1、河南省专升本考试高等数学真题 2004年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：50.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-2，2)B.0，1)(1，2C.(-2，1)(1，2)D.(0，1)(1，2)2.函数 （分数：2.00）A.周期函数B.单调函数C.有界函数D.无界函数3. （分数：2.00）AxB.0C.D.14.当 x0 时，x-sinx 是比 x 2 的_（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小5.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点6.设 f“
2、(x)在点 x 0 的某个邻域内存在，且 f(x 0 )为 f(x)的极大值， （分数：2.00）A.0B.1C.2D.-27.下列函数中，在 x=1处连续但不可导的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.8.下列函数中，在-1，1上满足罗尔定理条件的是_ Ay=lnx 2 By=|x| Cy=cosx D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x)在 x=3的某个邻域内有定义，若 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在且 f“(3)0B.f(x)的导数不存在C.f(x)取得极小值D.f(x)取得极大值10.曲线 （分数：2.00）A.1条B.2条C.3条D.0条11.下列函数对
3、应的曲线在定义域内凹的是_ A.y=e-x B.y=ln(1+x2) C.y=x2-x3 D.y=sinx（分数：2.00）A.B.C.D.12.下列函数中，可以作为同一个函数的原函数的是_ A Bln|lnx|和 2lnx C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.下列等式正确的是_ Af“(x)dx=f(x) Bdd(f(x)=f(x)+C C （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 f“(x)为连续函数，则 A B2f(1)-f(0) C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.若 z=e xy
4、 ，则 dz| (1，2) =_ A.exy(ydx+xdy) B.3e2 C.2e2dx+e2dy D.0（分数：2.00）A.B.C.D.17.设 f(x，y)=(x-4) 2 +y 2 ，则点(4，0)_（分数：2.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点C.极大值点D.极小值点18.设区域 D由 y轴及直线 y=x，y=1 所围成，则 A1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.直线 和直线 （分数：2.00）A.平行但不重合B.重合C.垂直不相交D.垂直相交20.方程 2x 2 -y 2 =1表示的二次曲面是_（分数：2.00）A.球面B.旋转抛物面C.柱面D.圆锥面21
5、.下列级数中，绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.下列级数中，发散的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.23.级数 （分数：2.00）A.B.C.D.24.用待定系数法求方程 y“-2y“+y=xe x 的特解 y*时，下列特解设法正确的是_ A.y*=(ax2+bx+c)ex B.y*=x(ax2+bx+c)ex C.y*=x2(ax+b)ex D.y*=x2(ax2+bx+c)ex（分数：2.00）A.B.C.D.25.设 L为从点 A(1，0)沿 x轴到点 B(-1，0)的直线段，则 L y 2 dx=_（分数：2.00）A.0B.
6、1C.2D.3二、填空题(总题数：15，分数：30.00)26.设 （分数：2.00）27. （分数：2.00）28.设 （分数：2.00）29.设 y=x 3 +5x 2 +e 2x ，则 y (10) = 1 （分数：2.00）30. （分数：2.00）31. （分数：2.00）32.y=x 3 -27x+2在0，1上的最大值为 1 （分数：2.00）33. （分数：2.00）34. （分数：2.00）35.设 e x2 为 f(x)的一个原函数，则e -x2 f(x)dx= 1 （分数：2.00）36.广义积分 （分数：2.00）37.过原点且与直线 （分数：2.00）38.设 （分数：
7、2.00）39. （分数：2.00）40. （分数：2.00）三、判断是非题(总题数：5，分数：10.00)41.若 f(x)在 x=x 0 处连续，则 ff(x)在点 x=x 0 处一定连续 （分数：2.00）A.正确B.错误42.若数列x n 有界，则x n 必收敛 （分数：2.00）A.正确B.错误43.方程 （分数：2.00）A.正确B.错误44. （分数：2.00）A.正确B.错误45.若二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数都存在，则 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微 （分数：2.00）A.正确B.错误四、计算题(总题数：8，分数：40.
