1、2016年广西南宁市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 3分，共 36 分 ) 1.-2的相反数是 ( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 解析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数 . -2的相反数是 2. 答案： C. 2.把一个正六棱柱如图 1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是 ( ) A. B. C. D. 解析：把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形 . 答案： A. 3.据南国早报报道： 2016年广西高考报名人数约为 332000人，创历史新高，其中数据332000用科学记数法表示为 ( ) A.0.332 106 B
2、.3.32 105 C.3.32 104 D.33.2 104 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 . 将 332000用科学记数法表示为： 3.32 105. 答案： B. 4.已知正比例函数 y=3x的图象经过点 (1， m)，则 m的值为 ( ) A.13B.3 C. 13D.-3 解析：把点 (1， m)代入 y=3x，可得： m=3. 答案： B 5.某校规定学生的学期数
3、学成绩满分为 100分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占 60%，小明的两项成绩 (百分制 )依次是 80分， 90 分，则小明这学期的数学成绩是 ( ) A.80分 B.82分 C.84分 D.86分 解析：由加权平均数的公式可知 8 0 4 0 % 9 0 6 0 % 3 2 5 4 1 8 64 0 % 6 0 %x . 答案： D. 6.如图，厂房屋顶人字形 (等腰三角形 )钢架的跨度 BC=10 米， B=36，则中柱 AD(D为底边中点 )的长是 ( ) A.5sin36米 B.5cos36米 C.5tan36米 D.10tan36米 解析： AB=AC， AD BC，
4、 BC=10米， DC=BD=5米， 在 Rt ADC中， B=36， 36 ADtanBD，即 AD=BD tan36 =5tan36 (米 ). 答案： C. 7.下列运算正确的是 ( ) A.a2-a=a B.ax+ay=axy C.m2 m4=m6 D.(y3)2=y5 解析：结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确答案 . A、 a2和 a不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、 ax和 ay 不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、 m2 m4=m6，计算正确，故本选项正确； D、 (y3)2=y6 y5，故本选项错误 . 答案： C.
5、 8.下列各曲线中表示 y是 x的函数的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：根据函数的意义可知：对于自变量 x的任何值， y都有唯一的值与之相对应，故 D正确 . 答案： D. 9.如图，点 A， B， C， P在 O上， CD OA， CE OB，垂足分别为 D， E， DCE=40，则 P的度数为 ( ) A.140 B.70 C.60 D.40 解析：先根据四边形内角和定理求出 DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论 . CD OA， CE OB，垂足分别为 D， E， DCE=40， DOE=180 -40 =140， P=12 DOE=70 . 答案： B. 10.超市店庆
6、促销，某种书包原价每个 x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为 90元，则得到方程 ( ) A.0.8x-10=90 B.0.08x-10=90 C.90-0.8x=10 D.x-0.8x-10=90 解析：设某种书包原价每个 x元，可得： 0.8x-10=90. 答案： A 11.有 3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为 S1， S2，则 S1： S2等于 ( ) A.1： 2 B.1： 2 C.2： 3 D.4： 9 解析 ：设小正方形的边长为 x，根据图形可得： 13EFAC， 1 19DACSS ， 1 118A B C DSS 正 方 形
7、， 1 118 A B C DSS 正 方 形， 21 118Sx， 2 14ABCSS ， 2 18ABC DSS 正 方 形， 2 18 A B C DSS 正 方 形， 22 18Sx， 2212 11 491 8 8S S x x： ： ：. 答案： D. 12.二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)和正比例函数 23yx的图象如图所示，则方程2 23 0a x b x c (a 0)的两根之和 ( ) A.大于 0 B.等于 0 C.小于 0 D.不能确定 解析：设 ax2+bx+c=0(a 0)的两根为 x1， x2， 由二次函数的图象可知 x1+x2 0， a 0， 0ba .
