1、2016年广东省梅州市中考真题数学 一、选择题：每小题 3 分，共 21分 .每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的 . 1. 计算： (-3)+4 的结果是 ( ) A.-7 B.-1 C.1 D.7 解析：原式 =+(4-3)=1. 答案： C. 2. 若一组数据 3， x， 4， 5， 6的众数是 3，则这组数据的中位数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：一组数据 3， x， 4， 5， 6的众数是 3， x=3， 把这组数据按照从小到大的顺序排列为： 3， 3， 4， 5， 6， 最中间的数是 4，则这组数据的中位数为 4. 答案： B. 3. 如图，几何体的俯视图是
2、( ) A. B. C. D. 解析：从上面看，几何体的俯视图是 答案： D. 4. 分解因式 a2b-b3结果正确的是 ( ) A.b(a+b)(a-b) B.b(a-b)2 C.b(a2-b2) D.b(a+b)2 解析： a2b-b3 =b(a2-b2) =b(a+b)(a-b). 答案： A. 5. 如图， BC AE 于点 C， CD AB， B=55，则 1等于 ( ) A.55 B.45 C.35 D.25 解析： BC AE， ACB=90， BCE=90， CD AB， B=55， BCD= B=55， 1=90 -55 =35 . 答案： C. 6. 二次根式 2 x 有意
3、义，则 x的取值范围是 ( ) A.x 2 B.x 2 C.x 2 D.x 2 解析：由题意得 2-x 0， 解得， x 2. 答案： D. 7. 对于实数 a、 b，定义一种新运算“ ”为： a b=21ab ，这里等式右边是实数运算 .例如： 1 3=2111 3 8 .则方程 x (-2)= 2 14x 的解是 ( ) A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7 解析：根据题意，得 12144xx， 去分母得： 1=2-(x-4)， 解得： x=5， 经检验 x=5是分式方程的解 . 答案： B. 二、填空题：每小题 3 分，共 24分 . 8. 比较大小： -2_-3. 解析：在两
4、个负数中，绝对值大的反而小，可求出 -2 -3. 答案： . 9. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球 .如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为 15，那么口袋中小球共有 _个 . 解析：设口袋中小球共有 x个， 根据题意得 3 15x，解得 x=15， 所以口袋中小球共有 15个 . 答案： 15. 10. 流经我市的汀江，在青溪水库的正常库容是 6880 万立方米 .6880 万用科学记数法表示为 _. 解析： 6880万 =68800000=6.88 107. 答案： 6.88 107. 11. 已知点 P(3-m， m)在第二象限，则 m的
5、取值范围是 _. 解析：点 P(3-m， m)在第二象限， 300mm解得： m 3. 答案： m 3. 12. 用一条长 40cm 的绳子围成一个面积为 64cm2的矩形 .设矩形的一边长为 xcm，则可列方程为 _. 解析：设矩形的一边长为 xcm， 长方形的周长为 40cm， 宽为 =(20-x)(cm)， 得 x(20-x)=64. 答案： x(20-x)=64. 13. 如图，在平行四边形 ABCD中，点 E是边 AD 的中点， EC 交对角线 BD于点 F，若 S DEC=3，则 S BCF=_. 解析：根据平行四边形的性质得到 AD BC和 DEF BCF，由已知条件求出 DEF
6、的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案 . 答案： 4. 14. 如图，抛物线 y=-x2+2x+3 与 y 轴交于点 C，点 D(0， 1)，点 P 是抛物线上的动点 .若PCD是以 CD 为底的等腰三角形，则点 P的坐标为 _. 解析： PCD是以 CD为底的等腰三角形， 点 P在线段 CD 的垂直平分线上， 如图，过 P作 PE y轴于点 E，则 E为线段 CD 的中点， 抛物线 y=-x2+2x+3与 y轴交于点 C， C(0， 3)，且 D(0， 1)， E点坐标为 (0， 2)， P点纵坐标为 2， 在 y=-x2+2x+3中，令 y=2，可得 -x2+2x+3=2，
