2016年山西省太原市高考一模试卷数学文.docx

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1、2016年山西省太原市高考一模试卷数学文 一、选择题:本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1.已知全集 U=1, 2, 3, 4, 5,集合 M=3, 4, 5, N=1, 2, 5,则集合 1, 2可以表示为 ( ) A.M N B.(CUM) N C.M (CUN) D.(CUM) (CUN) 解析:根据元素之间的关系进行求解即可 . M=3, 4, 5, N=1, 2, 5, M N=5, (CUM) N=1, 2, M (CUN)=3, 4, (CUM) (CUN)=. 答案: B 2.i是虚数单位,复数 534

2、ii ( ) A.1-i B.-1+i C.1+i D.-1-i 解析:进行复数的除法运算,分子和 分母同乘以分母的共轭复数,约分化简,得到结果 . 5 3 45 3 1 7 1 7 14 4 4 1 7iiii ii i i . 答案: C. 3.如图是某样本数据的茎叶图,则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( ) A.32 34 32 B.33 45 35 C.34 45 32 D.33 36 35 解析:根据中位数,众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据,求出相应的数据即可 . 从茎叶图中知共 16个数据,按照从小到大排序后中间的两个数据为 32、 34, 所以这组数据的中位数为 33;

3、45出现的次数最多,所以这组数据的众数为 45; 最大值是 47,最小值是 12,故极差是: 35. 答案: B. 4.若双曲线 221xyab 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 ( A.y= 2x B.y 2 x C.y 12x D.y 22x 解析 :由双曲线的离心率 3 ,可知 c= 3 a, 又 a2+b2=c2,所以 b= 2 a, 所以双曲线的渐近线方程为: 2by x xa . 答案: B. 5.对于下列四个命题 p1: 00011023()xxx , , ; p2:1 0 1 0230 0 1()x l o g x l o g x , , ; p3:12() 10 2 xx

4、l o g x , , ; p4:1311032()xx l o g x , , . 其中的真命题是 ( ) A.p1, p3 B.p1, p4 C p2, p3 D.p2, p4 解析: 根据指数函数和对数函数的图象和性质即可判断 . 对于下列四个命题 p1: 00011023()xxx , , ;根据指数函数的性质可知 p1错误, p2:1 0 1 0230 0 1()x l o g x l o g x , , ;根据对数函数的单调性可知 p2正确, p3:12() 10 2 xx l o g x , , ;当 x=1时,就不正确,故 p3错误, p4:1311032()xx l o g

5、x , , .根据指数函数和对数函数的性质可知, p4正确 . 答案 : B. 6.执行如图所示的程序框图,若输出的 2524S,则判断框内填入的条件可以是 ( ) A.k 7 B.k 7 C.k 8 D.k 8 解析:模拟执行程序框图,可得: S=0, k=0 满足条件, k=2, S 12满足条件, k=4, S 1124满足条件, k=6, S 1 1 12 4 6 满足条件, k=8, S= 1 1 1 1 2 52 4 6 8 2 4 . 由题意,此时应不满足条件,退出循环,输出 S的值为 2524. 结合选项可得判断框内填入的条件可以是: k 8. 答案: D. 7.已知函数 f(

6、x) 2sin(2x+ )(| | 2)图象过点 (0, 3),则 f(x)图象的一个对称中心是 ( ) A.(3, 0) B.(6, 0) C.(6, 0) D.(12, 0) 解析:函数 f(x)=2sin(2x+ )(| |2)的图象过点 (0, 3 ), 3 =2sin,由 (| |2),可得: =3, f(x)=2sin(2x+3), 由五点作图法令 2x+3=0,可解得: x=6, 则 f(x)的图象的一个对称中心是 (6, 0). 答案 : B. 8.各项均为正数的等比数列 an的前 n项和为 Sn,若 Sn=2, S3n=14,则 S4n等于 ( ) A.80 B.30 C.2

7、6 D.16 解析:利用等比数列的求和公式,整体思维,即可求得结论 . 设各项均为正数的等比数列 an的公比等于 q, Sn=2, S3n=14, q 1 311 111 2 1 4 2 21 1 1nnna q a q aqq q q , , 解 得 , . 414 1 2 1 1 6 3 01 nn aSqq ( ) ( ). 答案: B. 9.某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 ( ) A.10 B.15 C.20 D.30 解析:由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱,切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体, 底面面积 S=12 4 3=6, 高 h=5,

