1、河南省专升本考试高等数学模拟 7 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 的定义域为_ A0，1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.以上答案皆不对3.下列函数相同的是_ A B Cy=x，y=cos(arccosx) D （分数：2.00）A.B.C.D.4.当 x0 时，下列无穷小量与 ln(1+2x)等价的是_ Ax B （分数：2.00）A.B.C.D.5. （分数：2.00）A.B.C.D.6. _ A
2、 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点8.设函数 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.连续且 f“(1)=-1D.连续且 f“(1)=19.若 f(x)可导，则下列各式错误的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则 f“(x)=0 的实根个数为_（分数：2.00）A.1B.2C.3D.411.设 y=cosx，则 y (2016) =_（分数：2.00）A.-cosxB.cosxC.-sinxD.sinx12.曲线 （分数：2
3、.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线13.设 f(x)具有二阶连续导数， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极大值B.f(2)是 f(x)的极小值C.(2，f(2)是曲线的拐点D.x=2 不是曲线的极值点14.过曲线 y=arctanx+e x 上的点(0，1)处的法线方程为_（分数：2.00）A.2x-y+1=0B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0D.x+2y-2=015.若 （分数：2.00）A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=-2，b=1D.a=2，b=-116.已知 de -x f(x)=e x dx，f
4、(0)=0，则 f(x)=_ A.e2x+ex B.e2x-ex C.e2x+e-x D.e2x-e-x（分数：2.00）A.B.C.D.17.设在区间a，b上，f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 （分数：2.00）A.S1S2S3B.S2S1S3C.S3S1S2D.S2S3S118.设 （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 f(x)在-a，a上连续，则 _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.20.对于广义积分 下列结论正确的是_ A发散 B收敛于 0 C收敛于 （分数：2.00）A.B.C.D.21.C、C 1 、C 2 为任意常数，微分方程 （分数：2.00）A.
5、y=coswxB.y=CsinwxC.y=C1coswx+C2sinwxD.y=Ccoswx+Csinwx22.用待定系数法求微分方程 y“-6y“+9y=xe 3x 的特解时，应设为_ A.y*=ae3x B.y*=axe3x C.y*=(ax+b)x2e3x D.y*=(ax+b)e3x（分数：2.00）A.B.C.D.23.设 a，b 为非零向量，且 ab则必有_（分数：2.00）A.|a+b|=|a|+|b|B.|a-b|=|a|-|b|C.|a+b|=|a-b|D.a+b=a-b24._ （分数：2.00）A.3B.-3C.-2D.225.设函数 f(xy，x-y)=x 2 +y 2
6、 ，则 （分数：2.00）A.2x+2yB.2+2yC.2x-2yD.2-2y26.设 D=(x，y)|0x2，0y1，则 （分数：2.00）A.B.C.D.27. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.L 是抛物线 y 2 =x 上从点 A(1，1)到 B(1，-1)的一段弧，则 _ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.设正项级数 收敛，则下列级数收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.下列命题正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 f(x)=
7、1-ln(2x+1)的反函数为 f -1 (x)= 1 （分数：2.00）32. （分数：2.00）33.设 （分数：2.00）34.点(0，1)是曲线 y=x 3 +ax 2 +b 的拐点，则 a= 1，b= 2 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.已知 则 （分数：2.00）37.若 则 （分数：2.00）38.在空间直角坐标系中，以 A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为 1 （分数：2.00）39.以 y 1 =e x sinx，y 2 = excosx 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 1 （分数：2.00）40.设 的
8、收敛半径为 R，则 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.讨论函数 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.求平行于 x 轴且经过两点(4，0，-2)和(5，1，7)的平面方程 （分数：5.00）_46.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，且 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：5.00）_47.计算 （分数：5.00）_48.求微分方程 2y“+y“-y=3e x 的通解 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.将函数 （分数：5.00）_四
9、、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求由曲面 z=x 2 +y 2 ，与平面 x+y=1，及三个坐标面所围成立体的体积 （分数：7.00）_52.用汽船拖载重相同的小船若干只，在两港之间来回送货物，已知每次拖 4 只小船，一日能来回 16 次，每次拖 7 只，则一日能来回 10 次，若小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回拖多少次，每次拖多少小船能使货运总量达到最大 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 7 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数
10、：60.00)1.函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 的定义域为_ A0，1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 所以定义域为 2.函数 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数D.以上答案皆不对解析：解析 所以 3.下列函数相同的是_ A B Cy=x，y=cos(arccosx) D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A、B、C 给出的两个函数的定义域不同，只有 D 选项中的两个函数定义域相同，对应法则也相同故应选 D4.当 x0 时，下列无穷小量与 ln(1+2x)等价的是_ Ax B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解
11、析 因为当 x0 时 sin2x2x，ln(1+2x)2x， 所以当 x0 时 ln(1+2x)sin2x，故应选 D5. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 6. _ A （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 7.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点解析：解析 因为 x=0 时函数无意义，又8.设函数 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.连续且 f“(1)=-1D.连续且 f“(1)=1 解析：解析 因为 所以 f(x)在 x=1 处连续 9.若 f(x)可导，则下列各式错误的是_ A B C D （分数：2.00）
12、A.B.C.D. 解析：解析 根据函数在某点导数的定义，有 10.设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则 f“(x)=0 的实根个数为_（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 因为 f(x)在区间1，2、2，3、3，4上都满足罗尔定理的条件故在每个区间上至少各存在一个点使 f“(x)=0 成立，又由于 f“(x)为一元三次方程，故 f“(x)=0 的实根数只有 3 个故应选C11.设 y=cosx，则 y (2016) =_（分数：2.00）A.-cosxB.cosx C.-sinxD.sinx解析：解析 12.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.
