1、 2016 年广东省汕头市潮南区中考一模数学 一、选择题 1. -3 的倒数是 ( ) A.3 B. 3 C.13D. 13-解析： -3 的倒数是 13-， 答案： D 2. 下列图案是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、是轴对称图形， B、不是轴对称图形， C、不是轴对称图形， D、不是轴对称图形， 答案 ： A. 3. 下列计算中，不正确的是 ( ) A.-2x+3x=x B.6xy2 2xy=3y C.(-2x2y)3=-6x6y3 D.2xy2 (-x)=-2x2y2 解析： A、 -2x+3x=x，正确； B、 6xy2 2xy=3y，正确； C、 (-2x
2、2y)3=-8x6y3，错误； D、 2xy2 (-x)=-2x2y2，正确； 答案： C. 4. 4 的平方根是 ( ) A.2 B. 2 C. 2 D. 2 解析： 4 =2， 4 的平方根是 2 . 答案： D. 5. 统计显示， 2015 年汕头市中考学生人数和高考学生人数合计大约是 13.3 万人，将 13.3万用科学记数法表示应为 ( ) A.13.3 102 B.1.33 103 C.1.33 104 D.1.33 105 解析：将 13.3 万用科学记数法表示应为 1.33 105， 答案： D. 6. 如图， AB CD，点 E 在线段 BC 上，若 1=40， 2=30，则
3、 3 的度数是 ( ) A.70 B.60 C.55 D.50 解析： AB CD， 1=40， 1=30， C=40 . 3 是 CDE 的外角， 3= C+ 2=40 +30 =70 . 答案： A. 7. 如图所示的三视图是主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、是左视图，错误； B、是主视图，正确； C、是俯视图，错误； D、不是主视图，错误； 答案： B 8. 某校开展“中国梦 快乐阅读”的活动，为了解某班同学寒假的阅读情况，随机调查了10 名同学，结果如下表： 阅读量 /本 4 5 6 9 人数 3 4 2 1 关于这 10 名同学的阅读量，下列说法正确的是 ( )
4、A.众数是 9 本 B.中位数是 5.5 本 C.平均数是 5.3 本 D.方差是 3 解析： A、阅读 5 本的学生有 4 人，人数最多，则众数是 5 本，故本选项错误； B、共有 10 名同学，中位数是 5552 ，故本选项错误； C、平均数是 (4 3+5 4+6 2+9 1) 10 5.3(本 )，故本选项正确； D、方差是： 2 2 2 21 3 4 5 . 3 4 5 5 . 3 2 6 5 . 3 9 5 . 3 2 0 .110 （ ） （ ） （ ） （ ），故本选项错误； 答案： C. 9. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B， C 都在格点上，则 ABC
5、 的正切值是 ( ) A.2 B. 255C. 55D.12解析：如图： 由勾股定理，得 2 2 2 1 0A C A B B C ， ， ABC 为直角三角形， 12ACtan B AB ， 答案： D. 10. 如图，矩形 ABCD 中， AB=3， BC=5，点 P 是 BC 边上的一个动点 (点 P 与点 B、 C 都不重合 )，现将 PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 F 处；过点 P 作 BPF 的角平分线交 AB 于点 E.设 BP=x， BE=y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析： CPD= FPD， BP
6、E= FPE， 又 CPD+ FPD+ BPE+ FPE=180， CPD+ BPE=90， 又直角 BPE 中， BPE+ BEP=90， BEP= CPD， 又 B= C， BPE CDP， BP BECD PC，即35yx x，则 2 5133y x x ， y 是 x 的二次函数，且开口向下 . 答案： C. 二、填空题 11. 分解因式： 5x3-10x2+5x= . 解析： 5x3-10x2+5x =5x(x2-2x+1) =5x(x-1)2. 答案： 5x(x-1)2 12. 函数1xy x 中自变量 x 的取值范围是 . 解析：根据题意得： x-1 0， 解得： x 1. 答案
7、： x 1. 13. ABC 的两边长分别为 2 和 3，第三边的长是方程 x2-8x+15=0 的根，则 ABC 的周长是 . 解析：解方程 x2-8x+15=0 可得 x=3 或 x=5， ABC 的第三边为 3 或 5， 但当第三边为 5 时， 2+3=5，不满足三角形三边关系， ABC 的第三边长为 3， ABC 的周长为 2+3+3=8， 答案： 8. 14. 一个 n 边形的内角和是 720，则 n= . 解析：设所求正 n 边形边数为 n， 则 (n-2) 180 =720， 解得 n=6. 答案： 6 15. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点， BF 与
