1、河南省专升本考试高等数学真题 2010 年(2)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：10.00)1.函数 （分数：1.00）A.-3，1B.-3，-1C.-3，-1)D.-1，12.极限 等于_ A0 B1 C （分数：1.00）A.B.C.D.3.已知 f“(1)=1，则 （分数：1.00）A.1B.-1C.2D.-24.设 （分数：1.00）A.B.C.D.5.曲线 y=x 2 与直线 y=1 所围成的图形的面积为_ A B C （分数：1.00）A.B.C.D.6.定积分 等于_ A-1 B0 C1 D （分数：1.00）A.B.C.
2、D.7.已知向量 a=(-1，-2，1)与向量 b=(1，2，t)垂直，则 t 等于_（分数：1.00）A.-1B.1C.-5D.58.曲线 y=x 2 在点(1，1)处的法线方程为_ Ay=x B C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.设 f(x)在 x 0 处不连续，则_ Af“(x 0 )存在 Bf“(x 0 )不存在 C （分数：1.00）A.B.C.D.10.是级数 收敛的_条件 （分数：1.00）A.必要B.充分C.充分必要D.不确定二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.若 （分数：2.00）12.x=0 是函数 （分数：2.00）13.若曲线 y=f(x)在点
3、(x 0 ，f(x 0 )处的切线平行于直线 y=2x-3，则 f“(x 0 )= 1 （分数：2.00）14.函数 f(x)=2x 3 -9x 2 +12x 的单调减区间是 1 （分数：2.00）15.设 y=cos(sinx)，则 dy= 1 （分数：2.00）16.df(x)= 1 （分数：2.00）17. （分数：2.00）18.“函数 z=f(x，y)在点(x，y)处的偏导数 （分数：2.00）19.微分方程 y“-4y“-5y=0 的通解为 1 （分数：2.00）20.幂级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)21. （分数：5.00）_22. （分数：
4、5.00）_23.设函数 y=y(x)由方程 2 xy =x+y 所确定，求 （分数：5.00）_24.求函数 y=x sinx (x0)的导数 （分数：5.00）_25. （分数：5.00）_26. （分数：5.00）_27.求由方程 e z -xyz=0 所确定的二元函数 z=f(x，y)的全微分 dz （分数：5.00）_28.求微分方程 （分数：5.00）_29.求平行于 y 轴且过点 P(1，-5，1)和 Q(3，2，-1)的平面方程 （分数：5.00）_30.求 （分数：5.00）_四、应用和证明题(总题数：2，分数：20.00)31.现有边长为 96 厘米的正方形纸板，将其四角各
5、剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱的容积最大? （分数：10.00）_32.设函数 f(x)在0，1上连续，并且对于0，1上的任意 x 所对应的函数值 f(x)均有 0f(x)1，证明：在0，1上至少有一点 ，使得 f()= （分数：10.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2010 年(2)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：10，分数：10.00)1.函数 （分数：1.00）A.-3，1B.-3，-1C.-3，-1)D.-1，1 解析：解析 2.极限 等于_ A0 B1 C （分数：1.00）A.