13、既有水平又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线解析：解析 13.设 f(x)具有二阶连续导数， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极大值 B.f(2)是 f(x)的极小值C.(2，f(2)是曲线的拐点D.x=2 不是曲线的极值点解析：解析 知当 x2 时，14.过曲线 y=arctanx+e x 上的点(0，1)处的法线方程为_（分数：2.00）A.2x-y+1=0B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0D.x+2y-2=0 解析：解析 法线斜率为 所以法线方程 15.若 （分数：2.00）A.a=2，b=1 B.a=1，b=2C.a=-2，b=1D.a=2，b
14、=-1解析：解析 由 f(x)在 x=0 处可导知 b=1， 16.已知 de -x f(x)=e x dx，f(0)=0，则 f(x)=_ A.e2x+ex B.e2x-ex C.e2x+e-x D.e2x-e-x（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 de -x f(x)=e x dx 得 e -x f(x)=e x +C， 即 f(x)=e 2x +Ce x ，把 f(0)=0 代入得 C=-1， f(x)=e 2x -e x ，故应选 B17.设在区间a，b上，f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 （分数：2.00）A.S1S2S3B.S2S1S3 C.S3S1S2D
15、.S2S3S1解析：解析 由 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0 知函数在a，b上为 x 轴上方的、单调递减的、凹的曲线，S 1 是曲边梯形的面积，S 2 是以 f(b)为高的矩形面积，S 3 是直角梯形的面积，显然有 S 2 S 1 S 3 故应选 B18.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 19.设 f(x)在-a，a上连续，则 _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)-f(-x)在-a，a上是奇函数，所以20.对于广义积分 下列结论正确的是_ A发散 B收敛于 0 C收敛于 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 21.C
16、、C 1 、C 2 为任意常数，微分方程 （分数：2.00）A.y=coswxB.y=CsinwxC.y=C1coswx+C2sinwx D.y=Ccoswx+Csinwx解析：解析 因为二阶微分方程的通解中必须含有两个相互独立的任意常数，而所给的四个选项中只有C 符合，故应选 C22.用待定系数法求微分方程 y“-6y“+9y=xe 3x 的特解时，应设为_ A.y*=ae3x B.y*=axe3x C.y*=(ax+b)x2e3x D.y*=(ax+b)e3x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 =3 是特征方程的二重根，x 是一次多项式， 所以应设为 y * =x 2 (
17、ax+b)e 3x ，故应选 C23.设 a，b 为非零向量，且 ab则必有_（分数：2.00）A.|a+b|=|a|+|b|B.|a-b|=|a|-|b|C.|a+b|=|a-b| D.a+b=a-b解析：解析 因为 ab，以 a，b 为斜边的平行四边形是矩形，对角线相等， 即|a+b|=|a-b|，故应选 C24._ （分数：2.00）A.3B.-3C.-2D.2 解析：解析 25.设函数 f(xy，x-y)=x 2 +y 2 ，则 （分数：2.00）A.2x+2yB.2+2y C.2x-2yD.2-2y解析：解析 因为 f(xy，x-y)=x 2 +y 2 =(x-y) 2 +2xy，所
18、以 f(x，y)=y 2 +2x， 26.设 D=(x，y)|0x2，0y1，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 27. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 28.L 是抛物线 y 2 =x 上从点 A(1，1)到 B(1，-1)的一段弧，则 _ A0 B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 则 29.设正项级数 收敛，则下列级数收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 级数 的各项取绝对值后的级数为 是收敛的，从而级数30.下列命题正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D
