1、 2016年山东省菏泽市高考一模 数学 文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1.复数 21z i (i 是虚数单位 )的共轭复数在复平面内对应的点是 ( ) A.(1， 1) B.(1， -1) C.(-1， 1) D.(-1， -1) 解析： 复数 212 11 11 izii ii ，复数的共轭复数在复平面内对应点的坐标 (1，1) 答案： A 2.设集合 A=y|y=sinx， x R，集合 B=x|y=lgx，则 ( RA) B( ) A.(-， -1)U(1， + ) B.-1， 1 C.(1，
2、 + ) D.1， + ) 解析：由集合 A 中的函数 y=sinx， x R，得到 y -1， 1， A=-1， 1， RA=(-， -1) (1， + )， 由集合 B 中的函数 y=lgx，得到 x 0， B=(0， + )， 则 ( RA) B=(1， + ) 答案： C 3.已知命题 p： 0x ， 1 2xx，则 p 为 ( ) A. 0x ， 1 2xx B. 0x ， 1 2xx C. 0x ， 1 2xx D. 0x ， 1 2xx 解析：命题 p 为全称命题，则命题的否定为： 0x ， 1 2xx . 答案： D 4.圆 2211xy（ ） 被直线 30xy 分成两段圆弧，
3、则较短弧长与较长弧长之比为( ) A.1： 2 B.1： 3 C.1： 4 D.1： 5 解析：圆 2211xy（ ） 的圆心为 (1， 0)到直线 x-y=0 的距离为 11213，圆的半径为：1， 弦长为 22 12 1 32 小扇形的圆心角为： 120， 较短弧长与较长弧长之比为 1： 2 答案 ： A 5.甲：函数 f(x)是 R 上的单调递增函数；乙：1 2 1 2x x f x f x ， （ ） （ ），则甲是乙的 ( ) A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 解析：甲：函数 f(x)是 R 上的单调递增函数；乙：1 2 1 2x x f
4、 x f x ， （ ） （ ）， 则甲 乙，反之不成立， (根据函数单调递增的定义 ) 甲是乙的充分不必要条件 答案： C 6.对于函数 26y sin x （ ），下列说法正确的是 ( ) A.函数图象关于点 (3， 0)对称 B.函数图象关于直线 5=6x 对称 C.将它的图象向左平移6个单位，得到 2y sin x 的图象 D.将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的 12 倍，得到6y sin x （ ）的图象 解析： A，将3x 代入可得： 2136y s in （ ），故不正确； B，将 5=6x 代入可得： 52166y s in （ ），由正弦函数的图象和性质可知正确； C，将它
5、的图象向左平移6个单位，得到 226 6 6y s i n x s i n x （ ） （ ）的图象，故不正确； D，将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的 12倍，得到函数 46y sin x （ ）的图象，故不正确 答案： B 7.某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是 ( ) A. 23B.2C. 223 D. 解析：根据几何体的三视图，得： 该几何体是平放的半圆锥，且圆锥的底面半径为 1，母线长为 3， 圆锥的高为 223 1 2 2 ； 该几何体的体积为 2 211 1 2 22 3 3V 半 圆 锥 答案： A 8.函数 y=4cosx-e|x|(e 为自然
6、对数的底数 )的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析：函数 4 xy cosx e， 44 xxf x c o s x e c o s x e f x （ ） （ ） （ ）， 函数 4 xy cosx e为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 BD， 又 00 4 0 4 1 3f y c o s e （ ） ， 只有 A 适合， 答案： A 9.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x -2， 1)时， 24 2 ? 2001xxxxfx （ ），则 214ff（ （ ） ）=( ) A. 14B.34C.14D.0 解析： f(x)是定义在 R 上的周期为 3
