1、2016年山东省泰安市中考真题数学 一、 (本大题共 20 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分 ) 1.计算 (-2)0+9 (-3)的结果是 ( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 解析：原式 =1+(-3)=-2. 答案： B. 2.下列计算正确的是 ( ) A.(a2)3=a5 B.(-2a)2=-4a2 C.m3 m2=m6 D.a6 a2=a4 解析： 直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及结合积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案 . A、 (a2)3=a6，故此选项
2、错误； B、 (-2a)2=4a2，故此选项错误； C、 m3 m2=m5，故此选项错误； D、 a6 a2=a4，正确 . 答案 ： D. 3.下列图形： 任取一个是中心对称图形的概率是 ( ) A.14B.12C.34D.1 解析：共有 4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有 3种情况， 任取一个是中心对称图形的概率是： 34. 答案： C. 4.化简： 22224 4 4 22 1 21a a aa a aa 的结果为 ( ) A. 22aaB. 42aaC.2aaD.a 解析：先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法即可 . 原式 2
3、222 2 1 2212a a aaaa 22aaa 2aa . 答案： C. 5.如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为( ) A.90 B.120 C.135 D.150 解析：圆锥的底面半径为 3， 圆锥的底面周长为 6， 圆锥的高是 6 2 ， 圆锥的母线长为 223 6 92， 设扇形的圆心角为 n， 9 6180n ， 解得 n=120. 答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为 120 . 答案： B. 6.国家统计局的相关数据显示， 2015年我国国民生产总值 (GDP)约为 67.67万亿元，将这个数据用科学记数法表示为 ( ) A.6.76
4、7 1013元 B.6.767 1012元 C.6.767 1012元 D.6.767 1014元 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 . 67.67万亿元 =6.767 1013元 . 答案： A. 7.如图，在 ABCD中， AB=6， BC=8， C的平分线交 AD 于 E，交 BA 的延长线于 F，则 AE+AF的值等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析：由平行
5、四边形的性质和角平分线得出 F= FCB，证出 BF=BC=8，同理： DE=CD=6，求出 AF=BF-AB=2， AE=AD-DE=2，即可得出结果 . 四边形 ABCD是平行四边形， AB CD， AD=BC=8， CD=AB=6， F= DCF， C平分线为 CF， FCB= DCF， F= FCB， BF=BC=8， 同理： DE=CD=6， AF=BF-AB=2， AE=AD-DE=2， AE+AF=4. 答案： C. 8.如图，四个实数 m， n， p， q 在数轴上对应的点分别为 M， N， P， Q，若 n+q=0，则 m， n，p， q四个实数中，绝对值最大的一个是 ( )
6、 A.p B.q C.m D.n 解析 ： n+q=0， n和 q互为相反数， 0在线段 NQ 的中点处， 绝对值最大的点 P表示的数 p. 答案： A. 9.一元二次方程 (x+1)2-2(x-1)2=7 的根的情况是 ( ) A.无实数根 B.有一正根一负根 C.有两个正根 D.有两个负根 解析：直接去括号，进而合并同类项，求出方程的根即可 . (x+1)2-2(x-1)2=7， x2+2x+1-2(x2-2x+1)=7， 整理得： -x2+6x-8=0， 则 x2-6x+8=0， (x-4)(x-2)=0， 解得： x1=4， x2=2， 故方程有两个正根 . 答案： C. 10.如图，
7、点 A、 B、 C是圆 O上的三点，且四边形 ABCO是平行四边形， OF OC交圆 O于点 F，则 BAF等于 ( ) A.12.5 B.15 C.20 D.22.5 解析：根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到 AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到 BOF= AOF=30，根据圆周角定理计算即可 . 连接 OB， 四边形 ABCO是平行四边形， OC=AB，又 OA=OB=OC， OA=OB=AB， AOB为等边三角形， OF OC， OC AB， OF AB， BOF= AOF=30， 由圆周角定理得 BAF=12 BOF=15 . 答案： B. 11.某学校将为初一学生开设
