1、河南省专升本考试高等数学真题 2008年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.-2，-1B.-2，1C.-2，1)D.(-2，1)2. A1 B0 C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.点 x=0是函数 （分数：2.00）A.连续点B.跳跃间断点C.可去间断点D.第二类间断点4.下列极限存在的有_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.当 x0 时，ln(1+x 2 )是比 1-cosx的_（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但不等价无穷小6.
2、设函数 （分数：2.00）A.f(x)在 x=-1处连续，在 x=0处不连续B.f(x)在 x=0处连续，在 x=-1处不连续C.f(x)在 x=-1，0 处均连续D.f(x)在 x=-1，0 处均不连续7.过曲线 y=arctanx+e x 上的点(0，1)处的法线方程为_（分数：2.00）A.2x-y+1=0B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0D.x+2y-2=08.设函数 f(x)在 x=0处可导，且 f(x)=f(0)-3x+(x)，且 （分数：2.00）A.-1B.1C.-3D.39.若函数 f(x)=(lnx) x (x1)，则 f“(x)=_ A.(lnx)x-1 B.(ln
3、x)x-1+(lnx)xln(lnx) C.(lnx)xln(lnx) D.x(lnx)x（分数：2.00）A.B.C.D.10.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则 A-2 B-1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.下列函数中，在区间-1，1上满足罗尔定理条件的是_ Ay=e x By=ln|x| Cy=1-x 2 D （分数：2.00）A.B.C.D.12.曲线 y=x 3 +5x-2的拐点是_（分数：2.00）A.x=0B.(0，-2)C.x=0，y=-2D.无拐点13.曲线 （分数：2.00）A.只有水平渐近线B.既有水平渐近线，又有垂直渐近线C.只有垂直渐近线D.既
4、无水平渐近线，又无垂直渐近线14.如果 f(x)的一个原函数是 xlnx,那么x 2 f“(x)dx= _ A.lnx+C B.x2+C C.x3lnx+C D.C-x（分数：2.00）A.B.C.D.15. A B （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 则 I的取值范围为_ A0I1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.若 f(x)为可导函数，f(x)0，且满足 （分数：2.00）A.ln(1+cosx)B.-ln(1+cosx)C.
5、2ln(1+cosx)D.ln(1+cosx)+C20.若函数 f(x)满足 ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.若 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.直线 （分数：2.00）A.直线与平面斜交B.直线与平面垂直C.直线在平面内D.直线与平面平行23. （分数：2.00）A.2B.3C.1D.不存在24.曲面 z=x 2 +y 2 在点(1，2，5)处的切平面方程为_（分数：2.00）A.2x+4y-z=5B.4x+2y-z=5C.z+2y-4z=5D.2x-4y+2=525.设函数 z=x 3 y-xy 3 ，则 （分数：2.00
6、）A.B.C.D.26.如果区域 D被分成两个子区域 D 1 和 D 2 ，且 则 （分数：2.00）A.5B.4C.6D.127.如果 L是摆线 从点 A(2，0)到点 B(0，0)的一段弧，则 （分数：2.00）A.B.C.D.28.通解为 y=Ce x (C为任意常数)的微分方程为_（分数：2.00）A.y“+y=0B.y“-y=0C.yy“=1D.y-y“+1=029.微分方程 y“+y“=xe -x 的特解形式应设为 y*=_ A.x(ax+b)e-x B.x2(ax+b)e-x C.(ax+b)e-x D.ax+b（分数：2.00）A.B.C.D.30.下列四个级数中，发散的级数是
7、_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：15，分数：30.00)31. 的 1 条件是 （分数：2.00）32.函数 y=x-sinx在区间(0，2)上单调 1，其曲线在区间(0， （分数：2.00）33.设方程 3x 2 +2y 2 +z 2 =a(a常数)所确定的隐函数为 z=f(x，y)，则 （分数：2.00）34. （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.在空间直角坐标系中，以点 A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为 1 （分数：2.00）37.方程 （分数：2.00）38.函数 f(x，y)=
8、x 3 +y 3 -3xy的驻点为 1 （分数：2.00）39. （分数：2.00）40. （分数：2.00）41.直角坐标系下二重积分 （分数：2.00）42.以 y=C 1 e -3x +C 2 xe -3x 为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 1 （分数：2.00）43.等比级数 （分数：2.00）44.函数 （分数：2.00）45. （分数：2.00）三、计算题(总题数：8，分数：40.00)46. （分数：5.00）_47.求 （分数：5.00）_48.已知 y=lnsin(1-2x)，求 （分数：5.00）_49.计算不定积分xarctanxdx （分数：5.00）_50.求 z
9、=e x cos(x+y)的全微分 （分数：5.00）_51.计算 （分数：5.00）_52.求微分方程 y“+ycosx=e -sinx 满足初始条件 y(0)=-1的特解 （分数：5.00）_53.求级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)过曲线 y=x 2 (x0)上一点 M(1，1)作切线 L，平面图形 D由曲线 y=x 2 ，切线 L及 x轴围成 求：（分数：7.00）(1).平面图形 D的面积（分数：3.50）_(2).平面图形 D绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积（分数：3.50）_54.一块铁皮宽 24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形
