1、 2016 年广东省广州市中考真题数学 一、选择题 .(本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分 .) 1.中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作九章算术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数 .如果收入 100 元记作 +100 元 .那么 -80 元表示 ( ) A.支出 20 元 B.收入 20 元 C.支出 80 元 D.收入 80 元 解析：根据题意，收入 100 元记作 +100 元， 则 -80 表示支出 80 元 . 答案： C. 2.如图所示的几何体左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 如图所示的几何体左视图是 A. 答案： A. 3.据统计
2、， 2015 年广州地铁日均客运量均为 6 590 000 人次，将 6 590 000 用科学记数法表示为 ( ) A.6.59 104 B.659 104 C.65.9 105 D.6.59 106 解析：将 6 590 000 用科学记数法表示为： 6.59 106. 答案： D. 4.某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 0-9 这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开 .如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是 ( ) A. 110B.19C.13D.12解析：共有 10 个数字， 一共有 10 种等可能的选择，
3、 一次能打开密码的只有 1 种情况， 一次能打开该密码的概率为 110. 答案： A. 5.下列计算正确的是 ( ) A. 22xxyy (y 0) B.2 1 22xy xyy (y 0) C. 2 3 5x y xy (x 0， y 0) D.(xy3)2=x2y6 解析： A、 22xy无法化简，故此选项错误； B、231 22xy xyy ，故此选项错误； C、 23xy ，无法计算，故此选项错误； D、 (xy3)2=x2y6，正确 . 答案： D. 6.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均 80 千米 /小时的速度用了 4 个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时 .汽车的速度 v 千
4、米 /小时与时间 t 小时的函数关系是 ( ) A.v=320t B. 320vtC.v=20t D. 20vt解析：由题意 vt=80 4， 则 320vt. 答案： B. 7.如图，已知 ABC 中， AB=10， AC=8， BC=6， DE 是 AC 的垂直平分线， DE 交 AB 于点 D，连接 CD，则 CD=( ) A.3 B.4 C.4.8 D.5 解析： AB=10， AC=8， BC=6， BC2+AC2=AB2， ABC 是直角三角形， DE 是 AC 的垂直平分线， AE=EC=4， DE BC，且线段 DE 是 ABC 的中位线， DE=3， AD=DC= 22AE
5、DE =5. 答案： D. 8.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是 ( ) A.ab 0 B.a-b 0 C.a2+b 0 D.a+b 0 解析：一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限， a 0， b 0， ab O，故 A 错误， a-b 0，故 B 错误， a2+b 0，故 C 正确， a+b 不一定大于 0，故 D 错误 . 答案： C. 9.对于二次函数 21 44y x x ，下列说法正确的是 ( ) A.当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大 B.当 x=2 时， y 有最大值 -3 C.图象的顶点坐标为 (-2， -7
6、) D.图象与 x 轴有两个交点 解析：二次函数 21 44y x x 可化为 21 234yx （ ）， 又 a= 14 0 当 x=2 时，二次函数 21 44y x x 的最大值为 -3. 答案： B. 10.定义运算： a*b=a(1-b).若 a， b 是方程 2 1 04x x m (m 0)的两根，则 b*b-a*a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.与 m 有关 解析： a， b 是方程 2 1 04x x m (m 0)的两根， a+b=1， ab=14m. b*b-a*a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0. 答案： A.