8、 ABCDEF共 6门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表 (不完整 ) 根据图表提供的信息，下列结论错误的是 ( ) A.这次被调查的学生人数为 400人 B.扇形统计图中 E部分扇形的圆心角为 72 C.被调查的学生中喜欢选修课 E、 F的人数分别为 80， 70 D.喜欢选修课 C的人数最少 解析：被调查的学生人数为 60 15%=400(人 )， 选项 A正确； 扇形统计图中 D的圆心角为 100400 360 =90， 40400 360 =36， 360 (17.5%+15%+12.5%)=162， 扇形统计图中 E的圆心角 =36
9、0 -162 -90 -36 =72， 选项 B正确； 400 72360=80(人 )， 400 17.5%=70(人 )， 选项 C正确； 12.5% 10%， 喜欢选修课 A的人数最少， 选项 D错误 . 答案： D. 12.二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数 y=ax+b的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析： y=ax2+bx+c的图象的开口向上， a 0， 对称轴在 y轴的左侧， b 0， 一次函数 y=ax+b的图象经过一，二，三象限 . 答案： A. 13.某机加工车间共有 26名工人，现要加工 2100个 A零件， 1200个 B零件，已知
10、每人每天加工 A零件 30个或 B零件 20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务 (每人只能加工一种零件 )？设安排 x人加工 A零件，由题意列方程得 ( ) A. 2 1 0 0 1 2 0 03 0 2 0 2 6xx B. 2100 120026xx C. 2 1 0 0 1 2 0 03 0 3 0 2 6xx D. 2 1 0 0 1 2 0 03 0 2 026xx 解析：直接利用现要加工 2100 个 A 零件， 1200 个 B 零件，同时完成两种零件的加工任务，进而得出等式即可 . 设安排 x人加工 A零件，由题意列方程得： 2 1 0 0 1 2 0 03 0
11、2 0 2 6xx . 答案： A. 14.当 x满足 2 4 461132 6xxxx 时，方程 x2-2x-5=0的根是 ( ) A.1 6 B. 6 -1 C.1- 6 D.1+ 6 解析 ： 2 4 461132 6xxxx ， 解得： 2 x 6， 方程 x2-2x-5=0， x=1 6 ， 2 x 6， x=1+ 6 . 答案： D. 15.在 -2， -1， 0， 1， 2这五个数中任取两数 m， n，则二次函数 y=(x-m)2+n的顶点在坐标轴上的概率为 ( ) A.25B.15C.14D.12解析：画树状图得： -2， -1， 0， 1， 2这五个数中任取两数 m， n，一
12、共有 20种可能，其中取到 0的有 8种可能， 顶点在坐标轴上的概率为 8220 5. 答案： A. 16.如图，轮船沿正南方向以 30海里 /时的速度匀速航行，在 M处观测到灯塔 P在西偏南 68方向上，航行 2 小时后到达 N 处，观测灯塔 P 在西偏南 46方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为 (由科学计算器得到 sin68 =0.9272，sin46 =0.7193， sin22 =0.3746， sin44 =0.6947)( ) A.22.48 B.41.68 C.43.16 D.55.63 解析：如图，过点 P作 PA MN于点 A， MN=30
13、 2=60(海里 )， MNC=90， CPN=46， MNP= MNC+ CPN=136， BMP=68， PMN=90 - BMP=22， MPN=180 - PMN- PNM=22， PMN= MPN， MN=PN=60(海里 )， CNP=46， PNA=44， PA=PN sin PNA=60 0.6947 41.68(海里 ) 答案： B. 17.如图， ABC内接于 O， AB是 O的直径， B=30， CE平分 ACB交 O于 E，交 AB于点 D，连接 AE，则 S ADE： S CDB的值等于 ( ) A.1： 2 B.1： 3 C.1： 2 D.2： 3 解析： AB 是
14、 O的直径， ACB=90， B=30， 33ACBC， CE平分 ACB交 O 于 E， 33A C A DB C B D ， 333A D A B ， 33 3BD A ， 过 C作 CE AB于 E，连接 OE， CE平分 ACB交 O 于 E， AE DE ， OE AB， OE=12AB， CE= 34AB， 1 1 1 3 1 1 3 3( ) ( )22 23332 2 2 433A D E C D BS S A D O E B D C E A B A B A B A B ： ： ： ：. 答案： D. 18.如图，在 PAB 中， PA=PB， M， N， K 分别是 PA，
15、PB， AB 上的点，且 AM=BK， BN=AK，若 MKN=44，则 P的度数为 ( ) A.44 B.66 C.88 D.92 解析 ： PA=PB， A= B， 在 AMK和 BKN中， AM BKABAK BN， AMK BKN， AMK= BKN， MKB= MKN+ NKB= A+ AMK， A= MKN=44， P=180 - A- B=92 . 答案 ： D. 19.当 1 x 4时， mx-4 0，则 m的取值范围是 ( ) A.m 1 B.m 1 C.m 4 D.m 4 解析：设 y=mx-4， 由题意得，当 x=1时， y 0，即 m-4 0， 解得 m 4， 当 x=
