1、2016年广东省汕头市高考模拟试卷数学文 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1.已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， B=2， 3，则 (CUA) B=( ) A.3 B.4， 5 C.1， 2， 3 D.2， 3， 4， 5 解析：全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， CUA=3， 4， 5， B=2， 3，则 (CUA) B=2， 3， 4， 5. 答案 ： D 2.已知向量 a =(1， 2)， 2a +b =(3， 2)，则 b =( ) A.(1， 2) B
2、.(1， -2) C.(5， 6) D.(2， 0) 解析： a =(1， 2)， 2a +b =(3， 2)， 则 b =(2a +b )-2a =(3， 2)-2(1， 2)=(3， 2)-(2， 4)=(3-2， 2-4)=(1， -2). 答案 ： B. 3.已知 i是虚数单位，若 (2-i) z=i3，则 z=( ) A.15-25I B.-25+15i C.-25-15i D.15+25i 解析： (2-i) z=i3， (2+i)(2-i)z=-i(2+i)， 5z=-2i+1， z=15-25i， 答案 ： A 4.从数字 1， 2， 3 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则
3、这个两位数大于 30 的概率为( ) A.16B.13C.12D.23解析：从数字 1， 2， 3 中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数 n=A23=6， 则这个两位数大于 30 包含的基本事件个数 m=2， 这个两位数大于 30 的概率为 P= 2163mn . 答案 ： B. 5.已知 cos(2+ )=35，且 (2， 32)，则 tan =( ) A.43B.34C.-34D. 34解析： cos(2+ )=35； sin =-35； 又 (2， 32)， cos =- 21 sin =-45， tan = sin 3cos 4 . 答案 ： B 6.已知函数 f(x)=s
4、in(2x-2)(x R)下列结论错误的是 ( ) A.函数 f(x)的最小正周期为 B.函数 f(x)是偶函数 C.函数 f(x)在区间 0，2上是增函数 D.函数 f(x)的图象关于直线 x=4对称 解析：对于函数 f(x)=sin(2x-2)=-cos2x， 它的最小正周期为 22=，且函数 f(x)为偶函数，故 A、 B正确； 在区间 0，2上， 2x 0， ，故函数 f(x)在区间 0，2上是减函数； 当 x=4时， f(x)=0，不是最值，故函数 f(x)的图象不关于直线 x= 4对称， 答案 ： D. 7.已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a1=1， Sn=2an+1，则当
5、 n 1时， Sn=( ) A.(32)n-1 B.2n-1 C.(23)n-1 D.13(11 12n ) 解析： Sn=2an+1， a1=1， a1=2a2，解得 a2=12. 当 n 2时， Sn-1=2an， an=2an+1-2an，化为1 32nnaa . 数列 an从第二项起为等比数列，公比为 32. Sn=2an+1=2 12 (32)n-1=(32)n-1. 答案 ： A. 8. 执行如图所示的程序框图，若输入 A的值为 2，则输出 P的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析： A=2， P=1， S=0， 满足条件 S 2，则 P=2， S=12， 满足条件
6、S 2，则 P=3， S=43， 满足条件 S 2，则 P=4， S=3512不满足条件 S 2，退出循环体，此时 P=4. 答案 ： C 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为 ( ) A.4 3 B.12 C.24 D.48 解析：由三视图可知几何体为三棱锥 P-ABC， PA平面 ABC， AB BC， PA=AB=BC=2， 取 PC中点 O， AC中点 D，连结 OA， OD， BD， OB，则 AC= 22AB BC =2 2 ， PC= 22PA AC=2 3 . OP=OC= 3 ， OA=12PC= 3 ， BD=12AC= 2 ， OD=12PA=1，