8、 故组合体的体积 12 2033V S h S h S h . 答案: C 10.已知满足 2 2 02 4 03 3 0xyxyxy 的实数 x、 y 所表示的平面区域为 M、若函数 y=k(x+1)+1 的图象经过区域 M,则实数 k的取值范围是 ( ) A.3, 5 B.-1, 1 C.-1, 3 D. 12, 1 解析:作出可行域,如图 . 因为函数 y=k(x+1)+1 的图象是过点 A(-1, 1),且斜率为 k的直线 l,由图知,当直线 l过点 M(0, 2)时, k取最大值 1,当直线 l过点 NB(1, 0)时, k取最小值 12, 故 k 12, 1. 答案: D. 11.

9、已知三棱锥 S-ABC,满足 SA SB, SB SC, SC SA,且 SA=SB=SC,若该三棱锥外接球的半径为 3 , Q是外接球上一动点,则点 Q到平面 ABC的距离的最大值为 ( ) A.3 B.2 C. 33D.433解析 :三棱锥 S-ABC 中, SA SB, SB SC, SC SA,且 SA=SB=SC, 三棱锥的外接球即为以 SA, SB, SC 为长宽高的正方体的外接球, 该三棱锥外接球的半径为 3 , 正方体的体对角线长为 2 3 , 球心到平面 ABC的距离为 1 2 3 323 3, 点 Q到平面 ABC的距离的最大值为 33 33 4 3. 答案 : D. 12

10、.已知函数 f(x)=12x2+2ax, g(x)=3a2lnx+b,设两曲线 y=f(x), y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,则 a (0, + )时,实数 b的最大值是 ( ) A. 2332eB. 6136eC. 616eD. 2372e解析:设曲线 y=f(x)与 y=g(x)在公共点 (x0, y0)处的切线相同, 因为 f (x)=x+2a, g (x) 23ax,且 f (x0)=g (x0), 所以 20 032 axax,化简得 x02+2ax0-3a2 0, 解得 x0=a或 -3a,又 x0 0,且 a 0,则 x0=a, 因为 f(x0)=g(x0),所以

11、12x02+2ax0 3a2lnx0+b, 则 b(a)=52a2-3a2lna(a 0), 所以 b (a)=5a-3(2alna+a)=2a-6alna=2a(1-3lna), 由 b (a)=0得, a= 13e , 所以当 0 a 13e 时, b (a) 0;当 a 13e 时, b (a) 0, 即 b(a)在 (0, 13e )上单调递增, b(a)在 ( 13e , + )上单调递减, 所以当 a= 13e 时,实数 b的取到极大值也是最大值 123332b e e. 答案: A. 二、填空题 (每题 5分,满分 20分,将答案填在答题纸上 ) 13.若函数 212,0,0f

12、x lo g x xlo g x x ,若 f(a) f(-a),则实数 a的取值范围是 . 解析: 对 a进行 分类讨论: 当 a 0时 -a 0则由 f(a) f(-a)可得 log2a 12log a -log2a log2a 0, a 1. 当 a 0时 -a 0则由 f(a) f(-a)可得 12log a log2(-a) log2(-a) 0 0 -a 1 -1 a 0 综上 a的取值范围为 (-1, 0) (1, + ). 答案 : (-1, 0) (1, + ) 14.已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=2,若等边 PAB的一边 AB为圆 C的一条弦,则 |PC|的最大

13、值为 . 解析:由圆 C: (x-1)2+(y-2)2=2, 圆心坐标 C(1, 2),半径 r= 2 . 等边 PAB的一边 AB为圆 C的一条弦, |PC|的最大值为直径 2 2 . 答案: 2 2 . 15.已知非零向量 a , b 的夹角为 60,且 ab 1,则 ab 的最大值是 . 解析:非零向量 a , b 的夹角为 60,且 ab 1, 2221a b a b ,即 22 2 6 0 1a b a b c o s, 则 22 12a b a b a b , ab 1,当且仅当 1ab时取等号 . 2 2 2 22 2 6 0 2 1a b a b a b a b a b c o

