1、河南省专升本考试高等数学模拟 9 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设函数 f(x)的定义域为(-1，1，则函数 e f(x-1) 的定义域为_（分数：2.00）A.-2，2B.(-1，1C.(-2，0D.(0，22.若 f(x)为奇函数，则 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.不能确定3.若函数 f(x+1)=x 2 ，则 f(x)=_ A.x2 B.(x+1)2 C.(x-1)2 D.x2-1（分数：2.00）A.B.C.D.4.当 x0 时，无穷小量 e 2x -1 是无穷小量 sin3x 的_
2、（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小5. _ A B C0 D （分数：2.00）A.B.C.D.6.若 则 f(x)=_ Ax+1 Bx+5 C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 要使 f(x)在(-，+)上连续，则 a=_ A0 B1 C （分数：2.00）A.B.C.D.8.函数 （分数：2.00）A.连续的点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点9.若 f(x)为可导的奇函数，则 f“(x)一定是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数10.由参数方程 确定函数 y(x)的二阶导数 _ A
3、B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 f (2013) (x)=x 2 +lnx，则 f (2016) (x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.12.曲线 （分数：2.00）A.只有垂直渐近线B.既有垂直又有水平渐近线C.只有水平渐近线D.既无垂直又无水平渐近线13.方程 x 4 -x-1=0 至少有一个根的区间是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.14.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.15.导数 _ Aarcsinx B0 Carcsinb-arcsina D （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 f“(x)是连续函数，则 df
4、“(x)dx=_（分数：2.00）A.f(x)dxB.f“(x)dxC.f(x)D.f“(x)17.sin2x 的一个原函数是_ A2cos2x B C-cos 2 x D （分数：2.00）A.B.C.D.18.设区域 D 由直线 x=a，x=b(ba)，曲线 y=f(x)，y=g(x)围成，则区域 D 的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.设 （分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数21.微分方程 xy“=y“的通解是_ Ay=C 1 x+C 2 By=x 2 +C Cy=C
5、 1 x 2 +C 2 D （分数：2.00）A.B.C.D.22.用待定函数法求微分方程 y“-y“-6y=xe 3x 的特解时，应设 y * =_ A.ae3x B.axe3x C.x2(ax+b)e3x D.x(ax+b)e3x（分数：2.00）A.B.C.D.23.设向量 ab，则(a+b)(a+2b)=_ A.a2+2b2 B.3ab C.a2+2ab+2b2 D.a2+3ab+b2（分数：2.00）A.B.C.D.24.设 则 dz=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处有两个偏导数 （分数：2.00）A.连续
6、B.可微C.不一定连续D.一定不连续26.若 （分数：2.00）A.B.C.D.27.(其中 D：|x|1，|y|1)=_ （分数：2.00）A.0B.1C.2D.428.设 L 为以点 O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)为顶点的正方形正向边界，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.029.正项级数 收敛的充分必要条件是_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.30.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不确定二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）32. （分数：2.00）33. 则 （分数：2.00
7、）34.设 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.如果函数 f(x)在区间-2，2上连续，且平均值为 3，则 （分数：2.00）37.设 f(x+y，xy)=x 2 +3xy+y 2 +5，则 f(x，y)= 1 （分数：2.00）38.方程 （分数：2.00）39.方程(y“) 3 -xy“+cosy=x 2 +1 是 1 阶微分方程 （分数：2.00）40.已知数项级数 收敛，则其和 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42. （分数：5.00）_43. （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.求
8、过点(2，0，-3)且与直线 （分数：5.00）_46.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值 （分数：5.00）_47.在曲面 z=xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0，并写出法线方程 （分数：5.00）_48.设函数 f(x)可微，且 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求幂级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.设平面图形 D 由曲线 （分数：7.00）_52.求平面 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)上可