8、00)46.计算 （分数：5.00）_47.设 y=y(x)是由方程 x 2 e y +y 2 =1所确定的函数，求 （分数：5.00）_48.计算x 3 cosx 2 dx （分数：5.00）_49.计算 （分数：5.00）_50.设 z=f(x+y，xy)可微，求全微分 dz （分数：5.00）_51.计算 （分数：5.00）_52.求幂级数 （分数：5.00）_53.求方程 y“-y=0的积分曲线，使其在点(0，0)处与直线 y=x相切 （分数：5.00）_五、应用题(总题数：2，分数：14.00)54.某地域人口总数为 50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中 1万人进行了培训，使其
9、掌握此项新技术，并开始在此地域推广设经过时间 t，已掌握此新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为 k(k0)，求 x(t) （分数：7.00）_55.过点 P(1，0)作抛物线 （分数：7.00）_六、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.证明：当 x0 时， （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2004年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：50.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-2，2)B.0，1)(1，2C.(-2，1)(1，
10、2)D.(0，1)(1，2) 解析：解析 由 2.函数 （分数：2.00）A.周期函数B.单调函数C.有界函数 D.无界函数解析：解析 由于3. （分数：2.00）Ax B.0C.D.1解析：解析 要注意，变量是 n则4.当 x0 时，x-sinx 是比 x 2 的_（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小解析：解析 5.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点解析：解析 6.设 f“(x)在点 x 0 的某个邻域内存在，且 f(x 0 )为 f(x)的极大值， （分数：2.00）A.0 B.1C.2D.-2解析
11、：解析 7.下列函数中，在 x=1处连续但不可导的是_ A （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 该题采用排除法A、C 显然在 x=1处不连续，B、D 都在 x=1处连续，但 D在 x=1处可导，故只有 B符合要求8.下列函数中，在-1，1上满足罗尔定理条件的是_ Ay=lnx 2 By=|x| Cy=cosx D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 罗尔定理条件有 3个：f(x)在a，b上连续；f(x)在(a，b)内可导；f(a)=f(b)A不满足，lnx 2 在 x=0处不连续B 不满足，|x|在 x=0处不可导C 满足罗尔定理的条件D 不满足、和9.设 f(x)在
12、x=3的某个邻域内有定义，若 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在且 f“(3)0B.f(x)的导数不存在C.f(x)取得极小值D.f(x)取得极大值 解析：解析 因为 所以存在 x=3的某个空心邻域，使得10.曲线 （分数：2.00）A.1条B.2条 C.3条D.0条解析：解析 ，所以 y有水平渐近线 y=0，11.下列函数对应的曲线在定义域内凹的是_ A.y=e-x B.y=ln(1+x2) C.y=x2-x3 D.y=sinx（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 从 A开始验证y=e -x ，y“=-e -x ，y“=e -x 0，由于是单项选择，这时就可以下结论：曲线 y
13、=e -x 在定义域内是凹的，直接选 A即可12.下列函数中，可以作为同一个函数的原函数的是_ A Bln|lnx|和 2lnx C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对于每一组答案中的两个函数分别求导，结果一样的，那组答案即为所求A 显然不是，对于 B，令 lnx0，则 令 lnx0，则 13.下列等式正确的是_ Af“(x)dx=f(x) Bdd(f(x)=f(x)+C C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 A 未加常数 C而 B、D 等号右端缺 dx，所以从形式上就不对所以14.设 f“(x)为连续函数，则 A B2f(1)-f(0) C D （分数：2.