14、 s a b , 1 2ab +1 3, 13ab . ab 的最大值是 3 . 答案 : 3 . 16.已知数列 an满足: an-(-1)nan-1 n(n 2),记 Sn为 an的前 n项和,则 S40= . 解析: an-(-1)nan-1 n(n 2), 当 n=2k时,即 a2k-a2k-1=2k, 当 n=2k-1时,即 a2k-1+a2k-2=2k-1, 当 n=2k+1时,即 a2k+1+a2k=2k+1, + a2k+a2k-2=4k-1, - a2k+1+a2k-1=1, S40=(a1+a3+a5+ +a39)+(a2+a4+a6+a8+ +a40)=1 10+(7+1

15、5+23+ ) 10+7 10+ 10 10 12 8 440. 答案: 440. 三、解答题 (本大题共 5小题,共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.已知 a, b, c分别为锐角 ABC内角 A, B, C的对边,且 3 a=2csinA. ( )求角 C. 解析: ( )由正弦定理化简已知等式可得 3 sinA 2sinCsinA,结合 A锐角, sinA 0,可得 sinC= 32,又 C为锐角,即可得解 C的值 . 答案: ( ) 3 a=2csinA, 正弦定理得 3 sinA 2sinCsinA, A锐角, sinA 0, sinC= 32, 又 C

16、为锐角, C=3. ( )若 c= 7 ,且 ABC的面积为 332,求 a+b的值 . 解析: ( )由余弦定理及已知可得 7=a2+b2-ab,又由 ABC的面积公式可得 ab=6,即可得解a+b的值 . 答案: ( )三角形 ABC中,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab, 又由 ABC的面积得 1122 3 3 322S a b s i n C a b .即 ab=6, (a+b)2=a2+b2+2ab=25, 由于 a+b为正, a+b=5. 18.某工厂对一批共 50 件的机器零件进行分类检测,其重量 (克 )统计如下: 规定重量在 82 克及以

17、下的为甲型,重量在 85 克及以上的为乙型,已知该批零件有甲型 2件 . ( )从该批零件中任选 1件,若选出的零件重量在 95, 100内的概率为 0.26,求 m的值 . 解析: ( )根据题设条件,先求出 n的值,进而即可能求出 m. 答案: ( )从该批零件中任选 1件,选出的零件重量在 95, 100内的概率为 0.26, n=50 0.26=13, m=50-5-12-13=20. ( )从重量在 80, 85)的 5件零件中 ,任选 2件,求其中恰有 1件为甲型的概率 . 解析: ( )重量在 80, 85)的 5件零件中,甲型 2 件,乙型 3件,任选 2件,先求出基本事件总数

18、,再求出其中恰有 1件为甲型包含的基本事件个数,由此能求出恰有 1 件为甲型的概率 . 答案: ( )重量在 80, 85)的 5件零件中,甲型 2件,乙型 3件, 从重量在 80, 85)的 5 件零件中,任选 2件,基本事件总数 25 10nC, 其中恰有 1件为甲型包含的基本事件个数 1123 6m C C, 其中恰有 1件为甲型的概率 0.6mpn. 19.如图,已知四棱锥的侧棱 PD底面 ABCD,且底面 ABCD是直角梯形, AD CD, AB CD,AB=AD=12CD=2,点 M在侧棱上 . ( )求证: BC平面 BDP. 解析: ( )证明 BD BC, PD BC,即可证

19、明 BC平面 BDP. 答案: ( )由已知可算得 BD BC 2 2 , BD2+BC2=16=DC2, 故 BD BC, 又 PD平面 ABCD, BC 平面 ABCD,故 PD BC, 又 BD PD=D,所以 BC平面 BDP. ( )若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 12,点 M 为侧棱 PC 的中点,求异面直线 BM与 PA所成角的余弦值 . 解析: ( )取 PD中点为 N,并连结 AN, MN,则 PAN 即异面直线 BM 与 PA 所成角,在 PAN中,利用余弦定理,即可求出异面直线 BM 与 PA所成角的余弦值 . 答案: ( )如图,取 PD中点为 N,并

20、连结 AN, MN, BM AN, 则 PAN即异面直线 BM与 PA所成角; 又 PA底面 ABCD, PCD 即为 PC与底面 ABCD所成角, 即 tan PCD 12, PD 12CD 2,即 PN 12PD 1, 又 AN 5 , PA 2 2 ,则在 PAN中, cos PAN 2 2 2 3 1 02 1 0A P A N P NA P A N , 即异面直线 BM与 PA所成角的余弦值为 3 1010. 20.已知椭圆 M: 222 13xya (a 0)的一个焦点为 F(-1, 0),左右顶点分别为 A, B.经过点F的直线 l与椭圆 M交于 C, D两点 . ( )求椭圆方