9、导，且 f(a)=f(b)=0. 证明：至少一点 (a，b)使 f“()+2f()=0. （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 9 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设函数 f(x)的定义域为(-1，1，则函数 e f(x-1) 的定义域为_（分数：2.00）A.-2，2B.(-1，1C.(-2，0D.(0，2 解析：解析 因为-1x-11，所以 0x2，应选 D2.若 f(x)为奇函数，则 （分数：2.00）A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.不能确定解析：解析 令 又 f(x)为奇函数，所以 3.若函数
10、 f(x+1)=x 2 ，则 f(x)=_ A.x2 B.(x+1)2 C.(x-1)2 D.x2-1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 令 t=x+1，则 x=t-1，f(x+1)=f(t)=(t-1) 2 ，则 f(x)=(x-1) 2 ，应选 C4.当 x0 时，无穷小量 e 2x -1 是无穷小量 sin3x 的_（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小 解析：解析 5. _ A B C0 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 6.若 则 f(x)=_ Ax+1 Bx+5 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解
11、析：解析 由题可知，7.设 要使 f(x)在(-，+)上连续，则 a=_ A0 B1 C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 根据连续的定义可知8.函数 （分数：2.00）A.连续的点B.可去间断点C.跳跃间断点 D.第二类间断点解析：解析 9.若 f(x)为可导的奇函数，则 f“(x)一定是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：解析 因为 f(-x)=-f(x)两边同时对 x 求导得 f“(-x)=f“(x)，所以 f“(x)为偶函数，故应选 B10.由参数方程 确定函数 y(x)的二阶导数 _ A B C D （分数：2.00）A.B.
12、 C.D.解析：解析 因为11.设 f (2013) (x)=x 2 +lnx，则 f (2016) (x)=_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 12.曲线 （分数：2.00）A.只有垂直渐近线B.既有垂直又有水平渐近线C.只有水平渐近线 D.既无垂直又无水平渐近线解析：解析 因为 所以 y=1 为水平渐近线，13.方程 x 4 -x-1=0 至少有一个根的区间是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 f(x)=x 4 -x-1，则 f(1)=1-1-1=-10，f(2)=2 4 -2-1=130，由零点定理可知至少存在一个 (1，2)，
13、使 f()=0，故应选 D14.函数 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 15.导数 _ Aarcsinx B0 Carcsinb-arcsina D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为定积分 的值为常数，常数的导数等于 0，所以16.设 f“(x)是连续函数，则 df“(x)dx=_（分数：2.00）A.f(x)dxB.f“(x)dx C.f(x)D.f“(x)解析：解析 根据不定积分的性质知 df“(x)dx=f“(x)dx，故应选 B17.sin2x 的一个原函数是_ A2cos2x B C-cos 2 x D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析
14、 验证四个答案中哪个函数的导数是 sin2x，(-cos 2 x)“=-2cosx(cosx)“=2cosxsinx-sin2x故应选 C18.设区域 D 由直线 x=a，x=b(ba)，曲线 y=f(x)，y=g(x)围成，则区域 D 的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由定积分的几何意义可知，区域 D 的面积19. _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 20.设 （分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零 D.不为常数解析：解析 因为 e cost sint 是以 2 为周期的奇函数， 所以 21.微分方程 x
15、y“=y“的通解是_ Ay=C 1 x+C 2 By=x 2 +C Cy=C 1 x 2 +C 2 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 根据通解的概念首先排除 B 与 D，现在对 A、C 进行验证后 A 不正确，故应选 C22.用待定函数法求微分方程 y“-y“-6y=xe 3x 的特解时，应设 y * =_ A.ae3x B.axe3x C.x2(ax+b)e3x D.x(ax+b)e3x（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 =3 是特征方程的一重特征根，p(x)为一次多项式，所以特解应设为 y * =x(ax+b)e 3x ，故应选 D23.设向量 ab，则
16、(a+b)(a+2b)=_ A.a2+2b2 B.3ab C.a2+2ab+2b2 D.a2+3ab+b2（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 a6，故 ab=ba=0，(a+b)(a+2b)=a 2 +2b 2 ，故应选 A24.设 则 dz=_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 所以 25.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处有两个偏导数 （分数：2.00）A.连续B.可微C.不一定连续 D.一定不连续解析：解析 偏导存在不一定连续，故应选 C26.若 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 极坐标积分区域为 27.
