1、2016年山东省枣庄八中高考模拟试卷数学理 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 5分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设 i是虚数单位，若复数 a+ 512ii(a R)是纯虚数，则 a=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析 ： a+ 5 1 25 1 0 5 21 2 1 2 1 2 5iiiia a a ii i i 是纯虚数， a=2. 故选： D. 2.已知集合 P=2， 3， 4， 5， 6， Q=3， 5， 7，若 M=P Q，则 M的子集个数为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析 ： P=2， 3， 4， 5
2、， 6， Q=3， 5， 7， M=P Q=3， 5，则 M的子集个数为 22=4. 故选： B. 3.在 ABC中， PQ分别是 AB， BC 的三等分点，且 AP=13AB， BQ=13BC，若 AB a ， AC b ，则 PQ =( ) A.1133abB.-1133abC.1133abD. 1133ab解析： B C A C A B b a . AP=13AB， BQ=13BC， 2233P B A B a， 1 1 13 3 3B Q B C b a . 1133P Q P B B Q a b . 故选： A. 4.已知函数 f(x)=-x2+2， g(x)=log2|x|，则函数
3、 F(x)=f(x)-g(x)的大致图象为 ( ) A. B. C. D. 解析： f(-x)=-x2+2=f(x)， g(-x)=log2|x|=g(x)， F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x)， 函数 F(x)为偶函数，其图象关于 y轴对称， 当 x +时， f(x) -， g(x) +， 当 x +时， F(x) - . 故选： B. 5.已知双曲线 C： 22xyab=1(a 0， b 0)的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为 120的三角形，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 52B. 62C. 3 D. 5 解析：双曲线 C： 22xyab=1(a
4、0， b 0)， 可得虚轴的一个端点 M(0， b)， F1(-c， 0)， F2(-c， 0)， 设 F1MF2=120，得 c= 3 b，平方得 c2=3b2=3(c2-a2)， 可得 3a2=2c2，即 c= 62a，得离心率 e= 62ca. 故选： B 6.已知 p：函数 f(x)=(x-a)2 在 (-， -1)上是减函数， q： x 0， 2 1xx恒成立，则 p是 q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： p：函数 f(x)=(x-a)2在 (-， -1)上是减函数， -1 a， p： a -1. q： x 0， 2
5、1 1 122x xxx x x ，当且仅当 x=1时取等号， a 2. 则 p是 q的充分不必要条件 . 故选： A 7.已知两条不同的直线 m， n和两个不同的平面，以下四个命题： 若 m， n，且，则 m n； 若 m， n，且，则 m n； 若 m， n，且，则 m n； 若 m， n，且，则 m n. 其中正确命题的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析： 由两条不同的直线 m， n和两个不同的平面，知： 在中，若 m， n，且，则 m与 n平行或异面，故错误； 在中，若 m， n，且，则由直线与平面垂直的性质得 m n，故正确； 在中，若 m， n，且，则 m与 n相
6、交、平行或异面，故错误； 在中，若 m， n，且，则由面面垂直和线面垂直的性质得 m n，故正确 . 故选： C. 8.设函数 y=f(x)(x R)为偶函数，且 x R，满足 f(x-32)=f(x+12)，当 x 2， 3时， f(x)=x，则当 x -2， 0时， f(x)=( ) A.|x+4| B.|2-x| C.2+|x+1| D.3-|x+1| 解析： x R，满足 f(x-32)=f(x+12)， x R，满足 f(x+32-32)=f(x+32+12)，即 f(x)=f(x+2)， 若 x 0， 1时，则 x+2 2， 3， f(x)=f(x+2)=x+2， x 0， 1，
7、若 x -1， 0，则 -x 0， 1， 函数 y=f(x)(x R)为偶函数， f(-x)=-x+2=f(x)， 即 f(x)=-x+2， x -1， 0， 若 x -2， -1，则 x+2 0， 1， 则 f(x)=f(x+2)=x+2+2=x+4， x -2， -1， 即 f(x)= 4 2 12 1 0 .xx ， ，故选： D 9.执行如图所示的程序框图，若输出的 n=7，则输入的整数 K的最大值是 ( ) A.18 B.50 C.78 D.306 解析 ：模拟执行程序，可得 n=1， S=0 S=2， n=2 不满足条件 S K， S=6， n=3 不满足条件 S K， S=2，