8、 设方程 2 23 0a x b x c (a 0)的两根为 m， n，则 2 233b bmn a a a ， a 0， 23a 0， m+n 0. 答案： A. 二、填空题 (本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分 ) 13.若二次根式 1x 有意义，则 x的取值范围是 . 解析： 根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于 0， 即 x-1 0， x 1. 答案 ： x 1. 14.如图，平行线 AB， CD被直线 AE所截， 1=50，则 A= . 解析： AB CD， A= 1， 1=50， A=50 . 答案： 50 . 15.分解因式： a2-9= . 解析：直接利用平方差公式
9、分解因式进而得出答案 . a2-9=(a+3)(a-3). 答案： (a+3)(a-3). 16.如图，在 4 4正方形网格中，有 3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形 (每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同 )，使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 . 解析：共有 13种等可能的情况，其中 3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形，如图， 所以涂黑任意一个白色的小正方形 (每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同 )，使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率 313. 答案： 313. 17.如图所示，反比例函数 kyx(k 0， x 0)的图象经过矩形 OABC的对
10、角线 AC的中点 D.若矩形 OABC的面积为 8，则 k的值为 . 解析：过 D作 DE OA 于 E， 设 D(m， km)， OE=m.DE=km， 点 D是矩形 OABC的对角线 AC的中点， OA=2m， OC=2km， 矩形 OABC的面积为 8， OA OC=2m 2km=8， k=2. 答案： 2. 18.观察下列等式： 在上述数字宝塔中，从上往下数， 2016在第 层 解析：第一层：第一个数为 12=1，最后一个数为 22-1=3， 第二层：第一个数为 22=4，最后一个数为 23-1=8， 第三层：第一个数为 32=9，最后一个数为 24-1=15， 442=1936， 4
11、52=2025， 又 1936 2016 2025， 在上述数字宝塔中，从上往下数， 2016在第 44层 . 答案： 44. 三、解答题 (本大题共 8小题，共 66分 ) 19.计算： 3122 4 3 0 1 2c o s . 解析：直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简，进而求出答案 . 答案：原式 2 4 8 23 32 463 . 20.解不等式组 322 1 152xxxx ，并把解集在数轴上表示出来 . 解析：首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 . 答案： 322 1 152xxxx ， 解得 x 1， 解
12、得 x -3， 不等式组的解集是： -3 x 1. 21.如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC三个顶点的坐标分别是 A(2， 2)， B(4， 0)， C(4，-4) (1)请画出 ABC向左平移 6个单位长度后得到的 A1B1C1. 解析： (1)将 A、 B、 C 三点分别向左平移 6个单位即可得到的 A1B1C1. 答案： (1)请画出 ABC向左平移 6个单位长度后得到的 A1B1C1，如图 1所示： (2)以点 O为位似中心，将 ABC缩小为原来的 12，得到 A2B2C2，请在 y轴右侧画出 A2B2C2，并求出 A2C2B2的正弦值 . 解析： (2)连接 OA、 OC，分别取
13、 OA、 OB、 OC的中点即可画出 A2B2C2，求出直线 AC与 OB 的交点，求出 ACB的正弦值即可解决问题 . 答案： (2)以点 O为位似中心，将 ABC缩小为原来的 12，得到 A2B2C2，请在 y轴右侧画出 A2B2C2，如图 2所示， A(2， 2)， C(4， -4)， B(4， 0)， 直线 AC解析式为 y=-3x+8，与 x轴交于点 D(83， 0)， CBD=90， 22 43 10C D B C B D ， 84101034 103BDs i n D C BCD . A2C2B2= ACB， 2 2 2110 0s i n A C B s i n D C B .