8、AC 交于点 E.若 CBF=20，则AED 等于 度 . 解析：正方形 ABCD， AB=AD， BAE= DAE， 在 ABE 与 ADE 中， A B A DB A E D A EA E A E， ABE ADE(SAS)， AEB= AED， ABE= ADE， CBF=20， ABE=70， AED= AEB=180 -45 -70 =65， 答案： 65 16. 如图，在 ABC 中， CA=CB， ACB=90， AB=2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为 . 解析：连接 CD，作 DM B
9、C， DN AC. CA=CB， ACB=90，点 D 为 AB 的中点， 1 12DC AB，四边形 DMCN 是正方形， 22DM. 则扇形 FDE 的面积是： 290 1360 4 . CA=CB， ACB=90，点 D 为 AB 的中点， CD 平分 BCA， 又 DM BC， DN AC， DM=DN， GDH= MDN=90， GDM= HDN， 在 DMG 和 DNH 中， D M G D N HG D M H D ND M D N， DMG DNH(AAS)， 12D G C H D M C NSS四 形 四 形边 边. 则阴影部分的面积是： 142. 答案： 142. 三、解
10、答题 17. 计算： 201 5 3 2 2 6 03 s i n （ ） （ ）. 解析： 原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案：原式 = 39 1 2 3 22 =10. 18. 解不等式组 4 1 7 1 0853xxxx ，并写出它的所有非负整数解 . 解析： 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出所有非负整数解 . 答案： 4 1 7 1 0853xxxx ， 由得： x -2； 由得： 72x， 不等式组的解集为 722x， 则不等式组的所有非负整数解为： 0， 1， 2
11、， 3. 19. 如图，已知在 ABC 中， A=90 (1)请 用圆规和直尺作出 P，使圆心 P 在 AC 边上，且与 AB， BC 两边都相切 (保留作图痕迹，不写作法和证明 ). (2)若 B=60， AB=3，求 P 的面积 . 解析： (1)作 ABC 的平分线交 AC 于 P，再以 P 为圆心 PA 为半径即可作出 P； (2)根据角平分线的性质得到 ABP=30，根据三角函数可得 AP= 3 ，再根据圆的面积公式即可求解 . 答案： (1)如图所示，则 P 为所求作的圆 . (2) B=60， BP 平分 ABC， ABP=30， APtan A B PAB， AP= 3 ， S
12、 P=3 . 20. 为增强学生环保意识，某中学组织全校 2000 名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图 .请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组 (79.5 89.5)”的扇形的圆心角为 度； (2)若成绩在 90 分以上 (含 90 分 )的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？ (3)某班准备从成绩最好的 4名同学 (男、女各 2名 )中随机选取 2名同学去社区进行环保宣传，则选出的同学恰好是 1 男 1 女的概率为 . 解析： (1)由第三组 (79.5 89.5)的人数即可求
13、出其扇形的圆心角； (2)首先求出 50 人中成绩在 90 分以上 (含 90 分 )的同学可以获奖的百分比，进而可估计该校约有多少名同学获奖； (3)列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的概率 . 答案： (1)由直方图可知第三组 (79.5 89.5)所占的人数为 20 人， 所以“第三组 (79.5 89.5)”的扇形的圆心角 = 20 3 6 0 1 4 450 ， 答案为： 144； (2)估计该校获奖的学生数 =1650 100% 2000=640(人 )； (3)列表如下： 男 男 女 女 男 - （男，男） （女，男） （女，