14、00）A. B.C.D.解析：解析 15.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 16.若 z=e xy ，则 dz| (1，2) =_ A.exy(ydx+xdy) B.3e2 C.2e2dx+e2dy D.0（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 17.设 f(x，y)=(x-4) 2 +y 2 ，则点(4，0)_（分数：2.00）A.不是驻点B.是驻点但非极值点C.极大值点D.极小值点 解析：解析 f x =2(x-4)，f y =2y，令两式等于零，解得 x=4，y=0，A=f xx =2，B=f xy =0，C=f yy =2，
15、B 2 -AC=-40，A=20，所以点(4，0)为 f(x，y)的极小值点18.设区域 D由 y轴及直线 y=x，y=1 所围成，则 A1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 作出积分区域 D的图形，如图 19.直线 和直线 （分数：2.00）A.平行但不重合 B.重合C.垂直不相交D.垂直相交解析：解析 20.方程 2x 2 -y 2 =1表示的二次曲面是_（分数：2.00）A.球面B.旋转抛物面C.柱面 D.圆锥面解析：解析 方程 2x 2 -y 2 =1缺一个变量 z，因此表示一个母线平行于 z轴的柱面，由于它在 xOy坐标平面中表示双曲线，所以更具体地说，它表
16、示的是双曲柱面21.下列级数中，绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 即 A不绝对收敛， 这是公比 q1 的等比级数，所以发散即 B不绝对收敛，的 p-级数，所以收敛，即 C绝对收敛，22.下列级数中，发散的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 (不存在)A 不满足级数收敛的必要条件，所以发散，交错级数 故 B收敛，的等比级数，所以 C收敛，23.级数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为幂级数24.用待定系数法求方程 y“-2y“+y=xe x 的特解 y*时，下列特解设法正确的是_ A.y*=(ax2
17、+bx+c)ex B.y*=x(ax2+bx+c)ex C.y*=x2(ax+b)ex D.y*=x2(ax2+bx+c)ex（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 先求方程 y“-2y“+y=xe x 对应的齐次方程 y“-2y“+y=0的特征方程 r 2 -2r+1=0得一二重特征根 r=1 这里 f(x)是一多项式与一指数函数的乘积，若单看指数函数 e x ，且 r=1为重根，特解应具有 Ax 2 e x 之形式，若单看多项式函数 x，且原方程不缺 y项，特解应具有 Cx+D之形式，注意到 f(x)是两者乘积，于是特解应具有 Ax 2 e x (Cx+D)之形式，即 x 2 (a
18、x+b)e x 的形式25.设 L为从点 A(1，0)沿 x轴到点 B(-1，0)的直线段，则 L y 2 dx=_（分数：2.00）A.0 B.1C.2D.3解析：解析 二、填空题(总题数：15，分数：30.00)26.设 （分数：2.00）解析：x(x-1) 解析 27. （分数：2.00）解析：1 解析 数列x n ，x n+2 ，x n-2 的区别只是相对多或少了有限项，由数列收敛性质，它们之中若有一个收敛于 A，则全都收敛于 A所以， 28.设 （分数：2.00）解析：解析 f(x)在 x=0处连续，应有29.设 y=x 3 +5x 2 +e 2x ，则 y (10) = 1 （分数
19、：2.00）解析：2 10 e 2x 解析 一般求某函数的高阶导数，需先求前几阶导数，以发现规律，得出结论通过此方法，求得(e 2x ) (10) =2 10 e 2x 30. （分数：2.00）解析：解析 31. （分数：2.00）解析：1解析 32.y=x 3 -27x+2在0，1上的最大值为 1 （分数：2.00）解析：2 解析 y=x 3 -27x+2，y“=3x 2 -27=3(x 2 -9)，因为 x0，1，所以 y“0，即 y单调递减，这样 y在0，1上的最大值应在左端点 x=0处，即最大值为 f(0)=233. （分数：2.00）解析：-1解析 34. （分数：2.00）解析：
20、1解析 利用分部积分法35.设 e x2 为 f(x)的一个原函数，则e -x2 f(x)dx= 1 （分数：2.00）解析：x 2 +C 解析 利用分部积分法，因为 f(x)的一个原函数为 e x2 ，则 36.广义积分 （分数：2.00）解析：q0 解析 显然，第二式中当 q0 时，极限为无穷大，而当 q0 时极限为 37.过原点且与直线 （分数：2.00）解析：2x+y-3z=0解析 该平面的法向量可取直线的方向向量2，1，-3，又平面过点(0，0，0)，故平面的点法式方程为：2x+y-3z=038.设 （分数：2.00）解析：解析 39. （分数：2.00）解析：0 解析 在极坐标系下
21、，区域 D可表示为 所以， 40. （分数：2.00）解析： 解析 因为(1，0)是 f(x，y)定义域内的点，所以 f(x，y)在(1，0)连续，故 三、判断是非题(总题数：5，分数：10.00)41.若 f(x)在 x=x 0 处连续，则 ff(x)在点 x=x 0 处一定连续 （分数：2.00）A.正确B.错误 解析：解析 反例：设 f(x)=lnx，它在 处连续，而 ff(x)=ln(lnx)在 处无定义，所以ff(x)在42.若数列x n 有界，则x n 必收敛 （分数：2.00）A.正确B.错误 解析：解析 反例：数列 1，0，1，0，有界，但它不收敛43.方程 （分数：2.00）