7、 二 .填空题 .(本大题共六小题，每小题 3 分，满分 18 分 .) 11.分解因式： 2a2+ab= . 解析： 2a2+ab=a(2a+b). 答案： a(2a+b). 12.代数式 9 x 有意义时，实数 x 的取值范围是 . 解析：由题意得， 9-x 0， 解得， x 9， 答案： x 9. 13.如图， ABC 中， AB=AC， BC=12cm，点 D 在 AC 上， DC=4cm.将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，点 E， F 分别落在边 AB， BC 上，则 EBF 的周长为 cm. 解析：将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段
8、EF， EF=DC=4cm， FC=7cm， AB=AC， BC=12cm， B= C， BF=5cm， B= BFE， BE=EF=4cm， EBF 的周长为： 4+4+5=13(cm). 答案： 13. 14.分式方程 1223xx的解是 . 解析： 1223xx方程两边同乘以 2x(x-3)，得 x-3=4x 解得， x=-1， 检验：当 x=-1 时， 2x(x-3) 0， 故原分式方程的解是 x=-1， 答案： x=-1. 15.如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P 为切点， AB=12 3 ， OP=6，则劣弧 AB 的长为 . 解析：连接 O
9、A、 OB， AB 为小 O 的切线， OP AB， 12 63A P B P A B ， 3APta n A O POP， AOP=60， AOB=120， OAP=30， OA=2OP=12， 劣弧 AB 的长为： 120 2 1 2 81 8 0 3OA . 答案： 8 . 16.如图，正方形 ABCD 的边长为 1， AC， BD 是对角线 .将 DCB 绕着点 D 顺时针旋转 45得到 DGH， HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG.则下列结论： 四边形 AEGF 是菱形 AED GED DFG=112.5 BC+FG=1.5 其中正确的结论是 . 解
10、析：四边形 ABCD 是正方形， AD=DC=BC=AB， DAB= ADC= DCB= ABC=90， ADB= BDC= CAD= CAB=45， DHG 是由 DBC 旋转得到， DG=DC=AD， DGE= DCB= DAE=90， 在 RT ADE 和 RT GDE 中， DE DEDA DG， AED GED，故正确， ADE= EDG=22.5， AE=EG， AED= AFE=67.5， AE=AF，同理 EG=GF， AE=EG=GF=FA， 四边形 AEGF 是菱形，故正确， DFG= GFC+ DFC= BAC+ DAC+ ADF=112.5，故正确 . AE=FG=EG
11、=BG， BE= 2 AE， BE AE， AE 12， CB+FG 1.5，故错误 . 答案： . 三、解答题 .(共 72 分 ) 17.解不等式组 253 2 4xxx 并在数轴上表示解集 . 解析： 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来 . 答案：解不等式 2x 5，得： x 52， 解不等式 3(x+2) x+4，得： x -1， 不等式组的解集为： -1 x 52， 将不等式解集表示在数轴上如图： 18.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于
12、点 O，若 AB=AO，求 ABD 的度数 . 解析： 首先证明 OA=OB，再证明 ABO 是等边三角形即可解决问题 . 答案：四边形 ABCD 是矩形， OA=OC， OB=OD， AC=BD， AO=OB， AB=AO， AB=AO=BO， ABO 是等边三角形， ABD=60 . 19.某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛 .现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为个小组打，各项成绩均按百分制记录 .甲、乙、丙三个小组各项得分如表： 小组 研究报告 小组展示 答辩 甲 91 80 78 乙 81 74 85 丙 7
13、9 83 90 (1)计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序； (2)如果按照研究报告占 40%，小组展示占 30%，答辩占 30%计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？ 解析： (1)根据表格可以求得各小组的平均成绩，从而可以将各小组的成绩按照从大到小排列； (2)根据题意可以算出各组的加权平均数，从而可以得到哪组成绩最高 . 答案： (1)由题意可得， 甲组的平均成绩是： 91 80 78 833 (分 )， 乙组的平均成绩是： 8 1 7 4 8 5 803 (分 )， 丙组的平均成绩是： 7 9 8 3 9 0 843 (分 )， 从高分到低分小组的排名顺序是：丙甲乙；
