1、2016年山东省济南市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 15个小题，每小题 3分，共 45分 ) 1. 5的相反数是 ( ) A.15B.5 C. 15D.-5 解 析 ：根据相反数的定义有： 5的相反数是 -5. 答案 ： D. 2.随着高铁的发展，预计 2020年济南西客站客流量将达到 2150万人，数字 2150 用科学记数法表示为 ( ) A.0.215 104 B.2.15 103 C.2.15 104 D.21.5 102a 解 析 ： 2150=2.15 103， 答案 ： B. 3.如图，直线 l1 l2，等腰直角 ABC的两个顶点 A、 B分别落在直线 l1、 l2上，
2、ACB=90 ，若 1=15 ，则 2的度数是 ( ) A.35 B.30 C.25 D.20 解 析 ： ABC是等腰直角三角形， CAB=45 ， l1 l2， 2= 3， 1=15 ， 1=45 -15=30 ， 答案 ： B. 4.如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是三角形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、三棱锥的主视图是三角形，俯视图也是三角形，故此选项错误； B、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误； C、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，故此选项错误； D、三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项正确； 答案 ： D. 5.下列运算
3、正确的是 ( ) A.a2+a=2a3 B.a2 a3=a6 C.(-2a3)2=4a6 D.a6 a2=a3 解 析 ： A、 a2与 a不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、原式 =a2+3=a5，故本选项错误； C、原式 =(-2)2 a3 2=4a6，故本选项正确； D、原式 =a6-2=a4，故本选项错误； 答案 ： C. 6.京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美对称美，下面选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A是轴对称图形，故错误； B既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故错误； C是中心对称图形，故错误； D既是轴对称图形又
4、是中心对称图形，故正确； 答案 ： D. 7.化简22111xx的结果是 ( ) A. 21xB.2xC. 21xD.2(x+1) 解 析 ：原式 = 2211 1 1xx x x （ ）， 答案： A 8.如图，在 6 6方格中有两个涂有阴影的图形 M、 N， 中的图形 M平移后位置如 所示，以下对图形 M的平移方法叙述正确的是 ( ) A.向右平移 2个单位，向下平移 3个单位 B.向右平移 1个单位，向下平移 3个单位 C.向右平移 1个单位，向下平移 4个单位 D.向右平移 2个单位，向下平移 4个单位 解 析 ：根据图形 M平移前后对应点的位置变化可知，需要向右平移 1个单位，向下平
5、移 3个单位 . 答案： B 9.如图，若一次函数 y=-2x+b 的图象交 y轴于点 A(0， 3)，则不等式 -2x+b 0的解集为 ( ) A.x 32B.x 3 C.x 32D.x 3 解 析 ： 一次函数 y=-2x+b的图象交 y轴于点 A(0， 3)， b=3， 令 y=-2x+3中 y=0，则 -2x+3=0，解得： x=32， 点 B(32， 0). 观察函数图象，发现： 当 x 32时，一次函数图象在 x轴上方， 不等式 -2x+b 0的解集为 x 32. 答案： C. 10.某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课
6、程，则小波和小睿选到同一课程的概率是 ( ) A.12B.13C.16D.19解 析 ：画树状图为： (数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用 A、 B、 C表示 ) 共有 9种等可能的结果数，其中小波和小睿选到同一课程的结果数为 3， 所以小波和小睿选到同一课程的概率 =3193. 答案： B. 11.若关于 x的一元二次方程 x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 ( ) A.k 1 B.k 1 C.k -1 D.k 1 解 析 ： 关于 x的一元二次方程 x2-2x+k=0有两个不相等的实数根， (-2)2-4 1 k 0， 4-4k 0， 解得 k 1， k的取值