17、(其中 D：|x|1，|y|1)=_ （分数：2.00）A.0 B.1C.2D.4解析：解析 根据二重积分的对称性知积分值为 0，故应选 A28.设 L 为以点 O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)为顶点的正方形正向边界，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.0 解析：解析 因为29.正项级数 收敛的充分必要条件是_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由正项级数收敛的基本准则知，正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界，故应选 D30.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.收敛性不确定解析：解析 令 x-1=t，问题化为级数
18、二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）解析：2解析 由 f(x)的表达式可知，当 x=0 时，f(0)=2.32. （分数：2.00）解析：解析 33. 则 （分数：2.00）解析：0解析 34.设 （分数：2.00）解析： 解析 对 两边求导得 2f(2x-1)=e -x -xe -x =(1-x)e -x ，即 设 t=2x-1 则 代入得 所以 35. （分数：2.00）解析：x 2 e x -2xe x +2e x +C 解析 36.如果函数 f(x)在区间-2，2上连续，且平均值为 3，则 （分数：2.00）解析：-12解析 设 f(x)的平均值为
19、f()，则 因此37.设 f(x+y，xy)=x 2 +3xy+y 2 +5，则 f(x，y)= 1 （分数：2.00）解析：x 2 +y+5 解析 f(x+y，xy)=x 2 +3xy+y 2 +5=(x+y) 2 +xy+5， 所以 f(x，y)=x 2 +y+5.38.方程 （分数：2.00）解析：椭球面解析 39.方程(y“) 3 -xy“+cosy=x 2 +1 是 1 阶微分方程 （分数：2.00）解析：二 解析 由微分方程的基本概念可知(y“) 3 -xy“+cosy=x 2 +1 是二阶微分方程40.已知数项级数 收敛，则其和 （分数：2.00）解析：e-1 解析 因为 取 x
20、=1 得 所以 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42. （分数：5.00）_正确答案：()解析：两边同取自然对数，得 两边分别对 x 求导，得 43. （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.求过点(2，0，-3)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即 46.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解方程组 求得驻点为 f xx =e 2x (
21、4x+4y 2 +8y+4)，f xy =e 2x (4y+4)，f yy =2e 2x ， 由于 B 2 -AC=-4e 2 0，且 A0， 所以 为极小值点，函数的极小值为 47.在曲面 z=xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0，并写出法线方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设所求点为 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )，曲面在该点处的法向量为 n=y 0 ，x 0 ，-1，平面的法向量为1，3，1， 按题意，有 求得 x 0 =-3，y 0 =-1， z 0 =x 0 y 0 =3，所以所求点为(-3，-1，3)， 法线方程为 48.设函数 f(x)可
22、微，且 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 两边分别对 x 求导，得 2f(x)-x=f“(x)且有 f(0)=1， 即 y“-2y=-x，y(0)=1， 将 y(0)=1 代入得 所以所求函数为 即 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 则收敛半径 因此|x-1|3，即-2x4，当 x=-2 时，幂级数化为 收敛，当 x=4 时，级数化为 发散，所以幂级数 50.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.设平面图形 D 由曲线 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形 D 如图所示 取 x 为积分变量，
23、且 x0，11，2 (1)平面图形 D 的面积为 (2)平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 52.求平面 （分数：7.00）_正确答案：()解析：设交线上的点为 M(x，y，z)，它到 xOy 面上距离的平方为 z 2 ，问题化为求函数 z 2 在约束条件 和 x 2 + y2=1 下的最小值问题： 作拉格朗日函数 令 又由约束条件，有 解此方程组，得 和 要使 z 2 最小，显然应取 因此 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)=0. 证明：至少一点 (a，b)使 f“()+2f()=0. （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 设 F(x)=f(x)e x2 ，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=f(a)e a2 =0，F(b)=f(b)e b2 =0，即 F(a)=F(b)， 所以至少存在一点 (a，b)，使 F“()=0， 即 F“()=f“()e 2 +f()e 2 2=0， 又 e 2 0，故 f“()+2f()=0.
