1、 2016 年山东省济宁市汶上二中中考 一模 数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分 ) 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 解析：是轴对称图形，也是中心对称图形； 是轴对称图形，不是中心对称图形； 是轴对称图形，也是中心对称图形； 是轴对称图形，也是中心对称图形 . 答案： B. 2.如图，已知 1= 2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABC ADE 的是 ( ) A. ACABAD AEB. BCABAD DEC. B= D D. C= AED 解析： 1= 2 DAE= BAC A，
2、 C， D 都可判定 ABC ADE 选项 B 中不是夹这两个角的边，所以不相似， 答案： B. 3.过 O 内一点 M 的最长弦长为 10cm，最短弦长为 8cm，那么 OM 的长为 ( ) A.3cm B.6cm C. 41 Cm D.9cm 解析：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦， 如图所示 .直径 ED AB 于点 M， 则 ED=10cm， AB=8cm， 由垂径定理知：点 M 为 AB 中点， AM=4cm， 半径 OA=5cm， OM2=OA2-AM2=25-16=9， OM=3cm. 答案： A. 4. 一元二次方程 ax2+bx+c=0，若 4a-2b+c=
3、0，则它的一个根是 ( ) A.-2 B. 12C.-4 D.2 解析：将 x=-2 代入 ax2+bx+c=0 的左边得： a (-2)2+b (-2)+c=4a-2b+c， 4a-2b+c=0， x=-2 是方程 ax2+bx+c=0 的根 . 答案： A. 5. 如图，等腰梯形 ABCD 中， AD BC，以 A 为圆心， AD 为半径的圆与 BC 切于点 M，与 AB交于点 E，若 AD=2， BC=6，则 长为 ( ) A.32B.34C.38D.3 解析：连接 AM，因为 M 是切点，所以 AM BC，过点 D 作 DN BC 于 N， 根据等腰梯形的性质容易求得 BM=AM=2，
4、所以 B=45，所以 EAD=135，根据弧长公式 的长为 1 3 5 2 31 8 0 2 ， 答案： A. 6. 函数 y=ax+1 与 y=ax2+bx+1(a 0)的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析：当 a 0 时，函数 y=ax2+bx+1(a 0)的图象开口向上，函数 y=ax+1 的图象应在一、二、三象限，故可排除 D； 当 a 0 时，函数 y=ax2+bx+1(a 0)的图象开口向下，函数 y=ax+1 的图象应在一二四象限，故可排除 B； 当 x=0 时，两个函数的值都为 1，故两函数图象应相交于 (0， 1)，可排除 A. 正确的只有 C. 答案： C.
5、7. 圆内接四边形 ABCD 中， A， B， C 的度数的比为 2： 3： 6， D 的度数为 ( ) A.45 B.67.5 C.135 D.112.5 解析：圆内接四边形 ABCD 中， A， B， C 的度数的比为 2： 3： 6， 设 A=2x，则 B=3x， C=6x， A+ C=180，即 2x+6x=180，解得 x=22.5， B=3x=3 22.5 =67.5， D=180 -67.5 =112.5 . 答案： D. 8. 如图是一枚六面体骰子的展开图，则掷一枚这样的骰子，朝上一面的数字是朝下一面的数字的 3 倍的概率是 ( ) A.12B.13C.14D.16解析：抛掷这
6、个立方 体，共 6 种情况，其中 2， 6； 1， 3； 4， 5 是相对的面， 6 朝上， 3 朝上共 2 种情况，可使朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的 3 倍， 故其概率为： 21=63， 答案： B. 9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ( ) A. B. C. D. 解析： 俯视图为不规则四边形，只有 C 符合 . 答案： C. 10. 如图，矩形 ABCD 中， AB=4， BC=5， AF 平分 DAE， EF AE，则 CF 等于 ( ) A.23B.1 C.32D.2 解析：四边形 ABCD 是矩形， AD=BC=5， D= B= C=90， AF 平分
7、DAE， EF AE， DF=EF， 由勾股定理得： AE2=AF2-EF2， AD2=AF2-DF2， AE=AD=5， 在 ABE 中由勾股定理得： 22 3B E A E A B ， EC=5-3=2， BAE+ AEB=90， AEB+ FEC=90， BAE= FEC， ABE ECF， AB BECE CF， 342 CF， CF=32. 答案： C. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分 ) 11. 若关于 x 的一元二次方程 (x-k)2=1-2k 有实数根，则 k 的取值范围是 . 解析：根据题意得 1-2k 0， 解得 k 12. 答案： k 12.
