1、河南省专升本考试高等数学真题 2005 年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.x1B.x5C.1x5D.1x52.下列函数中，图形关于 y 轴对称的是_ Ay=xcosx By=x 3 +x+1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，与 e x2 -1 等价的无穷小量是_ A.x B.x2 C.2x D.2x2（分数：2.00）A.B.C.D.4. （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 在 x=0 处连续，则 a=_ A1 B-1 C D （分数：2.00）A.B.C.D
2、.6.设函数 f(x)在 x=1 处可导，且 则 f“(1)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.由方程 xy=e x+y 确定的隐函数 x=x(y)的导数 为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)=_ A.nf(x)n+1 B.n!f(x)n+1 C.(n+1)f(x)n+1 D.(n+1)!f(x)n+1（分数：2.00）A.B.C.D.9.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ Af(x)=1-x 2 ，-1，1 Bf(x)=xe -x ，-1，1 C （分
3、数：2.00）A.B.C.D.10.设 f“(x)=(x-1)(2x+1)，x(-，+)，则在 （分数：2.00）A.增加，曲线 y=f(x)为凹的B.减少，曲线 y=f(x)为凹的C.增加，曲线 y=f(x)为凸的D.减少，曲线 y=f(x)为凸的11.曲线 （分数：2.00）A.只有垂直渐近线B.只有水平渐近线C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线D.无水平、垂直渐近线12.设参数方程为 则二阶导数 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.若f(x)dx=F(x)+C，则cosxf(sinx)dx=_（分数：2.00）A
4、.F(sinx)+CB.-F(sinx)+CC.F(cosx)+CD.-F(cosx)+C15.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16. A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 f(x)在-a，a上连续，则定积分 A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.设 f(x)的一个原函数是 sinx，则f“(x)sinxdx=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.设函数 f(x)在区间a，b上连续，则不正确的是_ A 是 f(x)的一个原函数 B 是 f(x)的一个原函数 C （分数：2.00）A.B.
5、C.D.20.直线 （分数：2.00）A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行21.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件22. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.23.函数 f(x，y)=x 2 +xy+y 2 +x-y+1 的极小值点是_（分数：2.00）A.(1，-1)B.(-1，1)C.(-1，-1)D.(1，1)24.二次积分 写成另一种次序的积分是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 D 是由上半圆周 和 x 轴所围成的闭区域，则 A B C
6、 D （分数：2.00）A.B.C.D.26.设 L 为抛物线 y=x 2 上从 O(0，0)到 B(1，1)的一段弧，则 L 2xydx+x 2 dy=_（分数：2.00）A.-1B.1C.2D.-227.下列级数中，条件收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.下列命题正确的是_ A若级数 收敛，则级数 收敛 B若级数 收敛，则级数 收敛 C若正项级数 都收敛，则级数 收敛 D若级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.29.微分方程(x-2y)y“=2x-y 的通解是_ A.x2+y2=C B.x+y=C C.y=x+1 D.x2-xy+y2=C（分
7、数：2.00）A.B.C.D.30.微分方程 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：15，分数：30.00)31.设 f(x+1)=x 2 +2，则 f(x-2)= 1 （分数：2.00）32. （分数：2.00）33.曲线 y=arctanx 在 （分数：2.00）34.设 （分数：2.00）35.函数 y=2x 2 -lnx 的单调递增区间是 1 （分数：2.00）36.曲线 （分数：2.00）37.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）38.设 f(0)=1，f(2)=2，f“(2)=3，则 （分数：2.00）39.函数 （分数：2.00）40. （分数：2.00）41
8、.由向量 a=1，0，-1，b=0，1，2为邻边构成的平行四边形的面积为 1 （分数：2.00）42. （分数：2.00）43.设 D 是由 y=x，y=0 所围成的第一象限部分，则 （分数：2.00）44.将 （分数：2.00）45.用待定系数法求方程 y“-4y“+4y=(2x+1)e 2x 的特解时，特解应设为 1 （分数：2.00）三、计算题(总题数：8，分数：40.00)46.求极限 （分数：5.00）_47.已知 （分数：5.00）_48.求不定积分 （分数：5.00）_49.设 （分数：5.00）_50.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f(u，v)可微，