10、的槽(如下图)，要使等腰梯形的面积 A最大，求腰长 x和它对底边的倾斜角 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)55.证明方程 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2008年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.-2，-1B.-2，1C.-2，1) D.(-2，1)解析：解析 由2. A1 B0 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 3.点 x=0是函数 （分数：2.00）A.连续点B.跳跃间断点 C.可去间断点D.第二类间断点解析：解析 4.下列
11、极限存在的有_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 显然只有5.当 x0 时，ln(1+x 2 )是比 1-cosx的_（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但不等价无穷小 解析：解析 x0 时，ln(1+x 2 )x 2 ， 6.设函数 （分数：2.00）A.f(x)在 x=-1处连续，在 x=0处不连续 B.f(x)在 x=0处连续，在 x=-1处不连续C.f(x)在 x=-1，0 处均连续D.f(x)在 x=-1，0 处均不连续解析：解析 在 x=-1处连续； 7.过曲线 y=arctanx+e x 上的点(0，1)处的法线方程为
12、_（分数：2.00）A.2x-y+1=0B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0D.x+2y-2=0 解析：解析 法线方程为 8.设函数 f(x)在 x=0处可导，且 f(x)=f(0)-3x+(x)，且 （分数：2.00）A.-1B.1C.-3 D.3解析：解析 9.若函数 f(x)=(lnx) x (x1)，则 f“(x)=_ A.(lnx)x-1 B.(lnx)x-1+(lnx)xln(lnx) C.(lnx)xln(lnx) D.x(lnx)x（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)=(lnx) x =e xln(lnx) ， f“(x)=(lnx) x xln(lnx
13、)“=(lnx) x-1 +(lnx) x ln(lnx)，故选 B10.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则 A-2 B-1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 11.下列函数中，在区间-1，1上满足罗尔定理条件的是_ Ay=e x By=ln|x| Cy=1-x 2 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 验证罗尔定理的条件，只有 y=1-x 2 满足，应选 C12.曲线 y=x 3 +5x-2的拐点是_（分数：2.00）A.x=0B.(0，-2) C.x=0，y=-2D.无拐点解析：解析 13.曲线 （分数：2.00）A.只有水平渐近线B.既有水平渐近
14、线，又有垂直渐近线 C.只有垂直渐近线D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线解析：解析 14.如果 f(x)的一个原函数是 xlnx,那么x 2 f“(x)dx= _ A.lnx+C B.x2+C C.x3lnx+C D.C-x（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 15. A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知条件得，16.设 则 I的取值范围为_ A0I1 B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 此题有问题，定积分是一个常数，有 ，根据定积分的估值性质， 有 17.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解
15、析：解析 显然应选 D18. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 19.若 f(x)为可导函数，f(x)0，且满足 （分数：2.00）A.ln(1+cosx) B.-ln(1+cosx)C.2ln(1+cosx)D.ln(1+cosx)+C解析：解析 对 两边求导有： 即有 20.若函数 f(x)满足 ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 令 故有 21.若 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 22.直线 （分数：2.00）A.直线与平面斜交B.直线与平面垂直C.直线在平面内D.直线与平面平行
16、 解析：解析 直线的方向向量23. （分数：2.00）A.2 B.3C.1D.不存在解析：解析 24.曲面 z=x 2 +y 2 在点(1，2，5)处的切平面方程为_（分数：2.00）A.2x+4y-z=5 B.4x+2y-z=5C.z+2y-4z=5D.2x-4y+2=5解析：解析 令 F(x，y，z)=x 2 +y 2 -z，F x (1，2，5)=2，F y (1，2，5)=4，F z (1，2，5)=-1 2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0 25.设函数 z=x 3 y-xy 3 ，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 26.如果区域 D被分成两个子区域 D 1
17、和 D 2 ，且 则 （分数：2.00）A.5B.4C.6 D.1解析：解析 根据二重积分的可加性，27.如果 L是摆线 从点 A(2，0)到点 B(0，0)的一段弧，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 有 此积分与路径无关，取直线段 x从 2 变成 0，则28.通解为 y=Ce x (C为任意常数)的微分方程为_（分数：2.00）A.y“+y=0B.y“-y=0 C.yy“=1D.y-y“+1=0解析：解析 29.微分方程 y“+y“=xe -x 的特解形式应设为 y*=_ A.x(ax+b)e-x B.x2(ax+b)e-x C.(ax+b)e-x D.ax+b（分数：2.