7、范围是： k 1. 答案 ： A. 12.济南大明湖畔的 “ 超然楼 ” 被称作 “ 江北第一楼 ” ，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在 A处仰望塔顶，测得仰角为 30 ，再往楼的方向前进 60m至 B处，测得仰角为 60 ，若学生的身高忽略不计， 3 1.7，结果精确到 1m，则该楼的高度CD为 ( ) A.47m B.51m C.53m D.54m 解 析 ：根据题意得： A=30 ， DBC=60 ， DC AC， ADB= DBC- A=30 ， ADB= A=30 ， BD=AB=60m， CD=BD sin60=60 32=30 3 51(m). 答案： B
8、. 13.如图，在 ABCD中， AB=12， AD=8， ABC的平分线交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 E，CG BE，垂足为 G，若 EF=2，则线段 CG的长为 ( ) A.152B.4 3 C.2 15 D. 55 解 析 ： ABC的平分线交 CD于点 F， ABE= CBE， 四边形 ABCD是平行四边形， DC AB， CBE= CFB= ABE= E， CF=BC=AD=8， AE=AB=12， AD=8， DE=4， DC AB， DE EFAE EB， 4212 EB， EB=6， CF=CB， CG BF， BG=12BF=3， 在 Rt BCG中， BC=8
9、， BG=3， 根据勾股定理得， 2 2 2 28 3 6 4 9 5 5C G B C B G ， 答案： D. 14.定义：点 A(x， y)为平面直角坐标系内的点，若满足 x=y，则把点 A叫做 “ 平衡点 ” .例如： M(1， 1)， N(-2， -2)都是 “ 平衡点 ” .当 -1 x 3时，直线 y=2x+m上有 “ 平衡点 ” ，则 m的取值范围是 ( ) A.0 m 1 B.-3 m 1 C.-3 m 3 D.-1 m 0 解 析 ： x=y， x=2x+m，即 x=-m. -1 x 3， -1 -m 3， -3 m 1. 答案： B. 15.如图，在四边形 ABCD中，
10、AB CD， B=90 ， AB=AD=5， BC=4， M、 N、 E分别是 AB、 AD、CB上的点， AM=CE=1， AN=3，点 P从点 M出发，以每秒 1个单位长度的速度沿折线 MB-BE向点 E运动，同时点 Q从点 N出发，以相同的速度沿折线 ND-DC-CE向点 E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动 .设 APQ的面积为 S，运动时间为 t秒，则 S与 t函数关系的大致图象为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： AD=5， AN=3， DN=2， 如图 1，过点 D作 DF AB， DF=BC=4， 在 RT ADF中， AD=5， DF=4，根据勾股定理得，
11、 22 3A F A D D F ， BF=CD=2，当点 Q到点 D时用了 2s， 点 P也运动 2s， AP=3，即 QP AB， 只分三种情况： 当 0 t 2时，如图 1， 过 Q作 QG AB，过点 D作 DF AB， QG DF， AQ QGAD DF， 由题意得， NQ=t， MP=t， AM=1， AN=3， AQ=t+3， 354t QG ， QG=45(t+3)， AP=t+1， 21 1 4 2 21 3 22 2 5 5 5APQS S A P Q G t t t （ ） （ ） （ ） ， 当 t=2时， S=6， 当 2 t 4时，如图 2， AP=AM+t=1+t
12、， S=S APQ=12AP BC=12(1+t) 4=2(t+1)=2t+2， 当 t=4时， S=8， 当 4 t 5时，如图 3， 由题意得 CQ=t-4， PB=t+AM-AB=t+1-5=t-4， PQ=BC-CQ-PB=4-(t-4)-(t-4)=12-2t， S=S APQ=12PQ AB=12 (12-2t) 5=-5t+50， 当 t=5时， S=5， S与 t的函数关系式分别是 S=S APQ=25(t+2)2-25，当 t=2时， S=6， S=S APQ=2t+2，当t=4时， S=8， S=S APQ=-5t+50，当 t=5时， S=5， 综合以上三种情况， D 正
13、确 答案： D. 二、填空题 (本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18分 ) 16.计算： 122 ( 2) = . 解 析 ：原式 =12+2 =52. 答案 ： 52. 17.分解因式： a2-4b2= . 解 析 ： a2-4b2=(a+2b)(a-2b). 答案： (a+2b)(a-2b) 18.某学习小组在 “ 世界读书日 ” 这次统计了本组 5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是 18， x， 15， 16， 13，若这组数据的平均数为 16，则这组数据的中位数是 . 解 析 ： 18， x， 15， 16， 13这组数据的平均数为 16， (18+x+15+16+13)