8、n=4 不满足条件 S K， S=18， n=5 不满足条件 S K， S=14， n=6 不满足条件 S K， S=78， n=7 由题意，此时满足条件 78 K，退出循环，输出 n的值为 7. 则输入的整数 K的最大值是 78. 故选： C 10. 已知函数 f(x)= 2lnlnxa x x xx有三个不同的零点 x1， x2， x3(其中 x1 x2 x3)，则 (1-11lnxx )2(1-22lnxx )(1-33lnxx)的值为 ( ) A.1-a B.a-1 C.-1 D.1 解析：令 f(x)=0，分离参数得 a= lnlnxxx x x， 令 h(x)= lnlnxxx x
9、 x， 由 h (x)= 22ln 1 ln 2 lnlnx x x xx x x=0，得 x=1或 x=e. 当 x (0， 1)时， h (x) 0；当 x (1， e)时， h (x) 0；当 x (e， + )时， h (x)0. 即 h(x)在 (0， 1)， (e， + )上为减函数，在 (1， e)上为增函数 . 0 x1 1 x2 e x3， a= l n 1 l nlnln 1x x xxx x x xx ，令 =lnxx， 则 a= 11 ，即 2+(a-1) +1-a=0， 1+ 2=1-a 0， 1 2=1-a 0， 对于 =lnxx， =21 lnxx 则当 0 x
10、e时， 0；当 x e时， 0.而当 x e时，恒大于 0. 画其简图， 不妨设 1 2，则 1=11lnxx ， 2= 22lnxx =33lnxx= 3， (1-11lnxx )2(1-22lnxx )(1-33lnxx)=(1- 1)2(1- 2)(1- 3) =(1- 1)(1- 2)2=1-(1-a)+(1-a)2=1. 故选： D 二、填空题 (每题 5分，满分 25分，将答案填在答题纸上 ) 11.观察下列各式 (如图 )： 照此规律，当 n N*时， 2221 1 11 23 1n . 解析：由各式的规律可知，右边的分子是以 3为首项的以 2为公差的等差数列，分母是以 2为首项
11、的以 1为公差的等差数列， 依此类推可以得到当 n N*时， 2221 1 11 23 1n 21nn. 答案 ： 21nn12.已知 ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 a cosB+b cosA=3c cosC，则 cosC= . 解析： a cosB+b cosA=3c cosC， 利用余弦定理可得： 2 2 2 2 2 2 2 2 232 2 2a c b b c a a b ca b ca c b c a b ，整理可得：a2+b2-c2=23ab， 由余弦定理可得： cosC= 2 2 2 2 132 2 3aba b ca b a b . 答案：
12、 13. 13.如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 M，则点 M 恰好取自阴影部分的概率为 . 解析：根据题意，正方形 OABC的面积为 1 1=1， 由函数 y=x与 y= x 围成阴影部分的面积为 3 2102 102132 | 6xx x d x x ， 由于 y=x2与 y= x 互为反函数，所以阴影部分的面积为 13， 则正方形 OABC中任取一点 P，点 P取自阴影部分的概率为 13. 答案： 1314.将编号为 1， 2， 3， 4的四个小球放入 3个不同的盒子中，每个盒子里至少放 1个，则恰有 1个盒子放有 2个连号小球的所有不同放法有 种 .(用数字作答
13、) 解析：先把 4个小球分为 (2， 1， 1)一组，其中 2个连号小球的种类有 (1， 2)， (2， 3)， (3，4)为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有 1333CA=18种 . 答案 ： 18. 15.已知抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=-1焦点为 F， A， B， C为该抛物线上不同的三点， |FA |， |FB |， |FC |成等差数列，且点 B在 x轴下方，若 FA +FB +FC =0，则直线 AC的方程为 . 解析：抛物线的准线方程是 x=-2p=-1， p=2， 即抛物线方程为 y2=4x， F(1， 0)， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，
14、 C(x3， y3)， |FA|， |FB|， |FC|成等差数列， |FA|+|FC|=2|FB|， 即 x1+1+x3+12(x2+1)，即 x1+x3=2x2， FA +FB +FC =0， (x1-1+x2-1+x3-1， y1+y2+y3)=0， x1+x2+x3=3， y1+y2+y3=0， 则 x1+x3=2， x2=1， 由 y22=4x2=4，则 y2=-2 或 2(舍 )，则 y1+y3=2， 则 AC的中点坐标为 (x1+x32， y1+y32)，即 (1， 1)， AC的斜率 k=1313yyxx = 13223144yyyy=134yy =42 =2， 则直线 AC的