19、. 解析：解析 可以通过举反例排除法确定，例如设 可判断 A 与 B 均不正确，而 C 的通项二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 f(x)=1-ln(2x+1)的反函数为 f -1 (x)= 1 （分数：2.00）解析： 解析 由 y=1-ln(2x+1)，得 ln(2x+1)=1-y， 即 2x+1=e 1-y ，所以 互换 x、y 得 故所求反函数为 32. （分数：2.00）解析：e 6 解析 33.设 （分数：2.00）解析：2解析 因为 f(0)=k，则由连续定义可知34.点(0，1)是曲线 y=x 3 +ax 2 +b 的拐点，则 a= 1，b= 2 （分数：2
20、.00）解析：0，1 解析 由题设知 35. （分数：2.00）解析：解析 36.已知 则 （分数：2.00）解析：-1解析 37.若 则 （分数：2.00）解析：0 解析 因为 z(z，0)=0，所以 z x (x，0)=0，故 38.在空间直角坐标系中，以 A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为 1 （分数：2.00）解析：解析 39.以 y 1 =e x sinx，y 2 = excosx 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 1 （分数：2.00）解析：y“-2y“+2y=0 解析 由题设知，其特征根为 r 1，2 =1i， 从而有(r-1
21、) 2 =-1，即 r 2 -2r+2=0， 所以微分方程为 y“-2y“+2y=0.40.设 的收敛半径为 R，则 （分数：2.00）解析：解析 因为 的收敛半径为 R，而 是缺偶次方项的级数，根据这两个级数收敛半径的关系知其收敛半径为三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.讨论函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 所以 f(x)在 x=0 处连续， 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 令 x-1=2sint，则 x=1+2sint，dx=2costdt， 44.求定积分 （分数：5.00）
22、_正确答案：()解析：45.求平行于 x 轴且经过两点(4，0，-2)和(5，1，7)的平面方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为所求平面平行于 z 轴，故设所求平面方程为 By+Cz+D=0.将点(4，0，-2)及(5，1，7)分别代入方程得 从而解得 因此所求平面的方程为 46.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，且 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 z=f(xy，x 2 +y 2 )且 f 具有二阶连续偏导数， 47.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示，在极坐标系下积分区域 48.求微分方程 2y“+y
23、“-y=3e x 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：对应齐次方程的特征方程为 2r 2 +r-1=0， 解得特征根为 所以对应齐次方程的通解为 (C 1 ，C 2 为任意常数) 又因为 =1 不是特征根，可设特解为 y * =Ae x ， 代入原方程得 2Ae x +Ae x -Ae x =3e x ，解得 故所求方程的通解为 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 当 =3x 21，即 时，原级数绝对收敛， 当 =3x 2 1，即 时，原级数发散， 所以此幂级数的收敛半径 当 时，幂级数化为 发散， 故原幂级数的收敛域为 50.将函数 （分数：5.00）_正确
24、答案：()解析：四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求由曲面 z=x 2 +y 2 ，与平面 x+y=1，及三个坐标面所围成立体的体积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：该立体是以曲面 z=x 2 +y 2 为顶部，以两个坐标面和平面 x+y=1 为侧面，底面在 xOy 面上的三角形区域 D=(x，y)|0x1，0y1-x， 52.用汽船拖载重相同的小船若干只，在两港之间来回送货物，已知每次拖 4 只小船，一日能来回 16 次，每次拖 7 只，则一日能来回 10 次，若小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回拖多少次，每次拖多少小船能使货运总量达到最大 （分数：7.00）_正确答案：()解析：由已知，增加了 3 只船，减少 6 次，设每次拖 x 只船，则增加 x-4 只船，设减少 y 次，则 3:6=(x-4):y，y=2(x-4)，设运货总量为 M 则 M=x16-2(x-4)=24x-2x 2 ，x0。 M“=24-4x=0，解得 x=6， 又 M“=-40，所以 x=6 为极大值点， 故一次拖 6 只船，每日来回 12 次能使货运总量达到最大。五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：取函数 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导， 且