9、求 （分数：5.00）_51. （分数：5.00）_52.求幂级数 （分数：5.00）_53.求微分方程(x 2 +1)y“+2xy-cosx=0 的通解 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)54.一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100 元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? （分数：7.00）_55.平面图形由抛物线 y 2 -2x 与该曲线在点 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.试证：
10、当 x0 时，有 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2005 年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.x1B.x5C.1x5 D.1x5解析：解析 因函数有意义的条件为：x-10 且 5-x0，求解得，1x52.下列函数中，图形关于 y 轴对称的是_ Ay=xcosx By=x 3 +x+1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据奇、偶函数的图像特征知，图形关于 y 轴对称的应是偶函数而 A、C 选项中的函数皆为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，只有 D 选项中的函
11、数是偶函数，故选 D3.当 x0 时，与 e x2 -1 等价的无穷小量是_ A.x B.x2 C.2x D.2x2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因 x0 时，e x -1x，所以 e x2 -1x 2 ，故选项 B 正确4. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因5.设 在 x=0 处连续，则 a=_ A1 B-1 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因 在 x=0 处连续，应有6.设函数 f(x)在 x=1 处可导，且 则 f“(1)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 所以7.由方程 xy=e x+y
12、确定的隐函数 x=x(y)的导数 为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 方程可化为 xy-e x+y =0，令 F(x，y)=xy-e x+y ，则由公式知， 8.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)=_ A.nf(x)n+1 B.n!f(x)n+1 C.(n+1)f(x)n+1 D.(n+1)!f(x)n+1（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因 f(x)是有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，于是， f“(x)=2f(x)f“(x)=2f(x) 3 ，f“(x)=23f(x) 2 f“(x
13、)=3!f(x) 4 ， f“(x)=3!4f(x) 3 f“(x)=4!f(x) 5 ，f (n) (x)=n!f(x) n+1 ，故选 B9.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ Af(x)=1-x 2 ，-1，1 Bf(x)=xe -x ，-1，1 C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因选项 A 中的函数 f(x)=1-x 2 在(-1，1)上处处可导，在-1，1上处处连续，又 f(1)=f(-1)=0，满足罗尔定理的条件而选项 B 中，f(x)=xe -x ，f(1)=e -1 ，f(-1)=-e，显然 f(1)f(-1)，不满足定理条件；选项 C 中， 10.设
14、 f“(x)=(x-1)(2x+1)，x(-，+)，则在 （分数：2.00）A.增加，曲线 y=f(x)为凹的B.减少，曲线 y=f(x)为凹的 C.增加，曲线 y=f(x)为凸的D.减少，曲线 y=f(x)为凸的解析：解析 因 所以， 时，f“(x)0，函数递减；又 f“(x)=(2x+1)+2(x-1)=4x-10，所以曲线 y=f(x)在11.曲线 （分数：2.00）A.只有垂直渐近线B.只有水平渐近线C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线 D.无水平、垂直渐近线解析：解析 因 所以曲线有水平渐近线 y=1；又12.设参数方程为 则二阶导数 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D
15、.解析：解析 由公式知 13. A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对等式两边求导得 故， 14.若f(x)dx=F(x)+C，则cosxf(sinx)dx=_（分数：2.00）A.F(sinx)+C B.-F(sinx)+CC.F(cosx)+CD.-F(cosx)+C解析：解析 f(x)dx=F(x)+C， 则cosxf(sinx)dx=f(sinx)d(sinx)=F(sinx)+C15.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对于选项 所以该积分收敛； 对于选项 B： 所以该积分收敛； 对于选项 C： 所以该积