14、 22.在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目 (每人只参加一个项目 )，九 (2)班全班同学都参加了比赛，该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图 (图 1)和扇形统计图 (图 2)，根据图表中的信息解答下列各题： (1)请求出九 (2)全班人数 . 解析： (1)由演讲人数 12人，占 25%，即可求得九 (2)全班人数 . 答案： (1)演讲人数 12人，占 25%， 出九 (2)全班人数为： 12 25%=48(人 ). (2)请把折线统计图补充完整 . 解析： (2)首先求得书法与国学诵
15、读人数，继而补全折线统计图 . 答案： (2)国学诵读占 50%， 国学诵读人数为： 48 50%=24(人 )， 书法人数为： 48-24-12-6=6(人 )； 补全折线统计图 . (3)南南和宁宁参加了比赛，请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率 . 解析： (3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们参加的比赛项目相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (3)分别用 A， B， C， D表示书法、国学诵读、演讲、征文， 画树状图得： 共有 16种等可能的结果，他们参加的比赛项目相同的有 4种情况， 他们参加的比赛项目相同的
16、概率为： 41614. 23.如图，在 Rt ABC 中， C=90， BD是角平分线，点 O在 AB上，以点 O为圆心， OB为半径的圆经过点 D，交 BC于点 E. (1)求证： AC 是 O的切线 . 解析： (1)连接 OD，由 BD为角平分线得到一对角相等，根据 OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出 OD 与 BC 平行，利用两直线平行同位角相等得到 ODA为直径，即可得证 . 答案： (1)连接 OD， BD为 ABC平分线， 1= 2， OB=OD， 1= 3， 2= 3， OD BC， C=90， ODA=90， 则 AC为圆 O的切线
17、. (2)若 OB=10， CD=8，求 BE 的长 . 解析： (2)由 OD与 BC 平行得到三角形 OAD与三角形 BAC相似，由相似得比例求出 OA的长，进而确定出 AB的长，连接 EF，过 O作 OG垂直于 BC，利用勾股定理求出 BG的长，由 BG+GC求出 BC 的长，再由三角形 BEF与三角形 BAC相似，由相似得比例求出 BE的长即可 . 答案： (2)过 O作 OG BC， 四边形 ODCG为矩形， GC=OD=OB=10， OG=CD=8， 在 Rt OBG中，利用勾股定理得： BG=6， BC=BG+GC=6+10=16， OD BC， AOD ABC， OA ODAB
18、 BC，即 1010 16OAOA ， 解得： 503OA， 5 0 8 01033AB ， 连接 EF， BF为圆的直径， BEF=90， BEF= C=90， EF AC， BE BFBC AB，即 2080163BE ， 解得： BE=12. 24.在南宁市地铁 1 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单独施工 30天后增加乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的 13. (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 解析： (1)设乙队单独完成这项工程需要 x天，根据题意得方程即可得到结论 . 答案： (1)设乙队单独完成这项工程需要 x天， 根据题意得
19、113 0 1 5 1350 151 x ， 解得： x=450， 经检验 x=450是方程的根， 答：乙队单独完成这项工程需要 450天 . (2)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是 1a，甲队的工作效率是乙队的 m 倍 (1 m 2)，若两队合作 40 天完成剩余的工程，请写出 a 关于 m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？ 解析： (2)根据题意得 0 231 4maa ，即可得到 a=60m+60，根据一次函数的性质得到1160a ，即可得到结论 . 答案： (2)根据题意得 0 231 4maa ， a=60m+60， 60 0，
20、a随 m的增大增大， 当 m=1时， 1a最大， 11120a ， 1 1 15120 450 4倍， 答：乙队的最大工作效率是原来的 154倍 25.已知四边形 ABCD 是菱形， AB=4， ABC=60， EAF 的两边分别与射线 CB， DC 相交于点 E， F，且 EAF=60 . (1)如图 1，当点 E是线段 CB的中点时，直接写出线段 AE， EF， AF之间的数量关系 . 解析： (1)结论 AE=EF=AF.只要证明 AE=AF即可证明 AEF是等边三角形 . 答案： (1)结论 AE=EF=AF. 理由：如图 1中，连接 AC， 四边形 ABCD是菱形， B=60， AB