14、5=16， 解得 x=18， 这组数据按从小到大的顺序排列为： 13， 15， 16， 18， 18， 这组数据的中位数是 16. 答案 ： 16 19.若代数式 62x与 4x的值相等，则 x= . 解 析 ：根据题意得： 642xx， 去分母得： 6x=4(x+2)， 移项合并同类项得： 2x=8， 解得： x=4. 答案 ： 4. 20.如图，半径为 2的 O在第一象限与直线 y=x交于点 A，反比例函数 kyx(k 0)的图象过点 A，则 k= . 解 析 ： 半径为 2的 O在第一象限与直线 y=x交于点 A， OA=2， 点 A的坐标为 ( 2, 2 )， 把点 A代入反比例函数
15、kyx(k 0)得： k= 22 =2， 答案 ： 2. 21.如图 1，在矩形纸片 ABCD中， AB=8 3 ， AD=10，点 E是 CD 中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点 A与点 E重合，如图 2，折痕为 MN，连接 ME/NE；第二次折叠纸片使点 N与点 E重合，如图 3，点 B落到 B 处，折痕为 HG，连接 HE，则 tan EHG= . 解 析 ：如图 2中，作 NF CD于 F.设 DM=x，则 AM=EM=10-x， DE=EC， AB=CD=8 3 ， DE=12CD=4 3 ， 在 RT DEM中， DM2+DE2=EM2， (4 3 )2+x2=(10
16、-x)2， 解得 x=2.6， DM=2.6， AM=EM=7.4， DEN+ NEF=90 ， NEF+ ENF=90 ， DEM= ENF， D= EFN=90 ， DME FEN， DE EMFN EN， 4 3 7.410 EN， 37 36EN， 37 36A N E N， 5 36ANta n A M N AM ， 如图 3中， ME EN， HG EN， EM GH， NME= NHK， NME= AMN， EHG= NHK， AMN= EHG， tan EHG=tan AMN=5 36. 答案： 5 36. 三、解答题 (本大题共 7个小题，共 57分 ) 22.(1)先化简再
17、求值： a(1-4a)+(2a+1)(2a-1)，其中 a=4. (2)解不等式组： 2 1 73 2 1xxx ， ， . 解析： (1)先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可； (2)先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可 . 答案 ： (1)a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) =a-4a2+4a2-1 =a-1， 当 a=4时，原式 =4-1=3； (2) 2 1 73 2 1xxx ， ， 解不等式 得： x 3， 解不等式 得： x -2， 不等式组的解集为 -2 x 3. 23.(1)如图 1，在菱形 ABCD中， CE=CF，求证： AE
18、=AF. (2)如图 2， AB是 O的直径， PA与 O相切于点 A， OP与 O相交于点 C，连接 CB， OPA=40 ，求 ABC的度数 . 解析： (1)根据菱形的性质，利用 SAS判定 ABE ADF，从而求得 AE=AF； (2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角 PAO的度数，然后利用圆周角定理来求 ABC的度数 . 答案 ： (1) 四边形 ABCD是菱形， AB=BC=CD=AD， B= D CE=CF， BE=DF 在 ABE与 ADF中， AB ADBDBE DF ， ABE ADF. AE=AF； (2) AB 是 O的直径，直线 PA与 O相切
19、于点 A， PAO=90 . 又 OPA=40 ， POA=50 ， ABC=12 POA=25 . 24.学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共 40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共 42元，还了解到如下信息： (1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ (2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？ 解析： (1)设他当天采摘黄瓜 x千克，茄子 y千克，根据采摘了黄瓜和茄子共 40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共 42元，列出方程，求出 x 的值，即可求出答案； (2)根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数 . 答案 ： (1)设采摘黄瓜
20、x千克，茄子 y千克 .根据题意，得 401 .2 4 2xy， 解得 3010xy. 答：采摘的黄瓜和茄子各 30千克、 10 千克； (2)30 (1.5-1)+10 (2-1.2)=23(元 ). 答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚 23元 . 25.随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多，教师为了指导学生有效利用网络进行学习，对学生进行了随机问卷调查 (问卷调查表如图所示 )，并用调查结果绘制了图 1、图2两幅统计图 (均不完整 )，请根据统计图解答以下问题： (1)本次接受问卷调查的学生共有 人，在扇形统计图中 “D“ 选项所占的百分比为 ； (2)扇形统计图中， “B” 选项所对应