18、00）A. B.C.D.解析：解析 -1 是特征方程的单根，x 是一次多项式，应设 y“=x(ax+b)e -x ，应选 A30.下列四个级数中，发散的级数是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 当 n时，级数二、填空题(总题数：15，分数：30.00)31. 的 1 条件是 （分数：2.00）解析：充分必要(或充要)解析 显然为充要(充分且必要)32.函数 y=x-sinx在区间(0，2)上单调 1，其曲线在区间(0， （分数：2.00）解析：增加(或递增)，凹解析 y“=1-cosx0 在(0，2)内单调增加，33.设方程 3x 2 +2y 2 +z 2 =a
19、(a常数)所确定的隐函数为 z=f(x，y)，则 （分数：2.00）解析：解析 34. （分数：2.00）解析： 解析 35. （分数：2.00）解析：0解析 函数 在区间 是奇函数，所以36.在空间直角坐标系中，以点 A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为 1 （分数：2.00）解析： 解析 所以ABC 的面积为 37.方程 （分数：2.00）解析：两条平行直线解析 是椭圆柱面与平面 x=-2的交线，为两条平行直线38.函数 f(x，y)=x 3 +y 3 -3xy的驻点为 1 （分数：2.00）解析：(0，0)，(1，1)解析 39. （分数：
20、2.00）解析：0解析 40. （分数：2.00）解析：解析 41.直角坐标系下二重积分 （分数：2.00）解析：解析 42.以 y=C 1 e -3x +C 2 xe -3x 为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 1 （分数：2.00）解析：y“+6y“+9y=0 解析 由 y=C 1 e -3x +C 2 xe -3x 为通解知，有二重特征根-3，从而微分方程为y“+6y“+9y=043.等比级数 （分数：2.00）解析：|q|1，|q|1解析 级数44.函数 （分数：2.00）解析：解析 45. （分数：2.00）解析：发散解析 三、计算题(总题数：8，分数：40.00)46. （分数：
21、5.00）_正确答案：()解析：解析 47.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 48.已知 y=lnsin(1-2x)，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 49.计算不定积分xarctanxdx （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 50.求 z=e x cos(x+y)的全微分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 51.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 根据积分区域的特征，应在直角坐标系下计算积分，且积分次序为先积 x后积 y，交点坐标为(2，2)，(1，1) 方法二 交点坐标为(2，2)，(1，1)， 积分次序为先积
22、y后积 x，积分区域 D被分成 D 1 ，D 2 ，其中 52.求微分方程 y“+ycosx=e -sinx 满足初始条件 y(0)=-1的特解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方法一 P(x)=cosx，Q(x)=e -sinx ，则通解为 53.求级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 收敛半径 当 时，对应的数项级数为： 该级数发散； 当 时，对应的数项级数为： 该级数收敛； 所以收敛区间为： 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)过曲线 y=x 2 (x0)上一点 M(1，1)作切线 L，平面图形 D由曲线 y=x 2 ，切线 L及 x轴围成 求：（分数：
23、7.00）(1).平面图形 D的面积（分数：3.50）_正确答案：()解析：解析 曲线 y=x 2 (x0)在 M(1，1)处切线斜率为 2，过 M点的切线方程为 y=2x-1，切线与 x轴的交点为 (2).平面图形 D绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积（分数：3.50）_正确答案：()解析：解析 平面图形 D绕 x轴旋转一周而成的旋转体的体积 54.一块铁皮宽 24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽(如下图)，要使等腰梯形的面积 A最大，求腰长 x和它对底边的倾斜角 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 由题意知梯形的上、下底分别为 24-2x+2xcos，24-2x，(x0，0) 所以 显然方程组的解 =0，x=0 不合题意，在定义域内得唯一驻点：x=8， 所以当 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)55.证明方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 显然 f(x)在e，e 3 上连续，且 由零点定理得，在(e，e 3 )内至少存在一个 ，使得 f()=0 ，在(e，e 3 )内 f“(x)0， 所以 f(x)在(e，e 3 )内单调减少 综上所述，方程