14、 (2)由题意可得， 甲组的平均成绩是： 9 1 4 0 % 8 0 3 0 % 7 8 3 0 %4 0 % 3 0 % 3 0 % 83.8(分 )， 乙组的平均成绩是： 8 1 4 0 % 7 4 3 0 % 8 5 3 0 %4 0 % 3 0 % 3 0 % 80.1(分 )， 丙组的平均成绩是： 7 9 4 0 % 8 3 3 0 % 9 0 3 0 %4 0 % 3 0 % 3 0 % 83.5(分 )， 由上可得，甲组的成绩最高 . 20.已知 224a b a bAa b a b(a， b 0 且 a b) (1)化简 A； (2)若点 P(a， b)在反比例函数 5yx的图
15、象上，求 A 的值 . 解析： (1)利用完全平方公式的展开式将 (a+b)2 展开，合并同类型、消元即可将 A 进行化解； (2)由点 P 在反比例函数图象上，即可得出 ab 的值，代入 A 化解后的分式中即可得出结论 . 答案： (1)A= 224a b abab a b， = 22224a b a b a ba b a b ， = 22abab a b， = 1ab. (2)点 P(a， b)在反比例函数 5yx的图象上， ab=-5， A= 11=5ab . 21.如图，利用尺规，在 ABC 的边 AC 上方作 CAE= ACB，在射线 AE 上截取 AD=BC，连接 CD，并证明：
16、CD AB(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法 ) 解析： 利用尺规作 EAC= ACB 即可，先证明四边形 ABCD 是平行四边形，再证明 CD AB即可 . 答案：图象如图所示， EAC= ACB， AD CB， AD=BC， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD. 22.如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B， D，从无人机 A 上看目标 B， D 的俯角分别为30， 60，此时无人机的飞行高度 AC 为 60m，随后无人机从 A 处继续飞行 30 3 m 到达 A处， (1)求 A， B 之间的距离； (2)求从无人机 A上看目标 D 的俯角的正切值 . 解析： (1)解直
17、角三角形即可得到结论； (2)过 A作 A E BC交 BC的延长线于 E，连接 A D，于是得到 A E=AC=60， CE=AA =30 3 ，在 Rt ABC 中，求得 3 2 0 33D C A C，然后根据三角函数的定义即可得到结论 . 答案： (1)由题意得： ABD=30， ADC=60， 在 Rt ABC 中， AC=60m， 6012030 12ACAB s in (m)； (2)过 A作 A E BC 交 BC 的延长线于 E，连接 A D，、 则 A E=AC=60， CE=AA = 30 3 ， 在 Rt ABC 中， AC=60m， ADC=60， 3 2 0 33D
18、 C A C， DE=50 3 ， 60 2 355 0 3AEt a n A A D t a n A D C DE . 答：从无人机 A上看目标 D 的俯角的正切值是 2 35. 23.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x+3 与 x轴交于点 C，与直线 AD交于点 A( 5433，)，点 D 的坐标为 (0， 1) (1)求直线 AD 的解析式； (2)直线 AD 与 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 AD 上一动点 (不与点 B 重合 )，当 BOD 与 BCE相似时，求点 E 的坐标 . 解析： (1)设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，用待定系数法将 A( 543
19、3，)， D(0， 1)的坐标代入即可； (2)由直线 AD 与 x 轴的交点为 (-2， 0)，得到 OB=2，由点 D 的坐标为 (0， 1)，得到 OD=1，求得 BC=5，根据相似三角形的性质得到 B O O DBDB C B E C E 或 OB ODBC CE，代入数据即可得到结论 . 答案： (1)设直线 AD 的解析式为 y=kx+b， 将 A( 5433，)， D(0， 1)代入得： 54331kbb ， 解得：112kb. 故直线 AD 的解析式为：2 11yx； (2)直线 AD 与 x 轴的交点为 (-2， 0)， OB=2， 点 D 的坐标为 (0， 1)， OD=1