8、12. 若方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1、 x2，则1211xx 的值为 . 解析：方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1、 x2， x1+x2=3， x1+x2=-1， 121 2 1 211 3 xxx x x x . 答案： -3. 13. 已知点 A(2a+3b， -2)和点 B(8， 3a+2b)关于原点对称，则 a+b= . 解析：由题意得： 2 3 83 2 2abab -， 则 5a+5b=-6， 65ab . 答案： 65. 14.如图， ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2， 2)， B(4， 2)， C(6， 4)，以原点 O 为位似中心，将 ABC 缩小为原
9、来的一半，则线段 AC 的中点 P 变换后在第一象限对应点的坐标为 . 解析： ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2， 2)， B(4， 2)， C(6， 4)， AC 的中点是 (4， 3)， 将 ABC 缩小为原来的一半， 线段 AC 的中点 P 变换后在第一象限对应点的坐标为： (2， 32). 答案： (2， 32). 15. 如图，圆锥的轴截面是边长为 6cm 的正三角形 ABC， P 是母线 AC 的中点 .则在圆锥的侧面上从 B 点到 P 点的最短路线的长为 . 解析：圆锥底面是以 BC 为直径的圆，圆的周长是 BC =6， 以 AB 为一边，将圆锥展开，就得到一个以 A 为圆心
10、，以 AB 为半径的扇形，弧长是 l=6， 设展开后的圆心角是 n，则 6 6180n ， 解得： n=180， 即展开后 BAC=12 180 =90， AP=12AC=3， AB=6， 则在圆锥的侧面上从 B 点到 P 点的最短路线的长就是展开后线段 BP 的长， 由勾股定理得： 2 2 2 26 3 3 5B P A B A P ， 答案： 35. 三、解答题 (共 7 小题，满分 55 分 ) 16. 对于任何实数，我们规定符号 abcd的意义是： abcd=ad-bc.按照这个规定请你计算：当x2-3x+1=0 时， 1321xxxx的值 . 解析： 应先根据所给的运算方式列式并根据
11、平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把已知条件整体代入求解即可 . 答案： 1321xxxx=(x+1)(x-1)-3x(x-2) =x2-1-3x2+6x =-2x2+6x-1 x2-3x+1=0， x2-3x=-1. 原式 =-2(x2-3x)-1=2-1=1. 故 1321xxxx的值为 1. 17. 如图：直线 y=kx+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， tan OAB=34，点 C(x， y)是直线y=kx+3 上与 A、 B 不重合的动点 . (1)求直线 y=kx+3 的解析式； (2)当点 C 运动到什么位置时 AOC 的面积是 4. 解析： (1)根
12、据直线 y=kx+3 与 y 轴分别交于 B 点，以及 tan OAB=34，即可得出 A 点坐标，从而得出一次函数的解析式； (2)根据 AOC 的面积是 4，得出三角形的高，即可求出 C 点的坐标 . 答案： (1)直线 y=kx+3 与 y 轴交于 B 点， B(0， 3)， tan OAB=34， OA=4， A(4， 0)， 直线 y=kx+3 过 A(4， 0)， 4k+3=0， k=-34， 直线的解析式为： y=-34x+3； (2) A(4， 0)， AO=4， AOC 的面积是 4， AOC 的高为： 2， C 点的纵坐标为 2 或 -2， 直线的解析式为： y=-34x+
13、3 经过 C 点， 2=-34x+3，或 -2=-34x+3， 解得 x=43，或 x=203点 C 点坐标为 (43， 2)或 (203， -2)时， AOC 的面积是 4. 18. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌 CD、小明 在山坡的坡脚 A 处测得宣传牌底部 D 的仰角为 60，沿山坡向上走到 B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为 45 .已知山坡 AB 的坡度 13i ： ， AB=10 米， AE=15 米，求这块宣传牌 CD 的高度 .(测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米 .参考数据： 2 1 . 4 1 4 3 1 . 7 3 2， )