14、男） 男 （男，男） - （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） - （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） - 所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种， 则 P(选出的两名主持人“恰好为一男一女” )= 8 212 3. 答案为： 23. 21. 如图，矩形 ABCD 中， AB=8， AD=6，点 E、 F 分别在边 CD、 AB 上 . (1)若 DE=BF，求证：四边形 AFCE 是平行四边形； (2)若四边形 AFCE 是菱形，求菱形 AFCE 的周长 . 解析： (1)首先根据矩形的性质可得 AB 平行且等于 C
15、D，然后根据 DE=BF，可得 AF 平行且等于 CE，即可证明四边形 AFCE 是平行四边形； (2)根据四边形 AFCE 是菱形，可得 AE=CE，然后设 DE=x，表示出 AE， CE 的长度，根据相等求出 x 的值，继而可求得菱形的边长及周长 . 答案： (1)四边形 ABCD 为矩形， AB=CD， AB CD， DE=BF， AF=CE， AF CE， 四边形 AFCE 是平行四边形； (2)四边形 AFCE 是菱形， AE=CE， 设 DE=x， 则 226AE x， CE=8-x， 则 226 x =8-x， 解得： x=74， 则菱形的边长为： 7 25844， 周长为： 2
16、54 254， 故菱形 AFCE 的周长为 25. 22. 宁波火车站北广场将于 2015 年底投入使用，计划在广场内种植 A， B 两种花木共 6600棵，若 A 花木数量是 B 花木数量的 2 倍少 600 棵 (1)A， B 两种花木的数量分别是多少棵？ (2)如果园林处安排 26 人同时种植这两种花木，每人每天能种植 A 花木 60 棵或 B 花木 40 棵，应分别安排多少人种植 A 花 木和 B 花木，才能确保同时完成各自的任务？ 解析： (1)首先设 B 花木数量为 x 棵，则 A 花木数量是 (2x-600)棵，由题意得等量关系：种植A， B 两种花木共 6600 棵，根据等量关
17、系列出方程，再解即可； (2)首先设安排 a 人种植 A 花木，由题意得等量关系： a 人种植 A 花木所用时间 =(26-a)人种植B 花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可 . 答案： (1)设 B 花木数量为 x 棵，则 A 花木数量是 (2x-600)棵，由题意得： x+2x-600=6600， 解得： x=2400， 2x-600=4200， 答： B 花木数量为 2400 棵，则 A 花木数量是 4200 棵； (2)设安排 a 人种植 A 花木，由题意得： 4 2 0 0 2 4 0 060 4 0 2 6a a ， 解得： a=14， 经检验： a=14 是原分式方程的解
18、， 26-a=26-14=12， 答：安排 14 人种植 A 花木， 12 人种植 B 花木 . 23. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 myx的图象相交于点 A(1， 5)和点 B，与y 轴相交于点 C(0， 6). (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)现有一直线 l 与直线 y=kx+b 平行，且与反比例函数 myx的图象在第一象限有且只有一个交点，求直线 l 的函数解析式 . 解析： (1)由点 A(1， 5)在 myx的图象上，得到1m5，解得： m=5，于是求得反比例函数的解析式为 5yx，由于一次函数 y=kx+b 的图象经过 A(1， 5)和点 C(0
19、， 6)，列 56kbb，解得 16kb，于是得到一次函数的解析式 y=-x+6； (2)设直线 l 的函数解析式为： y=-x+t，由于反比例函数 myx的图象在第一象限有且只有一 个交点，联立方程组，化简得： x2-tx+5=0，得到 =t2-20=0，同时解得 t=25 ，求得结果 . 答案： (1)点 A(1， 5)在 myx的图象上，1m5，解得： m=5， 反比例函数的解析式为： 5yx， 一次函数 y=kx+b 的图象经过 A(1， 5)和点 C(0， 6)， 56kbb，解得： 16kb， 一次函数的解析式为： y=-x+6； (2)设直线 l 的函数解析式为： y=-x+t，