21、程 . 解析: ( )由焦点 F坐标可求 c值,根据 a, b, c的平方关系可求得 a值 . 答案: ( )因为 F(-1, 0)为椭圆的焦点,所以 c=1,又 b2=3, 所以 a2=4,所以椭圆方程为 22143xy. ( )当直线 l的倾斜角为 45时,求线段 CD的长 . 解析: ( )写出直线方程,与椭圆方程联立消掉 y得关于 x的一元二次方程,利用韦达定理及弦长公式即可求得 |CD|. 答案: ( )因为直线的倾斜角为 45,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y=x+1,和椭圆方程联立得到 221431xyyx ,消掉 y,得到 7x2+8x-8=0, 所以 =288, x

22、1+x2= 87, x1x2= 87, 所以 221 2 1 2 1 2 2414 72C D k x x x x x x . ( )记 ABD与 ABC 的面积分别为 S1和 S2,求 |S1-S2|的最大值 . 解析: ( )当直线 l 不存在斜率时可得, |S1-S2|=0;当直线 l 斜率存在 (显然 k 0)时,设直线方程为 y=k(x+1)(k 0),与椭圆方程联立消 y 可得 x 的方程,根据韦达定理可用 k 表示 x1+x2, x1x2, |S1-S2|可转化为关于 x1, x2的式子,进而变为关于 k的表达式,再用基本不等式即可求得其最大值 . 答案: ( )当直线 l无斜率

23、时,直线方程为 x=-1, 此时 D(-1, 32), C(-1, 32), ABD, ABC面积相等, |S1-S2|=0, 当直线 l斜率存在 (显然 k 0)时,设直线方程为 y=k(x+1)(k 0), 设 C(x1, y1), D(x2, y2), 和椭圆方程联立得到 221431xyy k x ,消掉 y得 (3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 显然 0,方程有根,且 x1+x2= 22834k k , x1x2= 224 1234k k , 此时 |S1-S2|=2|y1|-|y2|=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|

24、 212 1 2 1 2 1 2 3334 3 2 1 24 24kk k kk k , (k= 32时等号成立 ) 所以 |S1-S2|的最大值为 3 . 21.已知函数 f(x)=2lnx-x2+ax(a R). ( )若函数 f(x)的图象在 x=2处切线的斜率为 -1,且不等式 f(x) 2x+m在 1e, e上有解,求实数 m的取值范围 . 解析: ( )通过求导得到函数 f(x)的图象在 x=2处切线的斜率,由此求得 a=2,得到函数解析式,然后利用分离变量法得到 m 2lnx-x2,利用导数求出 g(x)=2lnx-x2在 1e, e上的最大值得答案 . 答案: ( )由 2 2

25、f x x ax , 得切线的斜率 k=f(2)=a-3=-1, a=2, 故 f(x)=2lnx-x2+2x, 由 f(x) 2x+m,得 m 2lnx-x2, 不等式 f(x) 2x+m 在 1e, e上有解, m (2lnx-x2)max . 令 g(x)=2lnx-x2,则 2 1 12 2 xxg x xxx , x 1e, e,故 g (x)=0时, x=1. 当 1e x 1时, g(x) 0;当 1 x e时, g(x) 0. 故 g(x)在 x=1处取得最大值 g(1)=-1, m -1. ( )若函数 f(x)的图象与 x轴有两个不同的交点 A(x1, 0), B(x2,

26、0),且 0 x1 x2,求证:12 02xxf (其中 f (x)是 f(x)的导函数 ). 解析: ( )由 f(x)的图象与 x轴交于两个不同的点 A(x1, 0), B(x2, 0),可得方程 2lnx-x2+ax=0的两个根为 x1, x2,把两根代入方程后作差得到 1212122 l n x l n xa x xxx,求得 f( 122xx),然后令12xt x 换元,再通过构造函数,利用导数求出所构造出函数的最大值小于等于 0得答案 . 答案: ( ) f(x)的图象与 x轴交于两个不同的点 A(x1, 0), B(x2, 0), 方程 2lnx-x2+ax=0 的两个根为 x1