14、解析： 过 B 分别作 AE、 DE 的垂线，设垂足为 F、 G.分别在 Rt ABF 和 Rt ADE 中，通过解直角三角形求出 BF、 AF、 DE 的长，进而可求出 EF 即 BG 的长；在 Rt CBG 中， CBG=45，则 CG=BG，由此可求出 CG 的长；根据 CD=CG+GE-DE 即可求出宣传牌的高度 . 答案：过 B 作 BF AE，交 EA 的延长线于 F，作 BG DE 于 G. Rt ABF 中， 3133i ta n B A F ， BAF=30， 1 5 5 32B F A B A F ，. 5 3 1 5B G A F A E . Rt BGC 中， CBG=
15、45， 5 3 1 5C G B G . Rt ADE 中， DAE=60， AE=15， 3 1 5 3D E A E. 5 3 1 5 5 1 5 3 2 0 1 0 3 2 . 7C D C G G E D E m. 答：宣传牌 CD 高约 2.7 米 . 19.如图所示，在 Rt ABC 中， C=90， BAC=60， AB=8.半径为 3 的 M 与射线 BA 相切，切点为 N，且 AN=3.将 Rt ABC 绕 A 顺时针旋转 120后得到 Rt ADE，点 B、 C 的对应点分别是点 D、 E. (1)画出旋转后的 Rt ADE； (2)求出 Rt ADE 的直角边 DE 被
16、M 截得的弦 PQ 的长度； (3)判断 Rt ADE 的斜边 AD 所在的直线与 M 的位置关系，并说明理由 . 解析： (1)把三角形 ABC 绕 A 旋转 120就能得到图形 . (2)连接 MQ，过 M 点作 MF DE，由 AN=3， AC=4，求出 NE 的长；在 Rt MFQ 中，利用勾股定理可求出 QF，根据垂径定理知 QF 就是弧长 PQ 的一半 . (3)过 M 作 AD 的垂线设垂足为 H，然后证 MH 与 M 半径的大小关系即可；连接 AM、 MN，由于 AE是 M的切线，故 MN AE，在 Rt AMN 中，通过解直角三角形，易求得 MAN=30，由此可证得 AM 是
17、 DAE 的角平分线，根据角平分线的性质即可得到 MH=MN，由此可证得 M 与 AD 相切 . 答案： (1)如图 Rt ADE 就是要画的图形 (2)连接 MQ，过 M 点作 MF DE，垂足为 F，由 Rt ABC 可知， AC= 12AB， 根据翻折变换的知识得到 AC=AE=4， NE=AE-AN=4-3=1， 在 Rt MFQ 中，解得 FQ= 2 ，故弦 PQ 的长度 22. (3)AD 与 M 相切 . 证明：过点 M 作 MH AD 于 H，连接 MN， MA，则 MN AE，且 MN= 3 ， 在 Rt AMN 中， 33MNta n M A N AN ， MAN=30，
18、DAE= BAC=60， MAD=30， MAN= MAD=30， MH=MN， AD 与 M 相切 . 20. 阅读探索：“任意给定一个矩形 A，是否存在另一个矩形 B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？” (完成下列空格 ) (1)当已知矩形 A 的边长分别为 6 和 1 时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边分别是 x 和 y，由题意得方程组： 723xyxy ，消去 y 化简得： 2x2-7x+6=0， =49-48 0， x1= ， x2= ， 满足要求的矩形 B 存在 . (2)如果已知矩形 A 的边长分别为 2 和 1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩
19、形B. (3)如果矩形 A 的边长为 m 和 n，请你研究满足什么条件时，矩形 B 存在？ 解析： (1)直接利用求根公式计算即可； (2)参照 (1)中的解法解题即可； (3)解法同上，利用根的判别式列不等关系可求 m， n 满足的条件 . 答案： (1)由上可知 (x-2)(2x-3)=0 x1=2， x2=32； (2)设所求矩形的两边分别是 x 和 y，由题意，得 321xyxy 消去 y 化简，得 2x2-3x+2=0 =9-16 0 不存在矩形 B； (3)(m+n)2-8mn 0. 设所求矩形的两边分别是 x 和 y，由题意，得 22mnxymnxy 消去 y 化简，得 2x2-
20、(m+n)x+mn=0 =(m+n)2-8mn 0 即 (m+n)2-8mn 0 时，满足要求的矩形 B 存在 . 21. 如图 1，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE. (1)求证： CE=CF； (2)在图 1 中，若 G 在 AD 上，且 GCE=45，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？ (3)运用 (1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 2，在直角梯形 ABCD 中， AD BC(BC AD)， B=90， AB=BC=12， E 是 AB 上一点，且 DCE=45， BE=4，求 DE 的长 . 解析： (
