1、广东专插本（高等数学）-试卷 47 及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.设函数 f() （分数：2.00）A.0，1 处都间断B.0，1 处都连续C.0 处间断，1 处连续D.0 处连续，1 处间断3.曲线 f() （分数：2.00）A.yB.yC.yD.y4. ( ) （分数：2.00）A.0B.C.D.5.设 y4 （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列级数中，收敛的级数是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10
2、.00)7.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_8.yln 在点 1 处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.sinx d 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 y 1 e ，y 1 e 为微分方程 yPyqy0 的解，则 P 1，q 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.若函数 f()ab 在 1 处取得极值 2，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_13.问 a 为何值时，函数 f() （分数：2.00）_14.求极
3、限 （分数：2.00）_15.已知函数 y （分数：2.00）_16.计算 （分数：2.00）_17.设函数 f() （分数：2.00）_18.计算二重积分 I （分数：2.00）_19.求微分方程 y1 满足 y(0)2，y(0)0，y(0)1 的特解（分数：2.00）_20.判断级数 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.已知曲线 ya (a0)与曲线 yln （分数：2.00）_22.已知 f() 5 31，求： (1)函数 f()的凹凸区间； (2)证明方程 f()0 在(1，2)内至少有一个实根（分数：2.00）_广东专插本（高等数学）-试卷 47 答案解
4、析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f() （分数：2.00）A.0，1 处都间断B.0，1 处都连续C.0 处间断，1 处连续 D.0 处连续，1 处间断解析：解析：因为在 0 处， 0， 所以 ，因此 f()在 0 处间断 在 1 处， 所以3.曲线 f() （分数：2.00）A.yB.yC.y D.y解析：解析： ，则 y4. ( ) （分数：2.00）A.0B.C.D. 解析：解析：5.设 y4 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析
5、：y4 ，y0，得 或 (舍)，y( )8 (y)在 y0 处的导数为6.下列级数中，收敛的级数是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：f()在 0 处连续，则 f(0)，即8.yln 在点 1 处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y10）解析：解析：切线斜率 y 1 (ln1) 1 1，即切线方程为 y19.sinx d 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：10.已知
6、y 1 e ，y 1 e 为微分方程 yPyqy0 的解，则 P 1，q 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：将方程的解代入方程 e pe qe 0，即 1Pq0， 又 y 2 e 2e ，y2e e ，即(2p)e (1pq)e 0， 由联立解得 p2，q111.若函数 f()ab 在 1 处取得极值 2，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析：由 f()在 1 处取得极值 2 知三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应
7、写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.问 a 为何值时，函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()在 0 处连续，所以 f()f(0)a， )解析：14.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0 时，(e 1)是无穷小量，cos 1， 原式 )解析：15.已知函数 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y ， y (1)(1) -2 (1)(3) -2 ， y (1)(2)(1) -3 (2)(3) -3 (1)(2)(1) -3 (3) -3 ， y (1)(2)(3)(1) -4 (3)(3) -4 (1)(2)(3)(1) -4
8、(3) -4 ， 故 y (n) )解析：16.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：被积函数中含有 ，令 ，e t 2 1，d dt )解析：17.设函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 2t，则 1 3 f(2)d -1 * f(t)dt -1 0 f(t)dtf 0 1 (t)dt -1 0 (1t 2 )dt 0 1 e -t dt )解析：18.计算二重积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性知 3yddy0，区域 D 可用极坐标表示为 所以 )解析：19.求微分方程 y1 满足 y(0)2，y(0)0，y(0)1 的特解（分数：2
9、.00）_正确答案：(正确答案：该题属于 y n f()型的微分方程，可通过连续积分求得通解 对 y1两边积分，得 y 2 C 1 ， 将初始条件 y(0)1 代日，得 C 1 1，即 y 2 1 两边再积分，得 y C 2 ，将 y(0)0 代入，得 C 2 0，即 y 两边再积分，得 y C 3 ，将 y(0)2 代日，得 C 3 2 故所求特解为 y )解析：20.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数为任意项级数，因 用比值法判别 的缈性 故 )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.已知曲线 ya (a0)与曲线 yln （分数：2.00）_正确答案：(
10、正确答案：(1)由已知条件知 求解，得 a ，切点为(e 2 ，1)； (2)两曲线与 轴围成的平面图形如图所示，于是所求的面积为： )解析：22.已知 f() 5 31，求： (1)函数 f()的凹凸区间； (2)证明方程 f()0 在(1，2)内至少有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f()5 4 3，f()20 3 ，令 f()0，得 0， 当0 时，f()0；当 0 时，f()0 故 f()在凹区间为(0，)，凸区间为(，0) (2)f() 5 31，知 f()在1，2上连续 又 f(1)30，f(2)250，即 f(1).f(2)0， 由零点存在定理知，f(z)在(1，2)内至少有一点 ，使 f()0，即 f()0 在(1，2)内至少有一实根)解析：