7、的函数， 32 1 2 14 4 46f f f （ ） （ ） （ ） 24 2 ? 2001xxxxfx （ ）， 232 1 14 4 442f （ ）， 2 1 1 14 4 4f f f（ （ ） ） （ ） 答案： C 10.点 A是抛物线 21 20C y p x p： （ ）与双曲线 222 22 1 0 0yxabC a b： （ ， ）的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，则双曲线 C2 的离心率等于 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 解析：取双曲线的其中一条渐近线： bayx， 联立222222paxy p xbbyx paa y
8、 b ； 故 2222p a p aA bb（ ， ） 点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p， 2222p pa pb； 22 14ab 双曲线 C2 的离心率 222 5c a ba ae 答案： C 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .把答案填在答题卡上的相应位置 . 11.采用系统抽样方法从 600人中抽取 50人做问卷调查，为此将他们随机编号为 001， 002，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为 003，抽到的 50 人中，编号落入区间 001， 300的人做问卷 A，编号落入区间 301， 495的人做问卷 B，编号落入区间
9、496，600的人做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 C 的人数为 解析： 600 50=12， 由题意可得抽到的号码构成以 3 为首项、以 12 为公 差的等差数列， 且此等差数列的通项公式为 an=3+12(n-1)=12n-9 落入区间 496， 600的人做问卷 C， 由 496 12n-9 600， 即 505 12n 609 解得 311 2 44 2 5 0n 再由 n 为正整数可得 43 n 50， 做问卷 C 的人数为 50-43+1=8， 答案： 8 12.a， b， c 分别是 ABC 角 A， B， C 的对边， a 3， c 3 ，3A ，则 b= . 解析： a 3，
10、 c 3 ，3A ， 由余弦定理 2 2 2 2a b c b c c o s A ，可得： 2 1329 3 2bb ，整理可得：2 3 60bb ， 解得： b= 23或 3 (舍去 ) 答案： 23 13.设 p 在 0， 5上随机地取值，则关于 x 的方程 2 10x px 有实数根的概率为 . 解析：若方程 2 10x px 有实根，则 2 40p ， 解得， p 2 或 p -2； 记事件 A：“ P 在 0， 5上随机地取值，关于 x 的方程 2 10x px 有实数根”， 由方程 2 10x px 有实根符合几何概型， 5 2 355PA （ ） 答案： 35 14.如图表示的
11、是求首项为 -41，公差为 2 的等差数列前 n 项和的最小值的程序框图，如果 中填 a=a+2，则可填写 . 解析：由程序设计意图可知， S 表示此等差数列 an前 n 项和，故处应该填写 a=a+2， 又因为此数列首项为负数，公差为正数，求前 n 项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，故处可填写： a 0 答案： a 0 15.若 x， y 满足不等式组 3 4 01 3 6 0xyxy ，则 yx的最大值是 . 解析：画出满足条件的平面区域，如图示： 由 433 6 0xxy，解得 4 23A（ ， ）， 而 yx的几何意义表示过平面区域内的点与原点的直线的斜率， 由图象得直线过 O
12、A 时斜率最大， 2 3432yx m a x 答案： 32 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .把答案填在答题卡上的相应位置 . 16.已知函数 2 333() 4f x c o s x s i n x c o s x x R ， ( )求 f(x)的最大值； ( )求 f(x)的图象在 y 轴右侧第二个最高点的坐标 解析： ( )根据三角恒等变换化简 1232f x s in x （ ） （ ），从而求出 f(x)的最大值即可； ( )根据函数的表达式得到 512 ()x k k Z ，令 k=1，得 1712x ，从而得到满足条件的点
13、的坐标 答案： ( )由已知，有 2331(32 2 4)f x c o s x s i n x c o s x c o s x = 23312 2 4 s i n x c o s x c o s x = 3314 4 4 2 1 2s i n x c o s x （ ）= 3114 4 2 3 2 2 2s i n x c o s x s i n x （ ）， 所以 f(x)的最大值为 12； ( )令3222 ()x k k Z ， 得 512 ()x k k Z ， 令 k=1，得 1712x 所以 f(x) 的图象在 y 轴右侧第二个最高点的坐标是 17 112 2()， 17.袋中有