22、A.正确 B.错误解析：解析 显然 在1，e-1上无实根 考察 ln(x+1)=0，令 f(x)=ln(x+1)， 由于 x1，e-1，所以 f“0，故 f(x)在1，e-1上单调递增，而 f(1)=ln(1+1)=ln20，因此，在1，e-1上 f(x)0，故 ln(x+1)=0在1，e-1上无实根，综上所述，方程 44. （分数：2.00）A.正确B.错误 解析：解析 从 y=cosx的图像上可以看出45.若二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数都存在，则 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微 （分数：2.00）A.正确B.错误 解析：解析 考察函数
23、 四、计算题(总题数：8，分数：40.00)46.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 47.设 y=y(x)是由方程 x 2 e y +y 2 =1所确定的函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 F(x，y)=x 2 e y +y 2 -1 F x =2xe y ，F y =x 2 e y +2y， 另外，也可以注意 y是 x的函数，方程 x 2 e y +y 2 =1两边对 x求导2xe y +x 2 e y y“+2yy“=0，解得 所以， 48.计算x 3 cosx 2 dx （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 49.计算 （分数：5.00）
24、_正确答案：()解析：解析 50.设 z=f(x+y，xy)可微，求全微分 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 u=x+y，v=xy，z=f(u，v)，du=dx+dy，dv=ydx+xdy， dz=f u du+f v dv=f u (dx+dy)+f v (ydx+xdy) =(f u +yf v )dx+(f u +xf v )dy51.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 先做出积分区域图，在极坐标系下进行计算 52.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 由于缺项，令(x+1) 2 =t， 所以-2t2，即(x+1) 2 2
25、级数收敛，解得 收敛区间为(不包括端点) 方法二 令 得收敛区间为(不包括端点) 53.求方程 y“-y=0的积分曲线，使其在点(0，0)处与直线 y=x相切 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 y“-y=0 的特征方程为 r 2 -1=0，得特征根 r=1所以通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x 由已知条件 0=C 1 e 0 +C 2 e 0 ，C 1 +C 2 =0， 解得 于是所求积分曲线方程为 五、应用题(总题数：2，分数：14.00)54.某地域人口总数为 50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中 1万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广设经过
26、时间 t，已掌握此新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为 k(k0)，求 x(t) （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 令 y=x(t)由题意可知 y“=ky(50-y)， y(0)=1， 当 t=0时，C=-ln49， 特解为 解得 55.过点 P(1，0)作抛物线 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 做出示意图， 设切线斜率为 k，则切线方程为 y=k(x-1)， 联立 得 k 2 x 2 -(2k 2 +1)x+k 2 +2=0， 由于直线和抛物线相切，所以 b 2 -4a
27、c=0， 即 (2k 2 +1) 2 -4k 2 (k 2 +2)=0，化简得：4k 2 =1， 联系实际解得 解得 x=3， 代入 得 y=1，即切点坐标(3，1) 所以， 方法二 设过点 P(1，0)的抛物线的切线切点为(x 0 ，y 0 )，则切线斜率为： 又切线过点 P(1，0)和点(x 0 ，y 0 )，切线斜率又可表示为： 则 又点(x 0 ，y 0 )在抛物线 上，有： 解、联立的方程组得切点为(3，1)；切线方程为： 该切线与抛物线及 x轴围成的平面图形如图 故，所求旋转体体积为： 六、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.证明：当 x0 时， （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 所以，f(x)单调递增，而 x0，则 f(x)f(0)=0，