7、OB= 22OD BD = 3 ， OA=OB=OC=OP， O是棱锥 P-ABC外接球的球心，外接球半径 r=OA= 3 ， 外接球表面积 S=4 r2=12 . 答案 ： B 10.下列函数中，在 (-1， 1)内有零点且单调递增的是 ( ) A.y=log2x B.y=2x-1 C.y=x2-2 D.y=-x3 解析： y=log2x在 (-1， 1)有没有意义的情况，故 A不对， y=x2-1在 (-1， 0)单调递减，故 C不对， y=-x3在 (-1， 1)单调递减，故 D不对， 故 A， C， D都不对， y=2x-1，单调递增， f(-1) 0， f(1) 0，在 (-1， 1
8、)内存在零点 . 答案 ： B 11.设函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(x)= 2lo g 1 00xxg x x， ， ，则 gf(-7)=( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析 ：函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(x)= 2lo g 1 00xxg x x， ， ，设 x 0，则 -x 0，则 f(-x)=log2(-x+1)， f(-x)=-f(x)， f(x)=-f(-x)=-log2(-x+1)， g(x)=-log2(-x+1)(x 0)， f(-7)=g(-7)=-log2(7+1)=-3， g(-3)=-log2(3+1)=-2. 答案 ：
9、D 12.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，且对任意的实数 x，恒有 f(x)-f(-x)=0，当 x -1， 0时， f(x)=x2，若 g(x)=f(x)-logax在 x (0， + )上有且仅有三个零点，则 a的取值范围为 ( ) A.3， 5 B.4， 6 C.(3， 5) D.(4， 6) 解析： f(x)-f(-x)=0， f(x)=f(-x)， f(x)是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出f(x)的图象如图所示： g(x)=f(x)-logax在 x (0， + )上有且仅有三个零点， y=f(x)和 y=logax的图象在 (0， + )上只有三个交点，
10、log 3 1log 5 11aaa ， ， ，解得 3 a 5. 答案 ： C. 二、填空题 :本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分 . 13. 设 x， y 满足约束条件 0102 2 0xyxyxy ，则 z=x+3y+m 的最大值为 4，则 m 的值为 . 解析：由 z=x+3y+m得 y=-13x+3z-3m， 作出不等式组对应的平面区域如图 (阴影部分 )： 平移直线 y=-13x+3z-3m由图象可知当直线 y=-13x+3z-3m经过点 A时，直线 y=-13x+3z-3m的截距最大， 此时 z也最大，由 02 2 0xyxy ，解得 22xy，即 A(2， 2)， 将
11、 A代入目标函数 z=x+3y+m，得 2+3 2+m=4.解得 m=-4， 答案： -4. 14.已知直线 l： y=kx+b 与曲线 y=x3+3x-1 相切，则斜率 k 取最小值时，直线 l 的方程为 . 解析：由 y=x3+3x+1，得 y =3x2+3，则 y =3(x2+1) 3， 当 y =3时， x=0， 此时 f(0)=1，斜率 k最小时直线 l的方程为 y-1=3(x-0)，即 3x-y+1=0. 答案： 3x-y+1=0. 15.已知正项等比数列 an的公比 q=2，若存在两项 am， an，使得mnaa=4a1，则 14mn的最小值为 . 解析：正项等比数列 an的公比
12、 q=2， 存在两项 am， an，使得mnaa=4a1， 111122mnaa =4a1， a1 0， 2m+n-2=24， m+n=6. 则 1 4 1 1 4 1 4 1 45 5 26 6 6 3() 2n m n mmnm n m n m n m n ，当且仅当 n=2m=4时取等号 . 14mn的最小值为 32. 答案： 3216.下列有关命题中，正确命题的序号是 . 命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2=1，则 x 1”； 命题“ x R， x2+x-1 0”的否定是“ x R， x2+x-1 0”； 命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题是假命题
13、. 若“ p或 q为真命题，则 p， q至少有一个为真命题 .” 解析：命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2 1，则 x 1”；故错误； 命题“ x R， x2+x-1 0”的否定是“ x R， x2+x-1 0”；故错误； 命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题是若 sinx siny，则 x y，是真命题，故错误； 若“ p或 q为真命题，则 p， q至少有一个为真命题 .”正确； 答案： . 三、解答题 .本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程和验算步骤 . 17.在 ABC中角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c， b= 2