14、六张形状、质地等完全相同的卡片，其中红色卡片四张，蓝色卡片两张，每张卡片都标有一个数字，如茎叶图所示： ( )从以上六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色相同的概率； ( )从以上六张卡片中任取两张，求这两张卡片数字之和小于 50 的概率 解析： ( )从以上六张卡片中任 取两张，先求出基本事件数，再求出这两张卡片颜色相同包含的基本事件个数，由此能求出这两张卡片颜色相同的概率 ( )从以上六张卡片中任取两张，先求出基本事件数，再利用列举法求出这两张卡片数字之和小于 50，包含的基本事件个数，由此能求出这两张卡片数字之和小于 50 的概率 答案： ( )从以上六张卡片中任取两张，基本事件数 26
15、15nC， 这两张卡片颜色相同包含的基本事件个数 2242 7CCm ， 这两张卡片颜色相同的概率 715p ( )从以上六张卡片中任取两张，基本事件数 26 15nC， 这两张卡片数字之和小于 50，包含的基本事件有： (16， 18)， (16， 27)， (16， 22)， (16， 25)， (22， 18)， (25， 18)， (27， 18)， (22， 25)， (22， 27)，共 9 个， 这两张卡片数字之和小于 50 的概率 9315 5p 18.如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AC=4， BC=3， AA1=4， AC BC，点 M 在线段 AB 上 ( )
16、若 M 是 AB 中点，证明11A C B C M/平 面； ( )当 BM 长是多少时，三棱锥1B BCM的体积是三棱柱1 1 1A B C A B C的体积的 19？ 解析： (I)取11AB中点 N，连结1CN， AN， MN，则由11C N C M A N B M/ / / /，可得平面11/A C N B C M平 面，从而11/A C B C M平 面； (II)由1 1 1 1 11193B B C M A B C A B C B A B CV V V 可知 13BC M ABCSS ，于是 13BM AB 答案： (I)证明：取11AB中点 N，连结1C N A N M N，
17、， 四边形11ABBA是矩形，11/ / / /M N A A C C， 四边形1CMNC是平行四边形， 1/CM C N，1 1 1C N B C M C M B C M平 面 ， 平 面， 11/C N B C M平 面， 同理可证：1/A N B C M平 面， 又1 1 1C N A C N A N A C N A N C N N 平 面 ， 平 面 ， 平面11/A C N B C M平 面，11A C A C N 平 面， 11/A C B C M平 面 (II)解： BC=3， AC=4， AC BC， 22 5A B A C B C 1 1 1 1 1 1 1 11193B B
18、 C M A B C A B C B A B C A B C A B CV V V V ， 1113B B C M B A B CVV 13BC M ABCSS， 51 =33BM AB 19.已知数列 nb的前 n 项和 232n nnB ( )求数列 nb的通项公式； ( )设数列 na的通项 12n nnnab ，求数列 na的前 n 项和nT 解析： (I)利用递推关系即可得出； (II) 1 2 = 3 2 2 1 2n n n n nnna b n （ ） （ ）设数列 322 nn （ ） 的前 n 项和为nA，利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出；再利用等比数
19、列的前 n 项和公式即可得出 答案： (I)数列 nb的前 n 项和 232n nnB ，11 31 12bB ； 当 n 2 时， 2213 ( 1 ) ( 1 )3 3222n n nnnnnb B B n ，当 n=1 时也成立 32nbn (II) 1 2 = 3 2 2 1 2n n n n nnna b n （ ） （ ） 设数列 322 nn （ ） 的前 n 项和为nA， 则 232 4 2 7 2 3 2 2 nnAn （ ）， 2 3 12 2 4 2 3 5 2 3 2 2nnnA n n （ ） （ ）， 2 3 1 1 12 2 12 3 2 2 2 3 2 2 3