21、扇形圆心角为 度； (3)请补全条形统计图； (4)若该校共有 1200名学生，请您估计该校学生课外利用网络学习的时间在 “A” 选项的有多少人？ 解析： 由条形统计图与扇形统计图获得的数据： (1)因为图 (1)、图 (2)中已知 C选项的百分比与人数，由 C选项的百分比 = 100%C 选 项 的 人 数接 受 调 查 的 学 生 的 总 人 数求解 (2)先求出 B选项的百分比，再利用扇形统计图的圆心角的度数 =360 B选项的百分比求解 (3)由 (1)所得总人数求出 B选项的人数即可作图 (4)先求出 A选项的百分比即可求得 答案 ： (1)因为，图 (1)、图 (2)中已知 C选项
22、的百分比是 50%，人数是 50， 所以，本次接受问卷调查的学生 =50 50%=100(人 ) 又， D选项的人数 10 所以， D选项的百分比 = 10 100%100=10% 故答案为 100， 10%， (2)因为， B选项的人数为 20， 所以， B选项的百分比 =20 100=20%， 故， B选项所对应扇形圆心角 =360 20%=72 . 故答案为 72 (3)因为， A选项的人数 =100-20-50-10=20(人 )，则，条形统计图补全如下图所示： (4)因为， A选项所占的百分比为 20%， 所以， 1200 20%=240(人 ) 即，课外利用网络学习的时间在 “A”
23、 选项的有 240人 26.如图 1， OABC的边 OC在 x轴的正半轴上， OC=5，反比例函数 myx(x 0)的图象经过点 A(1， 4). (1)求反比例函数的关系式和点 B的坐标； (2)如图 2，过 BC 的中点 D作 DP x轴交反比例函数图象于点 P，连接 AP、 OP. 求 AOP的面积； 在 OABC的边上是否存在点 M，使得 POM是以 PO 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)由点 A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点 A、 O、 C的坐标即可求
24、出点 B的坐标； (2) 延长 DP交 OA于点 E，由点 D为线段 BC的中点，可求出点 D的坐标，再令反比例函数关系式中 y=2求出 x值即可得出点 P的坐标，由此即可得出 PD、 EP 的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论； 假设存在，以 OP为直径作圆，交 OC 于点 M1，交 OA 于点 M2，通过解直角三角形和勾股定理求出点 M1、 M2的坐标，此题得解 . 答案 ： (1) 反比例函数 myx(x 0)的图象经过点 A(1， 4)， m=1 4=4， 反比例函数的关系式为 4yx(x 0). 四边形 OABC为平行四边形，且点 O(0， 0)， OC=5，点 A(1， 4)，
25、 点 C(5， 0)，点 B(6， 4). (2) 延长 DP交 OA于点 E，如图 3所示 . 点 D为线段 BC 的中点，点 C(5， 0)、 B(6， 4)， 点 D(112， 2). 令 4yx中 y=2，则 x=2， 点 P(2， 2)， 1 1 7 322 2 2P D E P E D P D ， 1 1 3 4 0 32 2 2A O P A OS E P y y （ ） （ ）. 假设存在 .以 OP为直径作圆，交 OC 于点 M1，交 OA 于点 M2，连接 PM1、 PM2，如图 4所示 . 点 P(2， 2)， O(0， 0)， 点 M1(2， 0)； 点 A(1， 4)
26、，点 O(0， 0)， 直线 OA的关系式为 y=4x. 设点 M2(n， 4n)， 2221 7 2 2 1 7 2 0 8O M n O P P M n n ， ， OM2P=90 ， 2 2 222O M P M O P，即 221 7 1 7 2 0 8 8n n n ， 解得： n=1017，或 n=0(舍去 )， 点 M2(10 40,17 17). 故在 OABC的边上存在点 M，使得 POM是以 PO为斜边的直角三角形，点 M的坐标为 (2， 0)或 (10 40,17 17). 27.在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系
27、进行了探究 . (一 )尝试探究 如图 1，在四边形 ABCD中， AB=AD， BAD=60 ， ABC= ADC=90 ，点 E、 F分别在线段BC、 CD 上， EAF=30 ，连接 EF. (1)如图 2，将 ABE绕点 A逆时针旋转 60 后得到 ABE (AB 与 AD 重合 )，请直接写出 EAF= 度，线段 BE、 EF、 FD 之间的数量关系为 . (2)如图 3，当但点 E、 F分别在线段 BC、 CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 BE、EF、 FD 之间的数量关系，并说明理由 . (二 )拓展延伸 如图 4，在等边 ABC中， E、 F是边 BC上的两点， EA