6、B.C.D. 解析：解析 3.已知 f“(1)=1，则 （分数：1.00）A.1B.-1C.2D.-2 解析：解析 4.设 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 “(x)=e -x2 (x 2 )“=2xe -x2 5.曲线 y=x 2 与直线 y=1 所围成的图形的面积为_ A B C （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 方法一 方法二 6.定积分 等于_ A-1 B0 C1 D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 方法一 y=xcosx 为奇函数， 在对称区间-2，2上函数积分为 0 方法二 7.已知向量 a=(-1，-2，1)与向量 b=(1，2，t)垂
7、直，则 t 等于_（分数：1.00）A.-1B.1C.-5D.5 解析：解析 ab， ab=0，即 1(-1)+2(-2)+t1=0， t=58.曲线 y=x 2 在点(1，1)处的法线方程为_ Ay=x B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 故所求法线方程为 9.设 f(x)在 x 0 处不连续，则_ Af“(x 0 )存在 Bf“(x 0 )不存在 C （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 不连续10.是级数 收敛的_条件 （分数：1.00）A.必要 B.充分C.充分必要D.不确定解析：解析 当级数 收敛时， 而当 时，级数 二、填空题(总题数：10，分数：
8、20.00)11.若 （分数：2.00）解析：2 解析 12.x=0 是函数 （分数：2.00）解析：一 解析 13.若曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线平行于直线 y=2x-3，则 f“(x 0 )= 1 （分数：2.00）解析：2 解析 k 切 =2， f“(x 0 )=214.函数 f(x)=2x 3 -9x 2 +12x 的单调减区间是 1 （分数：2.00）解析：(1，2) 解析 f“(x)=6x 2 -18x+12=6(x 2 -3x+2)=6(x-1)(x-2)， 令 f“(x)0，则有 1x2， 所以 f(x)的单调减区间为(1，2)15.设 y=cos(
9、sinx)，则 dy= 1 （分数：2.00）解析：-sin(sinx)cosxdx 解析 y“=-sin(sinx)(sinx)“=-sin(sinx)cosx， 所以，dy=-sin(sinx)cosxdx16.df(x)= 1 （分数：2.00）解析：f(x)+C 解析 df(x)=f“(x)dx， df(x)=f“(x)dx=f(x)+C17. （分数：2.00）解析： 解析 令 x=sinu,则 ，dx=cosudu， 18.“函数 z=f(x，y)在点(x，y)处的偏导数 （分数：2.00）解析：必要解析 若二元函数在某点处可微，则此函数在该点的两个偏导数都存在，反之不成立19.微
10、分方程 y“-4y“-5y=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=C 1 e 5x +C 2 e -x (C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 特征方程为 2 -4-5=0，(-5)(+1)=0，特征根为 1 =5， 2 =-1所以该方程的通解为 y=C 1 e 5x +C 2 e -x ，C 1 ，C 2 为任意常数20.幂级数 （分数：2.00）解析：(-，+) 解析 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)21. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 22. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 23.设函数 y=y(x)由方程 2 xy =x+y 所确定，求
11、 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 (2 xy )“=(x+y)“， 2 xy ln2(xy)“=1+y“， 2 xy ln2(y+y“)=1+y“， y2 xy ln2+x2 xy ln2y“=1+y“， y“(x2 xy ln2-1)=1-y2 xy ln2， y“(0)=y(0)2 0 ln2-1=ln2y(0)-1， 又将 x=0 代入原式得：2 0 =y(0)，y(0)=1 24.求函数 y=x sinx (x0)的导数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 lny=lnx sinx ，lny=sinxlnx，两边求导得 25. （分数：5.00）_正确答案：()
12、解析：解析 26. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 27.求由方程 e z -xyz=0 所确定的二元函数 z=f(x，y)的全微分 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 F(x，y，z)=e z -xyz，则 F x (x，y，z)=-yz， F y (x，y，z)=-xz，F z (x，y，z)=e z -xy， 28.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 该微分方程所对应的齐次方程为 分离变量得： lny=lnx+lnC=lnCx 的通解为：y=Cx， 设原方程所对应的通解为 y=C(x)x， y“=C“(x)x+C(x)， 代入原方程
13、得： C“(x)=sinx， 29.求平行于 y 轴且过点 P(1，-5，1)和 Q(3，2，-1)的平面方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 y 轴的方向向量 a=0，1，0， 设平面的法向量为 n=A，B，C， 则 A0+B1+C0=0， B=0 设平面方程为 Ax+Cz+D=0 平面过点 P(1，-5，1)和 Q(3，2，-1)， 30.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 四、应用和证明题(总题数：2，分数：20.00)31.现有边长为 96 厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱的容
14、积最大? （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 设剪去的小正方形的边长为 xcm，则纸箱的底面边长为 96-2x，高为 x，容积 V=(96-2x) 2 x， V“=2(96-2x)(96-2x)“x+(96-2x) 2 =-4x(96-2x)+(96-2x) 2 =(96-2x)(96-6x)， 令 V“=0 得 x 1 =16，x 2 =48(舍)，由于实际问题最大值一定存在， 当剪去的小正方形的边长为 16cm 时，纸箱的容积最大 32.设函数 f(x)在0，1上连续，并且对于0，1上的任意 x 所对应的函数值 f(x)均有 0f(x)1，证明：在0，1上至少有一点 ，使得 f()= （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 G(x)=f(x)-x， f(x)在0，1上连续， G(x)在0，1上连续 对