16、分发散； 对于选项 D： 16. A0 B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 x|x|是奇函数，-1，1是关于坐标原点对称的区间，由奇、偶函数的积分性质知，已知积分等于 0，选项 A 正确17.设 f(x)在-a，a上连续，则定积分 A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 18.设 f(x)的一个原函数是 sinx，则f“(x)sinxdx=_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意知，f(x)=(sinx)“=cosx，于是 f“(x)=-sinx；故19.设函数 f(x)在区间a，b上连续，则不正确的是_
17、 A 是 f(x)的一个原函数 B 是 f(x)的一个原函数 C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 选项 A 中， 是一常数，若 ，20.直线 （分数：2.00）A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行 解析：解析 因直线21.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 （分数：2.00）A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.无关条件解析：解析 对于多元函数，可微必可导，而可导不一定可微，故可导是可微的必要条件22. A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因 f(x，2)=lnx，所以 故 f x (1，2)=1；又 所以
18、， 故 从而 23.函数 f(x，y)=x 2 +xy+y 2 +x-y+1 的极小值点是_（分数：2.00）A.(1，-1)B.(-1，1) C.(-1，-1)D.(1，1)解析：解析 由 f(x，y)=x 2 +xy+y 2 +x-y+1， 得 f x (x，y)=2x+y+1，f y (x，y)=x+2y-1， 24.二次积分 写成另一种次序的积分是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因积分区域为 如图所示 区域 D 又可用不等式表示为： 25.设 D 是由上半圆周 和 x 轴所围成的闭区域，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解
19、析 由题意，积分区域 D 如图， 其边界线方程为：x 2 +y 2 =2ax，用极坐标可表示为：r=2acos故 D 可表示为 于是， 26.设 L 为抛物线 y=x 2 上从 O(0，0)到 B(1，1)的一段弧，则 L 2xydx+x 2 dy=_（分数：2.00）A.-1B.1 C.2D.-2解析：解析 27.下列级数中，条件收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对于选项 ，所以，该级数发散；对于选项 B：其绝对值级数 为级数，故该 p-级数发散，即原级数不绝对收敛，又该级数为交错级数，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛，故是条件收敛；对于选项 C：其绝
20、对值级数为28.下列命题正确的是_ A若级数 收敛，则级数 收敛 B若级数 收敛，则级数 收敛 C若正项级数 都收敛，则级数 收敛 D若级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对于 A 选项：若取 则由莱布尼兹判别法知， 皆收敛，但是 显然发散，故选项 A 不正确； 对于选项 B：同样取 A 选项中的 收敛，而 发散，故选项 B 不正确；对于选项 C：由于 皆为正项级数，且收敛，则有 存在 N，使得 nN 时，u n 1，v n 1，进而 由比较判别法知， 皆收敛，又 ，故 由上面的讨论知 收敛，故 收敛，选项 C 正确，对于选项 D：u n =(-1) n ， ，
21、显然 收敛，但此时 ，发散； 29.微分方程(x-2y)y“=2x-y 的通解是_ A.x2+y2=C B.x+y=C C.y=x+1 D.x2-xy+y2=C（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 原微分方程可化为： 于是方程为齐次微分方程 令 则 y=ux，进而 y“=u+xu“，所以微分方程又可化为： 从而 (可分离变量的方程)，于是，分离变量得： 两边积分，有 -ln|1-u+u 2 |=2lnx+C 1 ，即(1-u+u 2 )x 2 =C，C 为任意常数(下同)， 原方程的通解为 30.微分方程 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 此方程为二阶常系数齐次微分方程
22、，其特征方程为：r 2 + 2 =0，于是有特征根：r 1，2 =i，故方程有通解：x=C 1 cost+C 2 sint选项 A 正确二、填空题(总题数：15，分数：30.00)31.设 f(x+1)=x 2 +2，则 f(x-2)= 1 （分数：2.00）解析：x 2 -6x+11 解析 f(x+1)=x 2 +2=(x+1) 2 -2(x+1)+3， f(x)=x 2 -2x+3， f(x-2)=(x-2) 2 -2(x-2)+3=x 2 -6x+1132. （分数：2.00）解析：1 解析 x2 时，x-20 要使 具有极限，需 33.曲线 y=arctanx 在 （分数：2.00）解
23、析：2x-4y+-2=0解析 由导数的几何意义知，曲线 y=arctanx 在 处的切线之斜率为： 于是所求切线的方程为34.设 （分数：2.00）解析： 解析 35.函数 y=2x 2 -lnx 的单调递增区间是 1 （分数：2.00）解析： 解析 令 y“0，即 解之得： 在 y=2x 2 -lnx 中，隐含 x0，即 36.曲线 （分数：2.00）解析：(1，e) 解析 因函数 的定义域为0，+)且 37.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）解析： 解析 两边对 x 求导，得：f(x 3 )3x 2 =1， 将 x=3 代入上式，得： 38.设 f(0)=1，f(2)=2，f“(2)