14、， c=1， cosB=34. (1)求 sinC的值； (2)求 ABC的面积 . 解析： (1)利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，由正弦定理可得 sinC的值 . (2)由 c b，可得 C为锐角，由 (1)可得 cosC，利用两角和的正弦函数公式可求 sinA 的值，利用三角形面积公式即可得解 . 答案： (1) b= 2 ， c=1， cosB=34. sinB= 2 71 co s4B， 由正弦定理可得： sinC= 71s in 1 4482cBb. (2) c b， C为锐角， 由 (1)可得： cosC= 2 51 sin8 2C， sinA=sin(B+C)=sinB
15、cosC+cosBsinC= 2347 5 1 4 1 44 8 8 4 ， S ABC=12bcsinA=12 2 1 144= 74. 18. 已知 an是公差 d 0的等差数列， a2， a6， a22成等比数列， a4+a6=26；数列 bn是公比 q为正数的等比数列，且 b3=a2， b5=a6. ( )求数列 an， bn的通项公式； ( )求数列 an bn的前 n项和 Tn. 解析： ( )利用等差中项及 a4+a6=26 可知 a5=13，进而通过 a2， a6， a22成等比数列计算可知d=3，利用 q2=53bb 及 62aa =4可知 q=2，进而计算可得结论； ( )
16、通过 (I)可知 an bn=(3n-2) 2n-1，进而利用错位相减法计算即得结论 . 答案： ( ) an是公差 d 0的等差数列，且 a4+a6=26， a5=13， 又 a2， a6， a22成等比数列， (13+d)2=(13-3d)(13+17d)，解得： d=3或 d=0(舍 )， an=a5+(n-5)d=3n-2； 又 b3=a2， b5=a6， q2=56323 6 23 2 2ba =4， q=2 或 q=-2(舍 )， 又 b3=a2=4， bn=b3 qn-3=4 2n-3=2n-1； ( )由 (I)可知， an bn=(3n-2) 2n-1， Tn=1 20+4
17、21+7 22+ +(3n-5) 2n-2+(3n-2) 2n-1， 2Tn=1 21+4 22+ +(3n-5) 2n-1+(3n-2) 2n， 错位相减得： -Tn=1+3(21+22+ +2n-1)-(3n-2) 2n =1+3 12 1 212n-(3n-2) 2n =-5-(3n-5) 2n， Tn=5+(3n-5) 2n. 19.某区工商局、消费者协会在 3月 15 号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识 .组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群众，按他们的年龄分组：第 1 组 20， 30)，第 2组 30， 40)，第 3组
18、 40， 50)，第 4组 50，60)，第 5组 60， 70，得到的频率分布直方图如图所示 . ( )若电视台记者要从抽取的群众中选 1人进行采访，求被采访人恰好在第 2组或第 4组的概率； ( )已知第 1组群众中男性有 2人，组织方要从第 1组中随机抽取 3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率 . 解析： ( )设第 2组 30， 40)的频率为 f2，利用概率和为 1，求解即可 . ( )设第 1组 30， 40)的频数 n1，求出 n1，记第 1组中的男性为 x1， x2，女性为 y1， y2， y3，y4列出随机抽取 3名群众的基本事件，列出至少有两名女性的基本事件
19、，然后求解至少有两名女性的概率 . 答案： ( )设第 2组 30， 40)的频率为 f2=1-(0.005+0.01+0.02+0.03) 10=0.35； 第 4组的频率为 0.02 10=0.2. 所以被采访人恰好在第 2组或第 4组的概率为 P1=0.35+0.2=0.55. ( )设第 1组 30， 40)的频数 n1，则 n1=120 0.005 10=6. 记第 1组中的男性为 x1， x2，女性为 y1， y2， y3， y4. 随机抽取 3名群众的基本事件是： (x1， x2， y1)， (x1， x2， y2)， (x1， x2， y3)， (x1， x2， y4)(x1，