16、4时， y 0，即 4m-4 0， 解得， m 1， 则 m的取值范围是 m 1. 答案： B. 20.如图，正 ABC的边长为 4，点 P为 BC边上的任意一点 (不与点 B、 C重合 )，且 APD=60，PD交 AB 于点 D.设 BP=x， BD=y，则 y关于 x的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析： ABC是正三角形， B= C=60， BPD+ APD= C+ CAP， APD=60， BPD= CAP， BPD CAP， BP： AC=BD： PC， 正 ABC的边长为 4， BP=x， BD=y， x： 4=y： (4-x)， 214y x x . 图像为
17、. 答案： C. 二、填空题 (本大题共 4小题，满分 12 分 .只要求填写最后结果，每小题填对得 3分 ) 21.将抛物线 y=2(x-1)2+2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，那么得到的抛物线的表达式为 . 解析：抛物线 y=2(x-1)2+2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位得到y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.故得到抛物线的解析式为 y=2(x+2)2-2. 答案： y=2(x+2)2-2. 22.如图，半径为 3的 O与 Rt AOB的斜边 AB切于点 D，交 OB于点 C，连接 CD交直线 OA于点 E，若 B=30，则线段 AE 的
18、长为 . 解析：连接 OD，如右图所示， 由已知可得， BOA=90， OD=OC=3， B=30， ODB=90， BO=2OD=6， BOD=60， ODC= OCD=60， AO=BO tan30 36233 ， COE=90， OC=3， OE=OC tan60 3333 ， AE=OE-OA 33 332 . 答案： 3 . 23.如图，矩形 ABCD中，已知 AB=6， BC=8， BD 的垂直平分线交 AD于点 E，交 BC于点 F，则 BOF的面积为 . 解析：根据矩形的性质和勾股定理求出 BD，证明 BOF BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出 BF，根据勾股定理求出
19、 OF，根据三角形的面积公式计算即可 . 四边形 ABCD是矩形， A=90，又 AB=6， AD=BC=8， 22 10B D A B A D ， EF是 BD的垂直平分线， OB=OD=5， BOF=90，又 C=90， BOF BCD， BO BFBC BD，即 58 10BF， 解得， 254BF， 则 22 154O F B F O B ， 则 BOF的面积812 75O F O B . 答案： 758. 24.如图，在平面直角坐标系中，直线 l： y=x+2交 x轴于点 A，交 y轴于点 A1，点 A2， A3，在直线 l 上，点 B1， B2， B3，在 x 轴的正半轴上，若 A
20、1OB1， A2B1B2， A3B2B3，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在 x 轴上，则第 n 个等腰直角三角形 AnBn-1Bn顶点 Bn的横坐标为 . 解析：由题意得 OA=OA1=2， OB1=OA1=2， B1B2=B1A2=4， B2A3=B2B3=8， B1(2， 0)， B2(6， 0)， B3(14， 0)， 2=22-2， 6=23-2， 14=24-2， Bn的横坐标为 2n+1-2. 答案： 2n+1-2. 三、解答题 (共 5小题，满分 48分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤 ) 25.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O与坐标原点
21、重合，点 C 的坐标为 (0，3)，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 D、 M 分别在边 AB、 OA 上，且 AD=2DB， AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点 D和 M，反比例函数 myx的图象经过点 D，与 BC 的交点为 N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式 . 解析： (1)由正方形 OABC 的顶点 C 坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据 AD=2DB，求出 AD的长，确定出 D坐标，代入反比例解析式求出 m的值，再由 AM=2MO，确定出 MO的长，即 M坐标，将 M与 D坐标代入一次函数解析式求出 k与 b的值，即可确定出一次函数解析式 . 答案： (1)正