15、方程为 y-1=2(x-1)，即 2x-y-1=0. 答案： 2x-y-1=0 三、解答题 (本大题共 6小题，共 75分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 16.已知函数 f(x)=4sin( x-4) cos x在 x=4处取得最值，其中 (0， 2). (1)求函数 f(x)的最小正周期 ； (2)将函数 f(x)的图象向左平移36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3倍，纵坐标不变，得到函数 y=g(x)的图象 .若为锐角 ， g( )=43- 2 ，求 cos . 解析： (1)化简可得 f(x)=2sin(2 x-4)- 2 ，由函数的最值可得，再由周期公
16、式可得； (2)由函数图象变换可得 g(x)=2sin(x-6)- 2 ，可得 sin( -6)=23，进而可得 cos( -6)=53，整体代入 cos =cos( -6)+6=32cos( -6)-12sin( -6)计算可得 . 答案 ： (1)化简可得 f(x)=4sin( x-4) cos x =4( 22sin x- 22sin x)cos x =2 2 sinxcosx -2 2 cos2x = 2 sin2x - 2 cos2x - 2 =2sin(2 x-4)- 2 ， 函数 f(x)在 x=4处取得最值， 24-4=k +2，解得 =2k+32， k Z， 又 (0， 2)
17、， =32， f(x)=2sin(3x-4)- 2 ，最小正周期 T=23； (2)将函数 f(x)的图象向左平移36个单位得到 y=2sin3(x+36)-4-2=2sin(3x-6)- 2的图象， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g(x)=2sin(x-6)- 2 的图象 . 为锐角， g( )=2sin( -6)- 2 =43- 2 ， sin( -6)=23， cos( -6)= 2 (in6 )1s = 53， cos =cos( -6)+6= 32cos( -6)-12sin( -6)= 32 53- 12 23=15 26 . 17.如图
18、所示的几何体中，四边形 ABCD和四边形 BCEF 是全等的等腰梯形，且平面 BCEF平面 ABCD， AB DC， CE BF， AD=BC， AB=2CD， ABC= CBF=60， G为线段 AB 的中点 . (1)求证： AC BF； (2)求二面角 D-FG-B(钝角 )的余弦值 . 解析： (1)根据线面垂直的性质定理证明 AC平面 BCEF即可 . (2)建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可 . 答案： (1)连接 CF，四边形 ABCD和四边形 BCEF是全等的等腰梯形， AB DC， CE BF， AD=BC， AB=2CD， ABC= CBF=6
19、0， G为线段 AB的中点， DG BC， AC CB，同理 CF BC， 平面 BCEF平面 ABCD， AC BC， AC平面 BCEF， BF 平面 BCEF， AC BF； (2)由 (1)知 CF平面 ABCD， 建立以 C为坐标原点，以 CA， CB， CF分别为 x， y， z轴的空间直角坐标系如图： AD=BC， AB=2CD， ABC= CBF=60，设 BC=1，则 AB=2， AC=CF= 3 ， 则 A( 3 ， 0， 0)， B(0， 1， 0)， F(0， 0， 3 )， G( 32， 12， 0)， 则 GF =(- 32， -12， 3 )， DG =CB =(
20、0， 1， 0)， GB =( 32， -12， 0)， 设平面 DFG的一个法向量为 m =(x， y， z)，则31 32 020m D G ym G F x y z ，则 y=0，令 x=2，则 z=1，即为 m =(2， 0， 1)， 设平面 FGB的一个法向量为 n =(x， y， z)， 则312231 32002m G B x ym G F x y z ，即 33yxyz ，令 x=1，则 y= 3 ， z=1，即为 n =(1， 3， 1)， 则 cos m ， n = 222 1 3 355? 52 1 ? 1 3 1nmnm ， 二面角 D-FG-B是钝二面角， 二面角 (
21、钝角 )的余弦值为 -35. 18.已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， Sn+1+Sn= 21na，数列 bn满足 bnbn+1=3an，且b1=1. ( )求数列 an， bn的通项公式； ( )记 Tn=anb2+an-1b4+ +a1b2n，求 Tn. 解析： (I)正项数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， Sn+1+Sn= 21na，利用递推关系及其等差数列的通项公式即可得出 .数列 bn满足 bnbn+1=3an，且 b1=1.可得 bnbn+1=3n， b2=3.利用递推关系可得： bn+2=3bn.可得数列 bn的奇数项与偶数项分别成等比数列，公
