1、山西省专升本考试大学数学真题 2015 年(经贸类)及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 f(lnx)的定义域为_（分数：3.00）A.(-，+)B.1，eC.0，1D.(0，e2.当 x0 时， （分数：3.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小3.设 z=e x cosy，则 （分数：3.00）A.exsinyB.ex+exsinyC.-excosyD.-exsiny4.若 f(x)有原函数 e x ，则 （分数：
2、3.00）A.ex(1-x)+CB.-ex(1-x)+CC.ex(1+x)+CD.-ex(1+x)+C5.对于函数 f(x，y)=x2+xy，原点(0，0)_（分数：3.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点C.是极大值点D.是极小值点三、非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6. （分数：3.00）7.设 （分数：3.00）8.设函数 f“(lnx)=2x+1，则 f (2015) (x)= 1 （分数：3.00）9.点(0，1)是曲线 f(x)=x 3 +ax 2 +b 的拐点，则 a= 1 （分数：3.00）10.不定积分为 （分数：3.00）
3、11.设 D 是由直线 所围成的闭区域，则 （分数：3.00）12.在空间直角坐标系中，以 A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为 1 （分数：3.00）13.微分方程 （分数：3.00）14.向量组 1 =(1，2，-1，1)， 2 =(2，0，3，0)， 3 =(-1，2，-4，1)的秩为 1 （分数：3.00）15.一个袋内有 5 个红球，3 个白球，2 个黑球，任取 3 个球恰为一红、一白、一黑的概率为 1 （分数：3.00）五、解答题(总题数：11，分数：105.00)16.求极限 （分数：10.00）_17.设函数 y=(x 2 -3x
4、) cos2x ，求 （分数：10.00）_18.计算 ，其中 （分数：10.00）_19.已知某产品的需求函数为 （分数：10.00）_20.求曲面 e z -z+xy=3 在点(2，1，0)处的切平面及法线方程 （分数：10.00）_21.计算 ，其中 D 是由 （分数：10.00）_22.求微分方程 y“+6y“+13y=0 的通解 （分数：10.00）_设随机变量 X 的密度函数为 （分数：9.99）(1).常数 A；（分数：3.33）_(2). （分数：3.33）_(3).分布函数 F(x)（分数：3.33）_设 （分数：10.00）(1).求出 A-E，问 A 2 -E 是否可逆，
5、若可逆说明理由，并求出(A-E) -1 （分数：5.00）_(2).问是否存在三阶方阵 X，使得 AX+E=A 2 +X，若存在，求出矩阵 X（分数：5.00）_23.解线性方程组 （分数：10.00）_24.设 z=f(x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：5.00）_山西省专升本考试大学数学真题 2015 年(经贸类)答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 f(lnx)的定义域为_（分数：3.00）A.(-，+)B.1，e C.
6、0，1D.(0，e解析：解析 f(x)的定义域为0，1，对于 f(lnx)来说应满足 0lnx1，即 1xe，故应选 B2.当 x0 时， （分数：3.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小解析：解析 因为 所以 3.设 z=e x cosy，则 （分数：3.00）A.exsinyB.ex+exsinyC.-excosyD.-exsiny 解析：解析 4.若 f(x)有原函数 e x ，则 （分数：3.00）A.ex(1-x)+CB.-ex(1-x)+C C.ex(1+x)+CD.-ex(1+x)+C解析：解析 因为 f(x)=(e x )“=e x 所以 5.
7、对于函数 f(x，y)=x2+xy，原点(0，0)_（分数：3.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点 C.是极大值点D.是极小值点解析：解析 三、非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6. （分数：3.00）解析：解析 7.设 （分数：3.00）解析：2 解析 因为 8.设函数 f“(lnx)=2x+1，则 f (2015) (x)= 1 （分数：3.00）解析：2e x 解析 因为 f“(lnx)=2x+1=2e lnx +1，所以 f“(x)=2e x +1，f (2015) (x)=2e x 9.点(0，1)是曲线 f(x)=x 3 +ax
8、2 +b 的拐点，则 a= 1 （分数：3.00）解析：0 解析 由题设知 10.不定积分为 （分数：3.00）解析：ln|x+sinx|+C解析 11.设 D 是由直线 所围成的闭区域，则 （分数：3.00）解析：2解析 根据二重积分的几何意义知12.在空间直角坐标系中，以 A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为 1 （分数：3.00）解析： 解析 所以ABC 的面积 13.微分方程 （分数：3.00）解析： 解析 由 两边积分，得 即 14.向量组 1 =(1，2，-1，1)， 2 =(2，0，3，0)， 3 =(-1，2，-4，1)的秩为 1
9、 （分数：3.00）解析：2 解析 15.一个袋内有 5 个红球，3 个白球，2 个黑球，任取 3 个球恰为一红、一白、一黑的概率为 1 （分数：3.00）解析：0.25解析 袋内共 10 个球，任取 3 个有 种取法，恰取到一红、一白、一黑 3 个球有种取法，因此五、解答题(总题数：11，分数：105.00)16.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：17.设函数 y=(x 2 -3x) cos2x ，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：两边同取自然对数，得 lny=cos2xln(x 2 -3x)， 两边同对 x 求导，得 所以 18.计算 ，其中 （分数：10.00
10、）_正确答案：()解析：19.已知某产品的需求函数为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：总利润函数为 因此 令 L“(Q)=0，得 Q=20；由于 ，所以产量为 20 时，利润最大利润最大时，商品价格为 20.求曲面 e z -z+xy=3 在点(2，1，0)处的切平面及法线方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 F(x，y，z)=e z -z+xy-3，则曲面在(x，y，z)处的切平面的法向量 n=F x ，F y ，F z )=y，x，e z -1)，n| (2，1，0) =1，2，0， 曲面在点(2，1，0)处的切平面方程为 1(x-2)+2(y-1)+0(z-0)=
11、0， 即 x+2y-4=0 所求法线方程为 21.计算 ，其中 D 是由 （分数：10.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示， 由 解得交点为 A(1，1) 则区域 D 表示为 所以 22.求微分方程 y“+6y“+13y=0 的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：该方程的特征方程为 r 2 +6r+13=0， 解得特征根为 r 1,2 =-32i， 故所求方程的通解为 y=e -3x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)，其中 C 1 ，C 2 为任意常数设随机变量 X 的密度函数为 （分数：9.99）(1).常数 A；（分数：3.33）_正确答案：()解析：由 ，
12、即 所以 (2). （分数：3.33）_正确答案：()解析：(3).分布函数 F(x)（分数：3.33）_正确答案：()解析：分布函数设 （分数：10.00）(1).求出 A-E，问 A 2 -E 是否可逆，若可逆说明理由，并求出(A-E) -1 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 因为 |A-E|=-10，|A 2 -E|=-90， 故 A-E 与 A 2 -E 均可逆， 又 A-E 为初等矩阵，易知 (2).问是否存在三阶方阵 X，使得 AX+E=A 2 +X，若存在，求出矩阵 X（分数：5.00）_正确答案：()解析：由 AX+E=A 2 +X， 得(A-E)X=(A-E)(A+E)， 又 A-E 可逆，上式两边同时左乘(A-E) -1 得 23.解线性方程组 （分数：10.00）_正确答案：()解析：用初等行变换把该线性方程组所对应的系数矩阵 A 化为行最简形矩阵： 与原线性方程组同解的方程组为 取 x 3 ，x 4 为自由未知量，得 所以，该方程组的通解为 24.设 z=f(x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 u=x 2 +y 2 ，则 z=f(u)，
