减少 50%解析：解析 由需求价格弹性定义知，价格上升 1%，需求量减少 0.5%，故选 B2.下列等式中，成立的是_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由求导、积分、微分关系可知，只有 B 项正确，故选 B3.设 _ Adx+dy B2dx+2dy C D （分数：
7、3.00）A.B.C. D.解析：解析 4.设 A 和 B 为 n 阶方阵，则必有_（分数：3.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA| D.(A+B)-1=A-1+B-1解析：解析 由矩阵和行列式的性质，可知应选 C5.无论方差 2 是否已知，正态总体均值 的置信区间的中心都是_ A B 2 C （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 置信区间的中心即是样本均值，与方差是否已知无关，故选 C三、非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.已知 f(x+1)=x 2 -1，则 f“(x)= 1 （分数：3.00）
8、解析：2x-2 解析 f(x+1)=(x+1) 2 -2(x+1)，所以 f(x)=x 2 -2x，f“(x)=2x-27. （分数：3.00）解析：解析 8.方程 xy“+3y=0 的通解是 1 （分数：3.00）解析：y=Cx -3 (C 是任意常数) 解析 分离变量，得 9.函数 y=lnx 在1，e上满足拉格朗日中值定理的 = 1 （分数：3.00）解析：e-1解析 y=lnx 在1，e上连续，在(1，e)内可导，所以存在 ，使 ，所以10.积分 （分数：3.00）解析：1 解析 当 =1 时， 当 a1 时， 11.设 f(x，y)=e -x sin(x+2y)，则 （分数：3.00
9、解析：0解析 由于 f(0，y)=sin2y，则 ，所以12.设矩阵 （分数：3.00）解析：16解析 13.已知向量 =(a，a，a)，=(-a，a，b)，=(-a，-a，-b)线性相关，则 a，b 满足关系式 1 （分数：3.00）解析：a=0 或 a=b 解析 由于向量 ， 线性相关，则 k 1 +k 2 +k 3 =0，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 不全为零 即方程 ，作为以 k 1 ，k 2 ，k 3 为未知量的齐次线性方程有非零解，因此 14.设连续随机变量 X 的分布函数为 （分数：3.00）解析：1解析 由 F(x)的连续性，有15.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=
10、2，方差 D(X)=4，则 E(X 2 )= 1 （分数：3.00）解析：8 解析 D(X)=E(X 2 )-E(X) 2 ，所以 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =8五、解答题(总题数：10，分数：105.00)16.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：17.求曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：方程两边同时对 x 求导，得 18.已知 f(x)=x 3 +ax 2 +bx+c 在 x=0 处有极大值 1，且有拐点(1，-1)，求： (1)a，b，c 的值； (2)f(x)的单调区间、凹凸区间及极小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：f“(x)3x 2
11、 +2ax+b，f“(x)=6x+2a 依题，有 即 19.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：设 则 x=t 2 ，dx=2tdt 20.设 ，证明 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 一个商家销售某商品，其销售量 Q(单位：吨)与销售价格 P 有关系：Q=35-5p，商品的成本函数 C=3Q+1(万元)，若销售一吨商品，政府要征税 a 万元，求：（分数：10.00）(1).商家获得最大利润(指缴税后)时的销售量 Q；（分数：5.00）_正确答案：()解析：税后利润为 L(Q)=PQ-3Q-1-aQ=(7-0.2Q)Q-3Q-1-aQ=-0.2Q 2 +(4-a)Q-1，
12、 L“(Q)=-0.4Q+4-a， 令 L“(Q)=0，则 Q=10-2.5a L“(Q)=-0.40 故当销售量 Q=10-2.5a(吨)时，获利最大；(2).每吨税收 a 为何值时，商家既获得最大利润，且政府税收总额也最大?（分数：5.00）_正确答案：()解析：税收总额 T=aQ=a(10-2.5a)=10a-2.5a 2 ，T“=10-5a 令 T“(a)=0，则 a=2，T“(2)=-50 则当 a=2 万元时，征收税额最大21.给定向量组 1 =(1，-2，3，-1，2) T ， 2 =(3，-1，5，-3，1) T ， 3 =(5，0，7，-5，-4) T ， 4 =(2，1，2
13、2，-3) T ，求： (1)此向量组的秩； (2)此向量组的一个极大无关组； (3)判定此向量组的线性相关性； (4)将向量组的其他向量用求出的极大无关组线性表示 （分数：13.00）_正确答案：()解析：对以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为列向量的矩阵 A 作初等行变换， (1)r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r(A)=r(B)=3； (2) 1 ， 2 ， 3 是向量组的一个极大无关组； (3) 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关； (4) 22.求线性方程组 （分数：13.00）_正确答案：()解析：对增广矩阵 作初等行变换， 则原方程组的等价方程组为 23.设随机变量 X 的概率为 用 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 出现的次数，求： (1) 至少出现一次的概率； (2) （分数：13.00）_正确答案：()解析： 依题， 则 Y 的分布律 (1) (2) (3) 24.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：12.00）_正确答案：()解析： 得 的极大似然估计