22、比为 3.即可得出 . (II)利用“错位相减法”与等比数列的前 n项和公式即可得出 . 答案： (I)正项数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1=1， Sn+1+Sn= 21na， 当 n 2时， Sn+Sn-1= 2na，相减可得： an+1+an= 21na- 2na， an+1-an=1， 数列 an是等差数列，首项为 1，公差为 1. an=1+(n-1)=n. 数列 bn满足 bnbn+1=3 an，且 b1=1. bnbn+1=3n， b2=3. bn+1bn+2bnbn+1= 112133nnnnnnbbbb =3， bn+2=3bn. 数列 bn的奇数项与偶数项分别成等比数
23、列，公比为 3. b2k-1=3k-1， b2k=3k. bn= 1223 2 132nnnknk ，(k N*). (II)Tn=anb2+an-1b4+ +a1b2n=3n+(n-1) 32+(n-2) 33+ +3n. 3Tn=32n+(n-1)33+ +2 3n+3n+1， -2Tn=3n-32-33- -3n-3n+1=3n- 9 3 131n =3n-92(3n-1)， Tn=94(3n-1)-32n. 19.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在 50， 100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A， B，
24、 C三级为合格等级， D为不合格等级 . 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照 50， 60)， 60， 70)， 70， 80)， 80， 90)， 90， 100的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在 80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示 . (1)求 n和频率分布直方图中的 x， y的值； (2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3人，求至少有 1人成绩是合格等级的概率； (3)在选取的样本中，从 A， C两个等级的学生中随机抽取了 3名学生进行调研，记 表示抽取的 3名学
25、生中为 C等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望 . 解析： (1)根据频率分布直方图和树形图求解； (2)至少有一人可从反面出发，用间接法求解； (3)根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可 . 答案： (1)由题意可知，样本容量 n= 60.012 10=50， x= 250 10=0.02， y=0.1810=0.018； (2)不合格的概率为 0.1， 设至少有 1人成绩是合格等级为事件 A， P(A)=1-0.13=0.999， 故至少有 1人成绩是合格等级的概率为 9991000； (3)C等级的人数为 0.18 50=9人， A等级的为 3 人， 的取值可为 0， 1
26、， 2， 3； P( =0)= 33312CC = 1220 ， P( =1)= 27220 ， P( =2)=108220 ， P( =3)=84220 ， 的分布列为 E = 1 2 7 1 0 8 8 4 90 1 2 32 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 4 . 20.已知椭圆 E： 22xyab=1(a b 0)的离心率 e= 32，过椭圆的左焦点 F且倾斜角为 30的直线与圆 x2+y2=b2相交所得弦的长度为 1. (I)求椭圆 E的方程； ( )若动直线 l交椭圆 E于不同两点 M(x1， y1)， N(x2， y2)，设 OP =(bx1， ay1)， OQ =(
27、bx2，ay2)， O 为坐标原点 .当以线段 PQ 为直径的圆恰好过点 O 时，求证： MON 的面积为定值，并求出该定值 . 解析： (I)运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合 a， b， c 的关系，解方程可得a， b，进而得到椭圆方程； ( )讨论直线 MN 的斜率存在和不存在，以线段 PQ 为直径的圆恰好过点 O，可得 OP OQ ，运用向量的数量积为 0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值 . 答案： (I)由题意可得 e= 32ca， 过椭圆的左焦点 F(-c， 0)且倾斜角为 30的直线方程为： y= 33(x+c)，
28、由直线与圆 x2+y2=b2相交所得弦的长度为 1， 可得 2 222224933ccbb =1， 又 a2-b2=c2， 解方程可得 a=2， b=1， c= 3 ， 即有椭圆的方程为 2 24x y=1； ( )(1)当 MN的斜率不存在时， x1=x2， y1=-y2， 以线段 PQ为直径的圆恰好过点 O，可得 OP OQ ， 即有 OP OQ =0，即有 b2x1x2+a2y1y2=0， 即有 x1x2+4y1y2=0，即 x12-4y12=0， 又 (x1， y1)在椭圆上， x12+4y12=4， 可得 x12=2， |y1|= 22， S OMN=12|x1| |y1-y2|=1