7、解得 x=1 2 ， P点坐标为 (1+ 2 ， 2)或 (1- 2 ， 2)， 答案 ： (1+ 2 ， 2)或 (1- 2 ， 2). 15. 如图，在平面直角坐标系中，将 ABO 绕点 A 顺时针旋转到 AB1C1的位置，点 B、 O 分别落在点 B1、 C1处， 点 B1在 x轴上，再将 AB1C1绕点 B1顺时针旋转到 A1B1C2的位置，点 C2在 x轴上，将 A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到 A2B2C2的位置，点 A2在 x轴上，依次进行下去 .若点 A(32， 0)， B(0，2)，则点 B2016的坐标为 _. 解析： AO=32， BO=2， AB= 2252A O B
8、 O， OA+AB1+B1C2=6， B2的横坐标为： 6，且 B2C2=2， B4的横坐标为： 2 6=12， 点 B2016的横坐标为： 2016 2 6=6048. 点 B2016的纵坐标为： 2. 点 B2016的坐标为： (6048， 2). 答案： (6048， 2). 三、解答下列各题：本题有 9小题，共 75分 .解答应写文字说明、推理过程或演算步骤 . 16. 计算： ( -5)0+ 2 cos45 -|-3|+(12)-1. 解析：根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式 (-5)0+ 2 cos45 -|-3|+(12)-1的值是多少即可 .
9、 答案： ( -5)0+ 2 cos45 -|-3|+(12)-1 =1+ 2 22-3+2 =1+1-3+2 =1 17. 我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品 .现将从中挑选的 50 件参赛作品的成绩 (单位：分 )统计如下： 请根据上表提供的信息，解答下列问题： (1)表中 x的值为 _， y的值为 _； (直接填写结果 ) (2)将本次参赛作品获得 A等级的学生依次用 A1、 A2、 A3表示 .现该校决定从本次参赛作品获得 A 等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，则恰好抽到学生 A1和 A2的概率为 _.(直接填写结果 ) 解析： (
10、1)利用频 (数 )率分布表，利用频数和分别减去 B、 C等级的频数即可得到 x的值，然后用 B等级的频数除以总数即可得到 y的值； (2)画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出恰好抽到学生 A1和 A2的结果数，然后根据概率公式求解 . 答案： (1)x=50-12-34=4， y=3450=0.68. (2)画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到学生 A1和 A2的结果数为 2， 所以恰好抽到学生 A1和 A2的概率 = 2112 6. 18. 如图，在平行四边形 ABCD中，以点 A为圆心， AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、 F 为圆心，
11、大于 12BF 长为半径画弧，两弧交于一点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF. (1)四边形 ABEF是 _； (选填矩形、菱形、正方形、无法确定 )(直接填写结果 ) (2)AE， BF 相交于点 O，若四边形 ABEF 的周长为 40， BF=10，则 AE 的长为 _，ABC=_ .(直接填写结果 ) 解析： (1)先证明 AEB AEF，推出 EAB= EAF，由 AD BC，推出 EAF= AEB= EAB，得到 BE=AB=AF，由此即可证明 . (2)根据菱形的性质首先证明 AOB是含有 30的直角三角形，由此即可解决问题 . 答案： (1)在 AEB和 AE
12、F 中， A B A FE A B E A FA E A E ， AEB AEF， EAB= EAF， AD BC， EAF= AEB= EAB， BE=AB=AF. AF BE， 四边形 ABEF是平行四边形 AB=AF， 四边形 ABEF是菱形 . (2)四边形 ABEF是菱形， AE BF， BO=OF=5， ABO= EBO， AB=10， AB=2BO， AOB=90 BA0=30， ABO=60， AO= 3 BO=5 3 ， ABC=2 ABO=120 . 19. 如图，已知在平面直角坐标系中， O是坐标原点，点 A(2， 5)在反比例函数 y=kx的图象上 .一次函数 y=x+