27、, x2, 则 21 1 122 2 220ln x x a xln x x a x ,两式相减得 1212122 l n x l n xa x xxx, 又 f(x) 2lnx-x2+ax, 2 2f x x ax ,则 1212 121 2 1 2 1 22442l n x l n xxxf x x ax x x x x x , 要证 121 2 1 224 0l n x l n xx x x x , 即证明 2111 2 22 0xx xlnx x x ,12xt x , 0 x1 x2, 0 t 1, 即证明 21 01tu t ln tt 在 0 t 1上恒成立, 22 2 22 1

28、 2 1 11 1 41 1 1t t tutttt t t t , 又 0 t 1, u(t) 0, u(t)在 (0, 1)上是增函数,则 u(t) u(1)=0,从而知 2111 2 22 0xx xlnx x x . 故 121 2 1 224 0l n x l n xx x x x ,即12 02xxf 成立 . 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 .选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,在 ABC中, CD是 ACB的角平分线, ADC的外接圆交 BC 于点 E, AB=2AC ( )求证: BE=2AD. 解析: ( )连接 DE,

29、证明 DBE CBA,利用 AB=2AC,结合角平分线性质,即可证明 BE=2AD. 答案: ( )连接 DE, ACED是圆内接四边形, BDE= BCA, 又 DBE= CBA, DBE CBA,即有 BE DEBA CA, 又 AB=2AC, BE=2DE, CD是 ACB的平分线, AD=DE, BE=2AD. ( )当 AC=3, EC=6时,求 AD的长 . 解析: ( )根据割线定理得 BD BA=BE BC,从而可求 AD 的长 . 答案: ( )由条件知 AB=2AC=6,设 AD=t, 则 BE=2t, BC=2t+6, 根据割线定理得 BD BA=BE BC, 即 (6-

30、t) 6=2t (2t+6),即 2t2+9t-18=0, 解得 t 32或 -6(舍去 ),则 AD 32. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 =4,曲线 C的参数方程为 2x cosy sin. ( )写出直线 l与曲线 C的直角坐标方程 . 解析: ( )利用极坐标与直角坐标方程的互化,直接写出直线 l的普通方程,消去参数可得曲线 C的直角坐标方程 . 答案: ( )直线 l的极坐标方程为 =4,所以直线斜率为 1,直线 l: y=x; 曲线 C的参数方程为 2x cosy s

31、in.消去参数, 可得曲线 C: 2 2 12x y . ( )过点 M 平行于直线 l1的直线与曲线 C 交于 A、 B 两点,若 |MA| |MB|=83,求点 M 轨迹的直角坐标方程 . 解析: ( )设点 M(x0, y0)以及平行于直线 l1的直线参数方程,直线 l1与曲线 C联立方程组,通过 |MA| |MB|=83,即可求点 M轨迹的直角坐标方程 .通过两个交点推出轨迹方程的范围 . 答案: ( )设点 M(x0, y0)及过点 M的直线为 l1:002222txxtyy 由直线 l1与曲线 C相交可得: 2 220 0 0 0223 2 2 2 02t t x t y x y

32、, |MA| |MB|=83 220022 83 32xy,即: x02+2y02 6, x2+2y2=6 表示一椭圆 取 y=x+m代入 2 2 12x y 得: 3x2+4mx+2m2-2=0 由 0得 33m 故点 M的轨迹是椭圆 x2+2y2=6 夹在平行直线 3yx 之间的两段弧 . 选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|, g(x)=|x-1|+2. ( )解不等式 |g(x)| 5. 解析: ( )利用 |x-1|+2| 5,转化为 -7 |x-1| 3,然后求解不等式即可 . 答案: ( )由 |x-1|+2| 5,得 -5 |x-1|+

33、2 5 -7 |x-1| 3, 得不等式的解为 -2 x 4. ( )若对任意 x1 R,都有 x2 R,使得 f(x1)=g(x2)成立,求实数 a的取值范围 . 解析: ( )利用条件说明 y|y=f(x) y|y=g(x),通过函数的最值,列出不等式求解即可 . 答案: ( )因为任意 x1 R,都有 x2 R,使得 f(x1)=g(x2)成立, 所以 y|y=f(x) y|y=g(x), 又 f(x)=|2x-a|+|2x+3| |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|x-1|+2 2,所以 |a+3| 2,解得 a -1或 a -5, 所以实数 a的取值范围为 a -1或 a -5.

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