22、方形 OABC的顶点 C(0， 3)， OA=AB=BC=OC=3， OAB= B= BCO=90， AD=2DB， AD=23AB=2， D(-3， 2)， 把 D坐标代入 myx得： m=-6， 反比例解析式为 6yx， AM=2MO， MO=13OA=1，即 M(-1， 0)， 把 M与 D坐标代入 y=kx+b中得： 032kbkb， 解得： k=b=-1， 则直线 DM解析式为 y=-x-1. (2)若点 P在直线 DM上，且使 OPM的面积与四边形 OMNC的面积相等，求点 P的坐标 . 解析： (2)把 y=3代入反比例解析式求出 x的值，确定出 N坐标，得到 NC 的长，设 P
23、(x， y)，根据 OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等，求出 y 的值，进而得到 x 的值，确定出 P 坐标即可 . 答案： (2)把 y=3代入 6yx得： x=-2， N(-2， 3)，即 NC=2， 设 P(x， y)， OPM的面积与四边形 OMNC的面积相等， 12(OM+NC) OC=12OM|y|，即 |y|=9， 解得： y= 9， 当 y=9时， x=-10，当 y=-9时， x=8， 则 P坐标为 (-10， 9)或 (8， -9). 26.某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍
24、必须要买 10 个乒乓球，乒乓球的单价为 2元 /个，若购买 20副直拍球拍和 15副横拍球拍花费 9000元；购买 10副横拍球拍比购买 5副直拍球拍多花费 1600元 . (1)求两种球拍每副各多少元？ 解析： (1)设直拍球拍每副 x 元，横拍球每副 y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可 . 答案： (1)设直拍球拍每副 x元，横拍球每副 y元，由题意得， 2 0 2 0 1 5 2 0 9 0 0 05 2 0 1 6 0 0 1 0 2 0xy ， 解得 220260xy， 答：直拍球拍每副 220 元，横拍球每副 260元 . (2)若学校购买两种球拍共 40副，且直拍球
25、拍的数量不多于横拍球拍数量的 3 倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用 . 解析： (2)设购买直拍球拍 m 副，根据题意列出不等式，解不等式求出 m 的范围，根据题意列出费用关于 m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可 . 答案： (2)设购买直拍球拍 m副，则购买横拍球 (40-m)副， 由题意得， m 3(40-m)， 解得， m 30， 设买 40 副球拍所需的费用为 w， 则 w=(220+20)m+(260+20)(40-m) =-40m+11200， -40 0， w随 m的增大而减小， 当 m=30时， w取最大值，最大值为 -40 30+11200=1000
26、0(元 ). 答：购买直拍球拍 30 副，则购买横拍球 10副时，费用最少 . 27.如图，在四边形 ABCD中， AC 平分 BCD， AC AB， E是 BC的中点， AD AE. (1)求证： AC2=CD BC. 解析： (1)欲证明 AC2=CD BC，只需推知 ACD BCA 即可 . 答案： (1) AC平分 BCD， DCA= ACB. 又 AC AB， AD AE， DAC+ CAE=90， CAE+ EAB=90， DAC= EAB. 又 E是 BC 的中点， AE=BE， EAB= ABC， DAC= ABC， ACD BCA， AC CDBC AC， AC2=CD BC
27、. (2)过 E作 EG AB，并延长 EG至点 K，使 EK=EB. 若点 H是点 D关于 AC的对称点，点 F为 AC的中点，求证： FH GH； 若 B=30，求证：四边形 AKEC是菱形 . 解析： (2)连接 AH.构建直角 AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到： FHG= CAB=90，即 FH GH； 利用“在直角三角形中， 30 度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”推知四边形 AKEC的四条边都相等，则四边形 AKEC是菱形 . 答案： (2)连接 AH. ADC= BAC=90，点 H、 D关于
28、AC 对称， AH BC. EG AB， AE=BE， 点 G是 AB 的中点， HG=AG， GAH=GHA. 点 F为 AC 的中点， AF=FH， HAF= FHA， FHG= AHF+ AHG= FAH+ HAG= CAB=90， FH GH； EK AB， AC AB， EK AC， 又 B=30， AC=12BC=EB=EC. 又 EK=EB， EK=AC， 即 AK=KE=EC=CA， 四边形 AKEC是菱形 . 28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点坐标为 (2， 9)，与 y轴交于点 A(0，5)，与 x轴交于点 E、 B. (1)求二次函数 y=