20、 反比例函数 myx的图象在第一象限有且只有一个交点， 5y xy x t，化简得： x2-tx+5=0， =t2-20=0， 解得： t= 25， t=-25不合题意， 直线 l 的函数解析式为： y=-x+25. 24. 已知，如图， AB 是 O 的直径，点 C 为 O 上一点， OF BC 于点 F，交 O 于点 E， AE与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且 ODB= AEC. (1)求证： BD 是 O 的切线； (2)求证： CE2=EH EA； (3)若 O 的半径为 5， 35sinA，求 BH 的长 . 解析： (1)由圆周角定理和已知条件证出 ODB
21、= ABC，再证出 ABC+ DBF=90，即OBD=90，即可得出 BD 是 O 的切线； (2)连接 AC，由垂径定理得出 ，得出 CAE= ECB，再由公共角 CEA= HEC，证 明 CEH AEC，得出对应边成比例 CE EAEH CE，即可得出结论； (3)连接 BE，由圆周角定理得出 AEB=90，由三角函数求出 BE，再根据勾股定理求出 EA，得出 BE=CE=6，由 (2)的结论求出 EH，然后根据勾股定理求出 BH 即可 . 答案： (1)证明： ODB= AEC， AEC= ABC， ODB= ABC， OF BC， BFD=90， ODB+ DBF=90， ABC+ D
22、BF=90， 即 OBD=90， BD OB， BD 是 O 的切线； (2)证明：连接 AC，如图 1 所示： OF BC， ， CAE= ECB， CEA= HEC， CEH AEC， CE EAEH CE， CE2=EH EA； (3)解：连接 BE，如图 2 所示： AB 是 O 的直径， AEB=90， O 的半径为 5， sin BAE=35， AB=10， BE=AB?sin BAE=10 35=6， 2 2 2 21 0 6 8E A A B B E ， ， BE=CE=6， CE2=EH EA， 26982EH ， 在 Rt BEH 中， 22 2 2 9 1 5622B H
23、 B E E H . 25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(1， 0)、 B(4， 0)、 C(0， 3)三点 . (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由 . (3)如图，点 Q 是线段 OB 上一动点，连接 BC，在线段 BC 上是否存在这样的点 M，使 CQM为等腰三角形且 BQM 为直角三角形？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)把点 A(1， 0)、 B(4， 0)、 C(0， 3)三点的坐标代入函数解析式，利
24、用待定系数法求解； (2)A、 B 关于对称轴对称，连接 BC，则 BC 与对称轴的交点即为所求的点 P，此时 PA+PC=BC，四边形 PAOC 的周长最小值为： OC+OA+BC；根据勾股定理求得 BC，即可求得； (3)分两种情况分别讨论，即可求得 . 答案： (1)根据题意设抛物线的解析式为 y=a(x-1)(x-4)， 代入 C(0， 3)得 3=4a， 解得 a=34， 23 3 1 51 4 34 4 5y x x x x （ ） （ ）， 所以，抛物线的解析式为 23 1 5 344y x x . (2) A、 B 关于对称轴对称，如图 1，连接 BC， BC 与对称轴的交点即
25、为所求的点 P，此时 PA+PC=BC， 四边形 PAOC 的周长最小值为： OC+OA+BC， A(1， 0)、 B(4， 0)、 C(0， 3)， OA=1， OC=3， 22 5B C O B O C ， OC+OA+BC=1+3+5=9； 在抛物线的对称轴上存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小，四边形 PAOC 周长的最小值为 9. (3) B(4， 0)、 C(0， 3)， 直线 BC 的解析式为 y=-34x+3， 当 BQM=90时，如图 2，设 M(a， b)， CMQ 90， 只能 CM=MQ=b， MQ y 轴， MQB COB， MQBMBC OC，即 553bb
26、 ，解得 158b，代入 y=- 34x+3 得， 15 3 384a ，解得a=32， 3 1528M（ ， ）； 当 QMB=90时，如图 3， CMQ=90， 只能 CM=MQ， 设 CM=MQ=m， BM=5-m， BMQ= COB=90， MBQ= OBC， BMQ BOC， 534mm，解得 m=157， 作 MN OB， 1574 3 5M N C N C M M N C NO B O C B C ， 即， MN=127， CN= 97， 9 12377O N O C C N ， 12 1277M（ ， ）， 综上，在线段 BC 上存在这样的点 M，使 CQM 为等腰三角形且 BQM 为直角三角形， 点M 的坐标为 3 1 5 1 2 1 22 8 7 7（ ， ） 或 （ ， ）.