13、b的图象过点 A，且与反比例函数图象的另一交点为 B. (1)求 k和 b的值； (2)设反比例函数值为 y1，一次函数值为 y2，求 y1 y2时 x的取值范围 . 解析： (1)把 A(2， 5)分别代入 y=kx和 y=x+b，即可求出 k和 b的值； (2)联立一次函数和反比例函数的解析式，求出交点坐标，进而结合图形求出 y1 y2时 x 的取值范围 . 答案： (1)把 A(2， 5)分别代入 y=kx和 y=x+b， 得 5225kb ， 解得 k=10， b=3； (2)由 (1)得，直线 AB 的解析式为 y=x+3， 反比例函数的解析式为 y=10x. 由 103y xyx
14、，解得： 25xy或 52xy. 则点 B的坐标为 (-5， -2). 由图象可知，当 y1 y2时， x的取值范围是 x -5或 0 x 2. 20. 如图，点 D在 O 的直径 AB 的延长线上，点 C在 O上， AC=CD， ACD=120 . (1)求证： CD 是 O的切线； (2)若 O的半径为 2，求图中阴影部分的面积 . 解析： (1)连接 OC.只需证明 OCD=90 .根据等腰三角形的性质即可证明； (2)阴影部分的面积即为直角三角形 OCD的面积减去扇形 COB的面积 . 答案： (1)证明：连接 OC. AC=CD， ACD=120， A= D=30 . OA=OC，
15、2= A=30 . OCD=180 - A- D- 2=90 .即 OC CD， CD是 O的切线 . (2)解： A=30， 1=2 A=60 . 26 0 2 23 6 0 3B O CS 扇 形. 在 Rt OCD中， CDOC=tan60， CD=2 3 . SRt OCD=12OC CD=12 2 2 3 =2 3 . 图中阴影部分的面积为： 2 3 -23. 21. 关于 x的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根 x1、 x2. (1)求实数 k的取值范围 . (2)若方程两实根 x1、 x2满足 x1+x2=-x1 x2，求 k的值 . 解析： (1)根
16、据根与系数的关系得出 0，代入求出即可； (2)根据根与系数的关系得出 x1+x2=-(2k+1)， x1 x2=k2+1，根据 x1+x2=-x1 x2 得出-(2k+1)=-(k2+1)，求出方程的解，再根据 (1)的范围确定即可 . 答案： (1)原方程有两个不相等的实数根， =(2k+1)2-4(k2+1) 0， 解得： k 34， 即实数 k的取值范围是 k 34； (2)根据根与系数的关系得： x1+x2=-(2k+1)， x1 x2=k2+1， 又方程两实根 x1、 x2满足 x1+x2=-x1 x2， -(2k+1)=-(k2+1)， 解得： k1=0， k2=2， k 34，
17、 k只能是 2. 22. 如图，平行四边形 ABCD中， BD AD， A=45， E、 F分别是 AB、 CD上的点，且 BE=DF，连接 EF 交 BD于 O. (1)求证： BO=DO； (2)若 EF AB，延长 EF交 AD的延长线于 G，当 FG=1时，求 AE的长 . 解析： (1)由平行四边形的性质和 AAS证明 OBE ODF，得出对应边相等即可； (2)证出 AE=GE，再证明 DG=DO，得出 OF=FG=1，即可得出结果 . 答案： (1)证明：四边形 ABCD是平行四边形， DC AB， OBE= ODF. 在 OBE与 ODF中， O B E O D FB O E
18、D O FB E D F OBE ODF(AAS). BO=DO. (2)解： EF AB， AB DC， GEA= GFD=90 . A=45， G= A=45 . AE=GE BD AD， ADB= GDO=90 . GOD= G=45 . DG=DO， OF=FG=1， 由 (1)可知， OE=OF=1， GE=OE+OF+FG=3， AE=3. 23. 如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， AC=5cm， BAC=60，动点 M 从点 B 出发，在 BA边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 3 cm的速度向点 B匀速运
19、动，设运动时间为 t秒 (0 t 5)，连接 MN. (1)若 BM=BN，求 t的值； (2)若 MBN与 ABC相似，求 t的值； (3)当 t为何值时，四边形 ACNM的面积最小？并求出最小值 . 解析： (1)由已知条件得出 AB=10， BC=5 3 .由题意知： BM=2t， CN= 3 t， BN=5 3 - 3 t，由 BM=BN得出方程 2t=5 3 - 3 t，解方程即可； (2)分两种情况：当 MBN ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出 t的值； 当 NBM ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出 t的值； (3)过 M作 MD B