20、4 3 2 2 5 3 2 1 021 nn n n nnA n n n （ ） （ ） （ ） （ ）， 13 5 2 1 0nnAn （ ） 数列 12nn（ ） 的前 n 项和 = 2 1 2 2 12312 nn （ ） 数列 na的前 n 项和 1 23 5 2 1 0 1 23nnnTn （ ） （ ） 20.在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C： 2222 10()yx abab 的离心率为 32 ，直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为 4 105 ( )求椭圆 C 的方程； ( )过原点的直线与椭圆 C 交于两点 (A， B 不是椭圆 C 的顶点 )，点 D 在椭圆 C
21、上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴 y 轴分别交于 M， N 两点设直线 BD， AM 斜率分别为12kk，证明存在常数使得12kk=，并求出的值 解析： ( )由椭圆离心率得到 a， b 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则 a 的值可求，进一步得到 b 的值，则椭圆方程可求； ( )设出 A， D的坐标分别为1 1 1 1 2 20x y x y x y（ ， ） （ ） ， （ ， ），用 A 的坐标表示 B 的坐标，把 AB 和 AD 的斜率都用 A 的坐标表示，写出直线 AD 的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到 AD 横纵
22、坐标的和，求出 AD 中点坐标，则 BD 斜率可求，再写出 BD 所在直线方程，取 y=0 得到 M 点坐标，由两点求斜率得到 AM 的斜率，由两直线斜率的关系得到的值 答案： ( )由题意知， 2 2 232ce a b ca ， 则 224ab 则椭圆 C 的方程可化为 2 2 24x y a 将 y=x 代入可得 55xa， 因此 2 5 4 1 0255a，解得 a=2，则 b=1 椭圆 C 的方程为 2 2 14x y； ( )设1 1 1 1 2 20A x y x y D x y（ ， ） （ ） ， （ ， ）， 则11B x y（ -，-） 直线 AB 的斜率11AByk x
23、 ， 又 AB AD， 直线 AD 的斜率11ADxk y 设 AD 方程为 y=kx+m， 由题意知 k 0， m 0 联立 2 2 222 1 4 8 4 4 044y k x m k x k m x mxy ， 得 （ ） 12 2814kmxx k 因此1 2 1 2 222 14 my y k x x m k （ ） 由题意可得1 2 111 2 1144y y yk x x k x 直线 BD 的方程为11114yy y x xx （ ） 令 y=0，得113 3 0x x M x ， 即 （ ， ） 可得1212yk x 121122kk ， 即 因此存在常数 12使得结论成立
24、21.已知函数21 lnxfx x（ ） ( )求函数 f(x)的零点及单调区间； ( )求证：曲线 lnxyx存在斜率为 6 的切线，且切点的纵坐标0 1y 解析： ( )令 f(x)=0，求出函数的零点，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间； ( )令 lnxgxx，求出函数的导数，结合函数的单调性得到得： 20016lnx x，从而证 出结论 答案： ( )令 f(x)=0，得 x=e故 f(x)的零点为 e， 22321 1223 0x l n x xx l n xf x xxx （ ） 令 f (x)=0，解得 32xe 当 x 变化时， f (x)， f(x)的变化情况如下表：
25、x （ 0， 32e ） 32e （ 32e ， +） f（ x） - 0 + f（ x） 递减 递增 所以 f(x)的单调递减区间为 (0， 32e )，单调递增区间为 ( 32e ， + ) ( )令 lnxgxx则 221 1 1x l n xx l n xg x f xxx ， 因为 114 4 2 4 4 6 022f l n f e ， （ ），且由 ( )得， f(x)在 (0， e)内是减函数， 所以 存在唯一的 x0 (12， e)，使得006g x f x （ ） （ ） 当 x e， + )时， f(x) 0 所以 曲线 lnxyx存在以00x g x（ ， （ ） ）为切点，斜率为 6 的切线 由 00 201 6ln xgxx 得： 20016lnx x 所以 200000 0 016 1 6l n x xg x xx x x 因为 011 2 6 32xxx ， 所 以 ， 所以 00 1y g x（ ）