20、， y=-x+3 与 x 轴交于点 C(3， 0)， OC=3， BC=5 BOD 与 BCE 相似， B O O DBDB C B E C E 或 OB ODBC CE， 5 215 B E C E或 215 CE， 2 5 5B E C E， ，或 52CE， E(2， 2)，或 (3， 52). 24.已知抛物线 y=mx2+(1-2m)x+1-3m 与 x 轴相交于不同的两点 A、 B (1)求 m 的取值范围； (2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标； (3)当 14 m 8 时，由 (2)求出的点 P 和点 A， B 构成的 ABP 的面积是否有最值？
21、若有，求出该最值及相对应的 m 值 . 解析： (1)根据题意得出 =(1-2m)2-4 m (1-3m)=(1-4m)2 0，得出 1-4m 0，解不等式即可； (2)y=m(x2-2x-3)+x+1，故只要 x2-2x-3=0，那么 y 的值便与 m 无关，解得 x=3 或 x=-1(舍去，此时 y=0，在坐标轴上 )，故定点为 (3， 4)； (3)由 |AB|=|xA-xB|得出 |AB|=|1m-4|，由已知条件得出 1148 m ，得出 311048m ，因此 |AB|最大时， 311 48m ，解方程得出 m=8，或 863m(舍去 )，即可得出结果 . 答案： (1)解：当 m
22、=0 时，函数为一次函数，不符合题意，舍去； 当 m 0 时， 抛物线 y=mx2+(1-2m)x+1-3m 与 x 轴相交于不同的两点 A、 B， =(1-2m)2-4 m (1-3m)=(1-4m)2 0， 1-4m 0， m 14； (2)证明：抛物线 y=mx2+(1-2m)x+1-3m， y=m(x2-2x-3)+x+1， 抛物线过定点说明在这一点 y 与 m 无关， 显然当 x2-2x-3=0 时， y 与 m 无关， 解得： x=3 或 x=-1， 当 x=3 时， y=4，定点坐标为 (3， 4)； 当 x=-1 时， y=0，定点坐标为 (-1， 0)， P 不在坐标轴上，
23、P(3， 4)； (3)解： |AB|=|xA-xB|= 2 22 22221 2 4 1 3 144 1 4 4 4 1 2 1 4 1 4m m m mb a c m m m m mmmam mm ， 14 m 8， 1148 m ， 31 1 408 m ， 311048m ， |AB|最大时， 311| 4 |8m ， 解得： m=8，或 m= 863(舍去 )， 当 m=8 时， |AB|有最大值 318， 此时 ABP 的面积最大，没有最小值， 则面积最大为： 1122 3 1 3 1484PA B y . 25.如图，点 C 为 ABD 的外接圆上的一动点 (点 C 不在 上，且
24、不与点 B， D 重合 )，ACB= ABD=45 (1)求证： BD 是该外接圆的直径； (2)连结 CD，求证： 2 AC=BC+CD； (3)若 ABC 关于直线 AB 的对称图形为 ABM，连接 DM，试探究 DM2， AM2， BM2 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论 . 解析： (1)要证明 BD 是该外接圆的直径，只需要证明 BAD 是直角即可，又因为 ABD=45，所以需要证明 ADB=45； (2)在 CD 延长线上截取 DE=BC，连接 EA，只需要证明 EAF 是等腰直角三角形即可得出结论； (3)过点 M 作 MF MB 于点 M，过点 A 作 AF MA 于点
25、A， MF 与 AF 交于点 F，证明 AMF是等腰三角形后，可得出 AM=AF， MF= 2 AM，然后再证明 ABF ADM 可 得出 BF=DM，最后根据勾股定理即可得出 DM2， AM2， BM2 三者之间的数量关系 . 答案： (1) ， ACB= ADB=45， ABD=45， BAD=90， BD 是 ABD 外接圆的直径； (2)在 CD 的延长线上截取 DE=BC，连接 EA， ABD= ADB， AB=AD， ADE+ ADC=180， ABC+ ADC=180， ABC= ADE， 在 ABC 与 ADE 中， A B A DA B C A D EB C D E， ABC
26、 ADE(SAS)， BAC= DAE， BAC+ CAD= DAE+ CAD， BAD= CAE=90， ACD= ABD=45， CAE 是等腰直角三角形， 2 AC=CE， 2 AC=CD+DE=CD+BC； (3)过点 M 作 MF MB 于点 M，过点 A 作 AF MA 于点 A， MF 与 AF 交于点 F，连接 BF， 由对称性可知： AMB=ACB=45， FMA=45， AMF 是等腰直角三角形， AM=AF， MF= 2 AM， MAF+ MAB= BAD+ MAB， FAB= MAD， 在 ABF 与 ADM 中， A E A MF A B M A DA B A D， ABF ADM(SAS)， BF=DM， 在 Rt BMF 中， BM2+MF2=BF2， BM2+2AM2=DM2.