20、C于点 D，则 MD AC，证出 BMD BAC，得出比例式求出 MD=t.四边形 ACNM的面积 y= ABC 的面积 - BMN 的面积，得出 y 是 t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果 . 答案： (1)在 Rt ABC中， ACB=90， AC=5， BAC=60， B=30， AB=2AC=10， BC=5 3 . 由题意知： BM=2t， CN= 3 t， BN=5 3 - 3 t， BM=BN， 2t=5 3 - 3 t， 解得： t= 53 1 0 3 1 523. (2)分两种情况：当 MBN ABC时， 则 MB BNAB BC，即 2 5 3 310 53tt
21、， 解得： t=52. 当 NBM ABC时， 则 NB BMAB BC，即 5 3 3 210 53tt ， 解得： t=157. 综上所述：当 t=52或 t=157时， MBN与 ABC相似 . (3)过 M作 MD BC于点 D，则 MD AC， BMD BAC， MD BMAC AB， 即 25 10MD t， 解得： MD=t. 设四边形 ACNM的面积为 y， y=12 5 5 3 -12(5 3 - 3 t) t= 32t2-532t+25 32= 32(t-52)2+7538. 根据二次函数的性质可知，当 t=52时， y的值最小 . 此时， y最小 =7538. 24. 如
22、图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c过 A， B， C三点，点 A的坐标是 (3，0)，点 C的坐标是 (0， -3)，动点 P在抛物线上 . (1)b=_， c=_，点 B的坐标为 _； (直接填写结果 ) (2)是否存在点 P，使得 ACP 是以 AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点 P 作 PE 垂直 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线 .垂足为 F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P的坐标 . 解析： (1)将点 A和点 C的坐标代入抛物线的解析式可求得 b
23、、 c的值，然后令 y=0可求得点B的坐标； (2)分别过点 C 和点 A 作 AC 的垂线，将抛物线与 P1， P2两点先求得 AC 的解析式，然后可求得 P1C和 P2A 的解析式，最后再求得 P1C和 P2A与抛物线的交点坐标即可； (3)连接 OD.先证明四边形 OEDF 为矩形，从而得到 OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点 D的纵坐标，从而得到点 P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点 P的坐标 . 答案： (1)将点 A 和点 C 的坐标代入抛物线的解析式得： 39 3 0cbc ，解得： b=-2，c=-3. 抛物线的解析式为 y=x2-2x-3. 令 x2-2x-3=0，
24、解得： x1=-1， x2=3. 点 B的坐标为 (-1， 0). (2)存在 . 理由：如图所示： 当 ACP1=90 . 由 (1)可知点 A的坐标为 (3， 0). 设 AC的解析式为 y=kx-3. 将点 A的坐标代入得 3k-3=0，解得 k=1， 直线 AC的解析式为 y=x-3. 直线 CP1的解析式为 y=-x-3. 将 y=-x-3与 y=x2-2x-3联立解得 x1=1， x2=0(舍去 )， 点 P1的坐标为 (1， -4). 当 P2AC=90时 . 设 AP2的解析式为 y=-x+b. 将 x=3， y=0代入得： -3+b=0，解得 b=3. 直线 AP2的解析式为
25、 y=-x+3. 将 y=-x+3与 y=x2-2x-3联立解得 x1=-2， x2=3(舍去 )， 点 P2的坐标为 (-2， 5). 综上所述， P的坐标是 (1， -4)或 (-2， 5). (3)如图 2所示：连接 OD. 由题意可知，四边形 OFDE是矩形，则 OD=EF. 根据垂线段最短，可得当 OD AC 时， OD最短，即 EF 最短 . 由 (1)可知，在 Rt AOC中， OC=OA=3， OD AC， D是 AC的中点 . 又 DF OC， DF=12OC=32. 点 P的纵坐标是 -32. x2-2x-3=-32，解得： x=2210. 当 EF 最短时，点 P 的坐标是： (2210， -32)或 (2210， -32).