20、y2， y1)， (x1， y3， y2)， (x1， y1， y3)， (x1， y4， y1)， (x1， y2， y4)， (x1， y3， y4)， (x2， y2，y1)， (x2， y3， y2)， (x2， y1， y3)， (x2， y4， y1)， (x2， y2， y4)， (x2， y3， y4)， (y1， y2， y3)，(y1， y2， y4)， (y2， y3， y4)， (y1， y3， y4)共 20种 . 其中至少有两名女性的基本事件是： (x1， y2， y1)， (x1， y3， y2)， (x1， y1， y3)， (x1， y4， y1)，(x1，
21、y2， y4)， (x1， y3， y4)， (x2， y2， y1)， (x2， y3， y2)， (x2， y1， y3)， (x2， y4， y1)， (x2，y2， y4)， (x2， y3， y4)， (y1， y2， y3)， (y1， y2， y4)， (y2， y3， y4)， (y1， y3， y4)共 16种 . 所以至少有两名女性的概率为 P2=16 420 5. 20.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面 ABC为等腰直角三角形， ABC=90， AB=4， AA1=6，点 M时 BB1中点 . (1)求证；平面 A1MC平面 AA1C1C； (2)求点 A到
22、平面 A1MC 的距离 . 解析： (1)以 B 为原点， BC 为 x 轴， BA 为 y 轴， BB1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面 A1MC平面 AA1C1C. (2)由1AA=(0， 0， 6)，平面 A1MC 的法向量 n =(3， -3， 4)，利用向量法能求出点 A 到平面A1MC的距离 . 答案： (1)以 B为原点， BC 为 x轴， BA为 y轴， BB1为 z轴，建立空间直角坐标系， 由题意 A1(0， 4， 6)， M(0， 0， 3)， C(4， 0， 0)， A(0， 4， 0)， 1MA =(0， 4， 3)， MC =(4， 0， -3)，
23、 1AA =(0， 0， 6)， AC =(4， -4， 0)， 设平面 A1MC 的法向量为 n=(x， y， z)， 则1 4 3 04 3 0n M A y zn M C x z ，取 x=3，得 n =(3， -3， 4)， 设平面 AA1C1C的法向量 m =(a， b， c)， 则1 60 4 4 0m A A cm A C a b ，取 a=1，得 m =(1， 1， 0)， m n =0，平面 A1MC平面 AA1C1C. (2) 1AA =(0， 0， 6)，平面 A1MC的法向量 n =(3， -3， 4)， 点 A到平面 A1MC的距离： d=1 2 4 1 2 3 41
24、734|A A nn . 21.已知函数 f(x)=lnx-(1+a)x2-x. (1)讨论 函数 f(x)的单调性； (2)当 a 1时，证明：对任意的 x (0， + )，有 f(x) -lnxx-(1+a)x2-a+1. 解析： (1)求出原函数的导函数，对 a分类求解原函数的单调区间； (2)利用分析法证明，把要证的不等式转化为证明 lnxx+lnx-x 0 成立，即证 lnxx x-lnx.令 g(x)=lnxx， h(x)=x-lnx，由导数求出 g(x)的最大值和 h(x)的最小值，由 g(x)的最大值小于 h(x)的最小值得答案 . 答案： (1)由 f(x)=lnx-(1+a
25、)x2-x，得 f (x)= 22 1 11 2 1 1 a x xaxxx (x 0)， 当 a=-1时， f (x)=1 xx， 当 x (0， 1)时， f (x) 0， f(x)为增函数，当 x (1， + )时， f (x) 0， f(x)为减函数； 当 a -98时， -2(1+a) 0， -2(1+a)x2-x+1 0，即 f (x) 0， f(x)在 (0， + )上为增函数； 当 -98 a -1 时， -2(1+a) 0，二次方程 -2(1+a)x2-x+1=0 有两根， 0 x1= 1 8 941aa x2= 1 8 941aa ， 当 x (0， x1)， x (x2，
26、 + )时， f (x) 0， f(x)为增函数，当 x (x1， x2)时， f (x) 0，f(x)为减函数； 当 a -1 时， -2(1+a) 0，二次方程 -2(1+a)x2-x+1=0 有两根， x1= 1 8 941aa 0， x2= 1 8 941aa 0， 当 x (0， x2)时， f (x) 0， f(x)为增函数，当 x (x2， + )时， f (x) 0， f(x)为减函数 . (2)要证 f(x) -lnxx-(1+a)x2-a+1， 即证 lnx-(1+a)x2-x -lnxx-(1+a)x2-a+1，即 lnxx+lnx-x 1-a， a 1， 1-a 0，