29、2 2 2 =1； (2)当 MN的斜率存在，设 MN的方程为 y=kx+t， 代入椭圆方程 (1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0， =64k2t2-4(1+4k2)(4t2-4)=4k2-t2+1 0， x1+x2=-2814ktk ， x1x2= 2 24414t k ， 又 OP OQ =0，即有 x1x2+4y1y2=0， y1=kx1+t， y2=kx2+t， (1+k2)x1x2+4kt(x1+x2)+4t2=0，代入整理，可得 2t2=1+4k2， 即有 |MN|= 221 2 1 214k x x x x = 2 22228 1 6 1 611 4 1 4k t t t
30、kkk = 22224 1 41 14ktk k ， 又 O到直线的距离为 d=|t|1+k2， S OMN= 221 1 1 4411 2 12 42 42tktd M N t t . 故 MON的面积为定值 1. 21.函数 f(x)=(x-a)2(x+b)ex(a， b R). (1)当 a=0， b=-3时 .求函数 f(x)的单调区间； (2)若 x=a是 f(x)的极大值点 . (i)当 a=0时，求 b的取值范围； (ii)当 a为定值时 .设 x1， x2， x3(其中 x1 x2 x3)是 f(x)的 3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数 x4，使得 x4， x1， x
31、2， x3成等差数列？若存在求出 b的值及相应的 x4，若不存在 .说明理由 . 解析： (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)(i)函数 g(x)=x2+(b+3)x+2b，结合 x=a 是 f(x)的一个极大值点，我们分析函数g(x)=x2+(b+3)x+2b的两个零点与 0的关系，即可确定 b的取值范围； (ii)由函数 f(x)=(x-a)2(x+b)ex，我们易求出 f(x)的解析式，由 (I)可得 x1、 a、 x2是 f(x)的三个极值点，求出 x1， x2，分别讨论 x1、 a、 x2是 x1， x2， x3， x4的某种排列构造等差数列时
32、其中三项，即可得到结论 . 答案： (1)a=0， b=-3时： f(x)=x2(x-3)2ex， f (x)=exx(x-3)(x-2)(+3)， 令 f (x) 0，解得： x -3或 0 x 2或 x 3， 令 f (x) 0，解得： -3 x 0或 2 x 3， f(x)在 (-， -3)， (0， 2)， (3， + )递增，在 (-3， 0)， (2， 3)递减； (2)(i) 解： a=0 时， f(x)=x2(x+b)ex ， f(x)=x2(x+b) ex+x2(x+b)(ex) =exxx2+(b+3)x+2b， 令 g(x)=x2+(b+3)x+2b， =(b+3)2-8
33、b=(b-1)2+8 0，设 x1 x2是 g(x)=0 的两个根， 当 x1=0或 x2=0 时，则 x=0不是极值点，不合题意； 当 x1 0 且 x2 0 时，由于 x=0 是 f(x)的极大值点，故 x1 0 x2. g(0) 0，即 2b 0， b 0. (ii)f(x)=ex(x-a)x2+(3-a+b)x+2b-ab-a， 令 g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a，则 =(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8 0， 于是，假设 x1， x2是 g(x)=0 的两个实根，且 x1 x2. 由 (i)可知，必有 x1 a x2，且 x1、 a、 x2
34、是 f(x)的三个极值点， 则 x1= 23 1 82a b a b ， x2= 23 1 82a b a b ， 假设存在 b及 x4满足题意， 当 x1， a， x2等差时，即 x2-a=a-x1时， 则 x4=2x2-a或 x4=2x1-a， 于是 2a=x1+x2=a-b-3，即 b=-a-3. 此时 x4=2x2-a=a-b-3+ 218ab -a=a+2 6 或 x4=2x1-a=a-b-3- 218ab -a=a-26 ， 当 x2-a a-x1 时，则 x2-a=2(a-x1)或 (a-x1)=2(x2-a)， 若 x2-a=2(a-x1)，则 x4=22ax， 于是 3a=2
35、x1+x2= 23 3 1 82a b a b ， 即 218ab =-3(a+b+3). 两边平方得 (a+b-1)2+9(a+b-1)+17=0， a+b+3 0，于是 a+b-1= 9 132. 此时 b=-a-7 132， 此时 x4= 2 2 3 3 3 1332 4 2a a b a bax ba . 若 (a-x1)=2(x2-a)，则 x4=12ax， 于是 3a=2x2+x1= 23 3 1 82a b a b ， 即 218ab =3(a+b+3). 两边平方得 (a+b-1)2+9(a+b-1)+17=0， a+b+3 0，于是 a+b-1= 9 132， 此时 b=-a-7 132，此时 x4= 1 2 3 3 324a a b a bax =-b-3=a+1 132， 综上所述，存在 b满足题意， 当 b=-a-3时， x4=a 2 6 ， b=-a-7 132时， x4=a+1 132， b=-a-7 132时， x4=a+1 132.