24、=3，则 （分数：2.00）解析：解析 39.函数 （分数：2.00）解析：0 解析 y“=xe -x ，令 y“=0，得驻点 x=0； 又 y“=e -x +xe -x (-1)=(1-x)e -x ，于是 40. （分数：2.00）解析：ln|x+cosx|+C解析 41.由向量 a=1，0，-1，b=0，1，2为邻边构成的平行四边形的面积为 1 （分数：2.00）解析： 解析 由向量的向量积的几何意义知，以 a、b 为邻边的平行四边形的面积为： 42. （分数：2.00）解析： 解析 方程 43.设 D 是由 y=x，y=0 所围成的第一象限部分，则 （分数：2.00）解析： 解析 由题
25、意，该积分易于在极坐标系下计算又积分区域 D 可表示为： 44.将 （分数：2.00）解析：解析 45.用待定系数法求方程 y“-4y“+4y=(2x+1)e 2x 的特解时，特解应设为 1 （分数：2.00）解析：y*=x 2 (Ax+B)e 2x ，(A、B 为待定常数) 解析 自由项 f(x)=(2x+1)e 2x ，=2 又方程的特征方程式 r 2 -4r+4=0，有二重特征根：r 1、2 =2，所以已知方程的特解应设为： y*=x 2 (Ax+B)e 2x ，(A、B 为待定常数)三、计算题(总题数：8，分数：40.00)46.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 4
26、7.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 是由 y=f(u)与 复合而成， 48.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 凑微分法 方法二 第二换元积分法 49.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 50.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f(u，v)可微，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 由变量间的关系知： 同理： 51. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 积分区域 D 如图所示： 区域 D 可表示为： 于是， 52.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 该幂级数为缺项幂
27、级数 方法一 对任意的 x，其绝对值级数为： 当 x 2 1 时，即-1x1 时，级数收敛； 当 x 2 1 时，即 x1 或 x-1 时，级数发散； 幂级数的收敛区间为：(-1，1) 又当 x=-1 时，对应的数项级数为： 该级数为交错级数， 由莱布尼茨判别法知该级数收敛 当 x=1 时，对应的数项级数为： 该级数为交错级数，由莱布尼茨判别法知，该级数收敛 所以，已知级数的收敛域为：-1，1 方法二 对于级数 令 x 2 =t 时，可化为： 这是标准幂级数，且 所以，级数 的收敛半径 即|t|1 时，级数 收敛，|t|1 时发散； 所以，对于级数 当 x 2 1 时收敛，x 2 1 时发散，
28、即收敛区间为(-1，1) 又任意的 x(-1，1)，因 收敛，所以 收敛， 即 的收敛区间也是(-1，1) 又 x=-1 时，对应的数项级数 收敛；当 x=1 时，对应的数项级数 53.求微分方程(x 2 +1)y“+2xy-cosx=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 设微分方程是一阶线性微分方程，其求解方法有如下几种： 方法一 全微分法 原方程可化为：(x 2 +1)y“=cosx 两边关于 x 积分，得：(x 2 +1)y=sinx+C 所以，方程的通解为： (C 为任意常数)； 方法二 公式法 原方程化为标准形式为： 方程的通解为： 方法三 常数变易法 原方程可化
29、为标准形式： 其齐次方程的通解为 于是，可令原方程的解为： 将其代入上边非齐次微分方程，得： 上式化简即为：C“(x)=cosx， 于是 C(x)=sinx+C，故原方程的通解为： 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)54.一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 2000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100 元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200 元的维修费试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 设月租金为 x，由题意，该房地产公司的收入为： 55.平面图形由抛物线 y 2 -2x 与该曲
30、线在点 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 首先求抛物线 y 2 =2x 在点 处的法线方程 由导数的几何意义知，点 处的切线斜率为： 于是该点处的法线斜率为：k=-1 所以，法线方程为： (1)抛物线 y 2 =2x 与点 处的法线所围平面图形如图所示： 先求解方程组 得两者的交点为： 选 y 为积分变量，积分区间为-3，1，则所求平面图形的面积为： (2)绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为： 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.试证：当 x0 时，有 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 要证明的不等式可化为： 取 f(x)=lnx，当 x0 时，f(x)在x，1+x上满足拉格朗日中值定理的条件，于是在(x，1+x)内至少存在一点 ，使得： 又 x1+x，于是有 结合上式，有 即