27、也就是证 lnxx+lnx-x 0，即证 lnxx x-lnx. 令 g(x)=lnxx，则 g (x)=21 lnxx ， 当 x (0， e)时， g (x) 0， g(x)为增函数， 当 x (e， + )时， g (x) 0， g(x)为减函数， g(x)max=g(e)= 1e； 令 h(x)=x-lnx， h (x)=1-11xxx， 当 x (0， 1)时， h (x) 0， h(x)为减函数， 当 x (1， + )时， h (x) 0， h(x)为增函数， h(x)min=h(1)=1， lnxx x-lnx成立， 故对任意的 x (0， + )，有 f(x) -lnxx-(
28、1+a)x2-a+1. 22.选修 4-1：几何证明选讲 如图所示，已知 PA 与 O相切， A为切点，过点 P的割线交圆于 B、 C两点，弦 CD AP， AD、BC相交于点 E， F为 CE上一点，且 DE2=EF EC. (1)求证： CE EB=EF EP； (2)若 CE： BE=3： 2， DE=3， EF=2，求 PA的长 . 解析： (I)由已知可得 DEF CED，得到 EDF= C.由平行线的性质可得 P= C，于是得到 EDF= P，再利用对顶角的性质即可证明 EDF EPA.于是得到 EA ED=EF EP.利用相交弦定理可得 EA ED=CE EB，进而证明结论； (
29、II)利用 (I)的结论可得 BP=154，再利用切割线定理可得 PA2=PB PC，即可得出 PA. 答案： (I) DE2=EF EC， DEF公用， DEF CED， EDF= C. 又弦 CD AP， P= C， EDF= P， DEF= PEA EDF EPA. EA EPEF ED， EA ED=EF EP. 又 EA ED=CE EB， CE EB=EF EP； (II) DE2=EF EC， DE=3， EF=2. 32=2EC， CE=92. CE： BE=3： 2， BE=3. 由 (I)可知： CE EB=EF EP， 92 3=2EP，解得 EP=274， BP=EP-
30、EB=274 3=154. PA是 O的切线， PA2=PB PC， PA2=154 (274+92)，解得 PA=1534. 23.在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程12322xtyt ，(t为参数 )，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为： =4cos . ( )直线 l的参数方程化为极坐标方程； ( )求直线 l与曲线 C 交点的极坐标 (其中 0， 0 2 ). 解析： ( )消去参数 t，求出直线 l的普通方程，由此能求出直线 l的极坐标方程 . ( )求出曲线 C的直角坐标方程，从而求出直线 l与曲线 C交点的直角坐标，由此能求出直线
31、 l与曲线 C交点的极坐标 . 答案： ( )直线 l的参数方程12322xtyt ，(t为参数 )， 消去参数 t，得直线 l的普通方程为 3 x-y-2 3 =0， 直线 l的极坐标方程为 3 cos - sin -2 3 =0. ( )曲线 C的极坐标方程为： =4cos， 2=4 cos， 曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2-4x=0， 联立2223403 0xyx y x ，得 x2-4x+3=0，解得 x1=1， x2=3， 直线 l与曲线 C交点的直角坐标为 (1， - 3 )， (3， 3 )， 直线 l与曲线 C交点的极坐标为 (2， 53)， (2 3 ，6). 24.已
32、知关于 x的不等式 |2x-1|-|x-1| a. ( )当 a=3时，求不等式的解集； ( )若不等式有解，求实数 a的取值范围 . 解析： ( )当 a=3时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求 . ( )若不等式有解，则 a 大于或等于 f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值，利用单调性求的 f(x)的最小值，从而求得 a 的范围 . 答案： ( )当 a=3时，关于 x的不等式即 |2x-1|-|x-1| 3， 故有 1 2 12,13xxx ， 或 12 1 1123xxx ， ，或 12 1 1 3x xx ， 解求得 -3 x 12，解求得 12 x 1，解求得 1 x 3. 综上可得，不等式的解集为 -3， 3. ( )若不等式有解，则 a大于或等于 f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值 . 由 f(x)=13212121xxxxxx ， ， ， ，可得函数 f(x)的最小值为 f(12)=-12，故 a -12.