28、F=30 ， BE=1，将 ABE绕点 A逆时针旋转 60 得到 ABE (AB 与 AC 重合 )，连接 EE ， AF与 EE 交于点 N，过点 A作 AM BC于点 M，连接 MN，求线段 MN 的长度 . 解析： (一 )(1)根据图形旋转前后对应边相等，对应角相等，判定 AEF AEF ，进而根据线段的和差关系得出结论； (2)先在 BE上截取 BG=DF，连接 AG，构造 ABG ADF，进而利用全等三角形的对应边相等，对应角相等，判定 GAE FAE，最后根据线段的和差关系得出结论； (二 )先根据旋转的性质判定 AEE 是等边三角形，进而利用等边 ABC、等边 AEE 的三线合
29、一的性质，得到 AN AMAE AB和 BAE= MAN，最后判定 BAE MAN，并根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求得 MN 的长 . 答案 ： (一 )(1)如图 2，将 ABE绕点 A逆时针旋转 60 后得到 ABE ，则 1= 2， BE=DE ， AE=AE ， BAD=60 ， EAF=30 ， 1+ 3=30 ， 2+ 3=30 ，即 FAE=30 EAF= FAE ， 在 AEF和 AEF 中， A E A EE A F F A EA F A F ， AEF AEF (SAS)， EF=EF ，即 EF=DF+DE ， EF=DF+BE，即线段 BE、 EF、 FD 之
30、间的数量关系为 BE+DF=EF， 故答案为： 30， BE+DF=EF； (2)如图 3，在 BE 上截取 BG=DF，连接 AG， 在 ABG和 ADF中， A B A DA B E A D FB G D F， ABG ADF(SAS)， BAG= DAF，且 AG=AF， DAF+ DAE=30 ， BAG+ DAE=30 ， BAD=60 ， GAE=60 -30=30 ， GAE= FAE， 在 GAE和 FAE中， A G A FG A E F A EA E A E， GAE FAE(SAS)， GE=FE， 又 BE-BG=GE， BG=DF， BE-DF=EF， 即线段 BE、
31、 EF、 FD之间的数量关系为 BE-DF=EF； (二 )如图 4，将 ABE 绕点 A逆时针旋转 60 得到 ABE ，则 AE=AE ， EAE=60 ， AEE 是等边三角形， 又 EAF=30 ， AN平分 EAF， AN EE ， 直角三角形 ANE中， 32ANAE， 在等边 ABC中， AM BC， BAM=30 ， 32AMAB，且 BAE+ EAM=30 ， AN AMAE AB， 又 MAN+ EAM=30 ， BAE= MAN， BAE MAN， MN AMBE AB，即 321MN， 32MN. 28.如图 1，抛物线 y=ax2+(a+3)x+3(a 0)与 x轴交
32、于点 A(4， 0)，与 y轴交于点 B，在 x轴上有一动点 E(m， 0)(0 m 4)，过点 E作 x轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P作 PM AB 于点 M. (1)求 a的值和直线 AB 的函数表达式； (2)设 PMN的周长为 C1， AEN的周长为 C2，若1265CC ，求 m的值； (3)如图 2，在 (2)条件下，将线段 OE绕点 O逆时针旋转得到 OE ，旋转角为 (0 90 )，连接 EA 、 EB ，求 EA +23EB 的最小值 . 解析： (1)令 y=0，求出抛物线与 x轴交点，列出方程即可求出 a，根据待定系数法可以确定直线 AB 解析
33、式 . (2)由 PNM ANE，推出 65PNAN，列出方程即可解决问题 . (3)在 y轴上 取一点 M 使得 OM=43，构造相似三角形，可以证明 AM就是 EA +23EB 的最小值 . 答案 ： (1)令 y=0，则 ax2+(a+3)x+3=0， (x+1)(ax+3)=0， x=-1或 3a， 抛物线 y=ax2+(a+3)x+3(a 0)与 x轴交于点 A(4， 0)， 3a=4， a= 34. A(4， 0)， B(0， 3)， 设直线 AB解析式为 y=kx+b，则 340bkb， 解得 343kb ， 直线 AB解析式为 y= 34x+3. (2)如图 1中， PM AB
34、， PE OA， PMN= AEN， PNM= ANE， PNM ANE， 65PNAN， NE OB， AN AEAB OA， AN=54(4-m)， 抛物线解析式为 239 344y x x ， 223 9 3 33 3 34 4 4 4P N m m m m m （ ）， 23 3645 544mmm， 解得 m=2. (3)如图 2中，在 y轴上 取一点 M使得 OM=43， OE=2 ， OM OB=43 3=4， OE 2=OM OB， OE OBOM OE ， BOE= MOE ， MOE EOB ， 23M E O EB E O B， ME= 23BE ， AE +23BE=AE +EM=AM ， 此时 AE +23BE 最小，最小值 =AM= 22 444 1 033AM .