29、ax2+bx+c 的表达式 . 解析： (1)设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可 . 答案： (1)设抛物线解析式为 y=a(x-2)2+9， 抛物线与 y轴交于点 A(0， 5)， 4a+9=5， a=-1， y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5. (2)过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点 (点 P 在 AC 上方 )，作 PD 平行与 y 轴交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积 . 解析： (2)先求出直线 AB 解析式，设出点 P 坐标 (x， -x2+4x+5)，建立函数关系式 S
30、四边形APCD=-2x2+10x，根据二次函数求出极值 . 答案： (2)当 y=0时， -x2+4x+5=0， x1=-1， x2=5， E(-1， 0)， B(5， 0)， 设直线 AB的解析式为 y=mx+n， A(0， 5)， B(5， 0)， m=-1， n=5， 直线 AB的解析式为 y=-x+5； 设 P(x， -x2+4x+5)， D(x， -x+5)， PD=-x2+4x+5+x-5=-x2+5x， AC=4， S 四边形 APCD=12 AC PD=2(-x2+5x)=-2x2+10x， 当 1 0 52 2 2x 时， S 四边形 APCD最大 252. (3)若点 M在
31、抛物线上，点 N在其对称轴上，使得以 A、 E、 N、 M为顶点的四边形是平行四边形，且 AE为其一边，求点 M、 N的坐标 . 解析： (3)先判断出 HMN AOE，求出 M点的横坐标，从而求出点 M， N的坐标 . 答案： (3)如图， 过 M作 MH垂直于对称轴，垂足为 H， MN AE， MN=AE， HMN AOE， HM=OE=1， M点的横坐标为 x=3 或 x=1， 当 x=1时， M点纵坐标为 8， 当 x=3时， M点纵坐标为 8， M点的坐标为 M1(1， 8)或 M2(3， 8)， A(0， 5)， E(-1， 0)， 直线 AE解析式为 y=5x+5， MN AE，
32、 MN的解析式为 y=5x+b， 点 N在抛物线对称轴 x=2 上， N(2， 10+b)， AE2=OA2+0E2=26 MN=AE MN2=AE2， MN2=(2-1)2+8-(10+b)2=1+(b+2)2 M点的坐标为 M1(1， 8)或 M2(3， 8)， 点 M1， M2关于抛物线对称轴 x=2对称， 点 N在抛物线对称轴上， M1N=M2N， 1+(b+2)2=26， b=3，或 b=-7， 10+b=13或 10+b=3 当 M点的坐标为 (1， 8)时， N点坐标为 (2， 13)， 当 M点的坐标为 (3， 8)时， N点坐标为 (2， 3). 29.(1)已知： ABC
33、是等腰三角形，其底边是 BC，点 D 在线段 AB 上， E 是直线 BC 上一点，且 DEC= DCE，若 A=60 (如图 ).求证： EB=AD. 解析： (1)作 DF BC 交 AC 于 F，由平行线的性质得出 ADF= ABC， AFD= ACB， FDC= DCE，证明 ABC 是等边三角形，得出 ABC= ACB=60，证出 ADF 是等边三角形，DFC=120，得出 AD=DF，由已知条 件得出 FDC= DEC， ED=CD，由 AAS证明 DBE CFD，得出 EB=DF，即可得出结论 . 答案： (1)作 DF BC交 AC于 F，如图 1所示： 则 ADF= ABC，
34、 AFD= ACB， FDC= DCE， ABC是等腰三角形， A=60， ABC是等边三角形， ABC= ACB=60， DBE=120， ADF= AFD=60 = A， ADF是等边三角形， DFC=120， AD=DF， DEC= DCE， FDC= DEC， ED=CD， 在 DBE和 CFD中， 120D E C F D CD B E D F CE D C D ， DBE CFD(AAS)， EB=DF， EB=AD. (2)若将 (1)中的“点 D 在线段 AB 上”改为“点 D在线段 AB 的延长线上”，其它条件不变 (如图 )， (1)的结论是否成立，并说明理由 . 解析：
35、(2)作 DF BC 交 AC 的延长线于 F，同 (1)证出 DBE CFD，得出 EB=DF，即可得出结论 . 答案： (2)EB=AD成立；理由如下： 作 DF BC交 AC的延长线于 F，如图 2所示： 同 (1)得： AD=DF， FDC= ECD， FDC= DEC， ED=CD， 又 DBE= DFC=60， 在 DBE和 CFD中， D E C F D CD B E D F CE D C D， DBE CFD(AAS)， EB=DF， EB=AD. (3)若将 (1)中的“若 A=60”改为“若 A=90”，其它条件不变，则 EBAD的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程 ) 解析： (3)作 DF BC 交 AC 于 F，同 (1)得： DBE CFD，得出 EB=DF，证出 ADF 是等腰直角三角形，得出 DF= 2 AD，即可得出结果 . 答案： (3) 2EBAD；理由如下： 作 DF BC交 AC于 F，如图 3所示： 同 (1)得： DBE CFD(AAS)， EB=DF， ABC是等腰直角三角形， DF BC， ADF是等腰直角三角形， DF= 2 AD， 2DFAD， 2EBAD.