21、1)利用已知条件，可证出 BCE DCF(SAS)，即 CE=CF. (2)借助 (1)的全等得出 BCE= DCF， GCF= BCE+ DCG=90 - GCE=45，即 GCF= GCE，又因为 CE=CF， CG=CG， ECG FCG， EG=GF， GE=DF+GD=BE+GD. (3)过 C 作 CG AD，交 AD 延长线于 G，先证四边形 ABCG 是正方形 (有一组邻边相等的矩形是正方形 ). 再设 DE=x，利用 (1)、 (2)的结论，在 Rt AED 中利用勾股定理可求出 DE. 答案： (1)证明：在正方形 ABCD 中， BC=CD， B= CDF， BE=DF，
22、 CBE CDF. CE=CF. (2)解： GE=BE+GD 成立 . CBE CDF， BCE= DCF. ECD+ ECB= ECD+ FCD. 即 ECF= BCD=90 . 又 GCE=45， GCF= GCE=45 . CE=CF， GCF= GCE， GC=GC， ECG FCG. EG=GF. GE=DF+GD=BE+GD. (3)解：过 C 作 CG AD，交 AD 延长线于 G， 在直角梯形 ABCD 中， AD BC， A= B=90， 又 CGA=90， AB=BC， 四边形 ABCG 为正方形 . AG=BC=12. 已知 DCE=45，根据 (1)(2)可知， ED
23、=BE+DG， 设 DE=x，则 DG=x-4， AD=AG-DG=16-x， AE=AB-BE=12-4=8. 在 Rt AED 中 DE2=AD2+AE2，即 x2=(16-x)2+82 解得： x=10. DE=10. 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4， 0)， B(0， -4)， C(2， 0)三点 . (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m， AMB 的面积为 S.求 S 关于m 的函数关系式，并求出 S 的最大值 . (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得
24、点 P、 Q、B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标 . 解析： (1)先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式 . (2)设出 M 点的坐标，利用 S=S AOM+S OBM-S AOB 即可进行解答； (3)当 OB 是平行四边形的边时，表示出 PQ 的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当 OB 是对角线时，由图可知点 A 与 P 应该重合 . 答案： (1)设此抛物线的函数解析式为： y=ax2+bx+c(a 0)， 将 A(-4， 0)， B(0， -4)， C(2， 0)三点代入函数解析式得： 1 6 4 044 2 0a b cca b
25、 c 解得1214abc -， 所以此函数解析式为： 21 42y x x ； (2) M 点的横坐标为 m，且点 M 在这条抛物线上， M 点的坐标为： (m， 21 42 mm)， S=S AOM+S OBM-S AOB = 21 1 1 14 4 4 4 42 2 2 2m m m （ ） （ ）=-m2-2m+8-2m-8 =-m2-4m， =-(m+2)2+4， -4 m 0， 当 m=-2 时， S 有最大值为： S=-4+8=4. 答： m=-2 时 S 有最大值 S=4. (3)设 P(x， 21 42 xx). 当 OB 为边时，根据平行四边形的性质知 PQ OB，且 PQ=OB， Q 的横坐标等于 P 的横坐标， 又直线的解析式为 y=-x， 则 Q(x， -x). 由 PQ=OB，得 |-x-( 21 42 xx)|=4， 解得 x=0， -4， 2 2 5 . x=0 不合题意，舍去 . 如图，当 BO 为对角线时，知 A 与 P 应该重合， OP=4.四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4，Q 横坐标为 4，代入 y=-x 得出 Q 为 (4， -4). 由此可得 Q(-4， 4)或 2 2 5 2 2 5 （ ， ）或 2 2 5 2 2 5 （ ， ）或 (4， -4).