21、=BC=CD=AD， B= D=60， ABC， ADC是等边三角形， BAC= DAC=60 BE=EC， BAE= CAE=30， AE BC， EAF=60， CAF= DAF=30， AF CD， AE=AF(菱形的高相等 )， AEF是等边三角形， AE=EF=AF. (2)如图 2，当点 E是线段 CB上任意一点时 (点 E不与 B、 C重合 )，求证： BE=CF. 解析： (2)欲证明 BE=CF，只要证明 BAE CAF即可 . 答案： (2)如图 2中， BAC= EAF=60， BAE= CAE， 在 BAE和 CAF中， B A E C A FB A A CB A C
22、F， BAE CAF， BE=CF. (3)如图 3，当点 E在线段 CB的延长线上，且 EAB=15时，求点 F到 BC 的距离 . 解析： (3)过点 A 作 AG BC 于点 G，过点 F 作 FH EC 于点 H，根据 FH=CF cos30，因为CF=BE，只要求出 BE即可解决问题 . 答案： (3)过点 A作 AG BC 于点 G，过点 F作 FH EC 于点 H， EAB=15， ABC=60， AEB=45， 在 RT AGB中， ABC=60 ， AB=4， BG=2， AG=2 3 ， 在 RT AEG中， AEG= EAG=45， AG=GE=2 3 ， EB=EG-B
23、G=2 3 -2， AEB AFC， AE=AF， EB=CF=2 3 -2， AEB= AFC=45， EAF=60， AE=AF， AEF是等边三角形， AEF= AFE=60 AEB=45， AEF=60， CEF= AEF- AEB=15， 在 RT EFH中， CEF=15， EFH=75， AFE=60， AFH= EFH- AFE=15， AFC=45， CFH= AFC- AFH=30， 在 RT CHF中， CFH=30， CF=2 3 -2， 3 302 33322F H C F c o s . 点 F到 BC 的距离为 3 3 . 26.如图，已知抛物线经过原点 O，顶点
24、为 A(1， 1)，且与直线 y=x-2交于 B， C两点 . (1)求抛物线的解析式及点 C的坐标 . 解析： (1)可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得 C点坐标 . 答案： (1)顶点坐标为 (1， 1)， 设抛物线解析式为 y=a(x-1)2+1， 又抛物线过原点， 0=a(0-1)2+1，解得 a=-1， 抛物线解析式为 y=-(x-1)2+1， 即 y=-x2+2x， 联立抛物线和直线解析式可得 2 22y x xyx ，解得 20xy或 13xy， B(2， 0)， C(-1， -3). (2)求证： ABC是直角三角形 . 解析： (2)
25、分别过 A、 C两点作 x轴的垂线，交 x轴于点 D、 E两点，结合 A、 B、 C三点的坐标可求得 ABO= CBO=45，可证得结论 . 答案： (2)如图，分别过 A、 C两点作 x轴的垂线，交 x轴于点 D、 E两点， 则 AD=OD=BD=1， BE=OB+OE=2+1=3， EC=3， ABO= CBO=45，即 ABC=90， ABC是直角三角形 . (3)若点 N为 x轴上的一个动点，过点 N作 MN x轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O， M，N为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (3)设出 N点坐标，可表示出 M点
26、坐标，从而可表示出 MN、 ON的长度，当 MON和ABC相似时，利用三角形相似的性质可得 MN ONAB BC或 MN ONBC AB，可求得 N点的坐标 . 答案： (3)假设存在满足条件的点 N，设 N(x， 0)，则 M(x， -x2+2x)， ON=|x|， MN=|-x2+2x|， 由 (2)在 Rt ABD和 Rt CEB中，可分别求得 AB=2， BC=32， MN x轴于点 N ABC= MNO=90， 当 ABC和 MNO相似时有 MN ONAB BC或 MN ONBC AB， MN ONAB BC时，则有 22 3 22xx x ，即 2 13x x x ， 当 x=0时 M、 O、 N不能构成三角形， x 0， 32 1x ，即 123x ，解得 53x或 73x， 此时 N点坐标为 (53， 0)或 (73， 0)； 当 MN ONBC AB时，则有 23 222xx x ，即 |x|-x+2|=3|x|， |-x+2|=3，即 -x+2= 3，解得 x=5或 x=-1， 此时 N点坐标为 (-1， 0)或 (5， 0)， 综上可知存在满足条件的 N点，其坐标为 (53， 0)或 (73， 0)或 (-1， 0)或 (5， 0).
