1、2016年广西桂林市中考真题数学 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分 1. 下列实数中小于 0 的数是 ( ) A.2016 B.-2016 C. 2016 D. 12016解析：根据正数大于负数 0， 0大于负数进行选择即可 . -2016是负数， -2016 0. 答案： B. 2. 如图，直线 a b， c是截线， 1的度数是 ( ) A.55 B.75 C.110 D.125 解析：根据平行线的性质即可得到结论 . 直线 a b， 1=55 . 答案： A. 3. 一组数据 7， 8， 10， 12， 13的平均数是 ( ) A.7 B.9 C.10 D.12 解
2、析：根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数进行计算即可 . (7+8+10+12+13) 5=505=10 答：一组数据 7， 8， 10， 12， 13 的平均数是 10. 答案： C. 4. 下列几何体的三视图相同的是 ( A. B. C. D. 解析： A、圆柱的三视图，如图所示，不合题意； B、球的三视图，如图所示，符合题意； C、圆锥的三视图，如图所示，不合题意； D、长方体的三视图，如图所示，不合题意 . 答案： B 5. 下列图形一定是轴对称图形的是 ( ) A.直角三角形 B.平行四边形 C.直角梯形 D.正方形 解析：根据轴对称图形的概念，结合选
3、项求解即可 . A、直角三角形中只有等腰直角三角形为轴对称图形，本选项错误； B、平行四边形不是轴对称图形，本选项错误； C、直角梯形不是轴对称图形，本选项错误； D、正方形是轴对称图形，本选项正确 . 答案： D. 6. 计算 3 552 的结果是 ( ) A. 5 B.2 5 C.3 5 D.6 解析：直接利用二次根式的加减运算法则求出答案 . 原式 53 52 . 答案： A. 7. 下列计算正确的是 ( ) A.(xy)3=xy3 B.x5 x5=x C.3x2 5x3=15x5 D.5x2y3+2x2y3=10x4y9 解析： A、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果， 原式 =x3
4、y3，错误； B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果， 原式 =1，错误； C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果， 原式 =15x5，正确； D、原式合并同类项得到结果， 原式 =7x2y3，错误 . 答案： C 8. 如图，直线 y=ax+b 过点 A(0， 2)和点 B(-3， 0)，则方程 ax+b=0 的解是 ( ) A.x=2 B.x=0 C.x=-1 D.x=-3 解析：方程 ax+b=0的解，即为函数 y=ax+b图象与 x轴交点的横坐标， 直线 y=ax+b过 B(-3， 0)， 方程 ax+b=0的解是 x=-3. 答案： D 9. 当 x=6， y=3时，代数式
5、232x y x yx y x y x y 的值是 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析：先对所求的式子化简，然后将 x=6， y=3代入化简后的式子即可解答本题 . 2322323x y x yx y x y x yx y x yx y x yxyxy 当 x=6， y=3时，原式 3 6 3 663 . 答案： C. 10. 若关于 x的一元二次方程方程 (k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 ( ) A.k 5 B.k 5，且 k 1 C.k 5，且 k 1 D.k 5 解析：关于 x的一元二次方程方程 (k-1)x2+4x+1=0 有两个不相等的实
6、数根， 100k ，即 2104 4 1 0kk ， 解得： k 5且 k 1. 答案： B. 11. 如图，在 Rt AOB 中， AOB=90， OA=3， OB=2，将 Rt AOB 绕点 O 顺时针旋转 90后得 Rt FOE，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90后得线段 ED，分别以 O， E 为圆心， OA、ED长为半径画弧 AF和弧 DF，连接 AD，则图中阴影部分面积是 ( ) A. B.54C.3+ D.8- 解析：作 DH AE 于 H， AOB=90， OA=3， OB=2， 22 13A B O A O B ， 由旋转的性质可知， OE=OB=2， DE=EF=AB
7、= 13 ， DHE BOA， DH=OB=2， 阴影部分面积 = ADE的面积 + EOF的面积 +扇形 AOF 的面积 -扇形 DEF的面积 29 0 3 9 0 1 35 2 2 33 6 0 3 6 01122 =8- . 答案： D. 12. 已知直线 33yx 与坐标轴分别交于点 A， B，点 P在抛物线 23 413yx 上，能使 ABP为等腰三角形的点 P的个数有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析：以点 B为圆心线段 AB长为半径做圆，交抛物线于点 C、 M、 N点，连接 AC、 BC，如图所示 . 令一次函数 33yx 中 x=0，则 y=3， 点 A的坐
8、标为 (0， 3)； 令一次函数 33yx 中 y=0，则 -3x+3， 解得： x= 3 ， 点 B的坐标为 ( 3 ， 0). AB=2 3 . 抛物线的对称轴为 x=3， 点 C的坐标为 (2 3 ， 3)， AC=2 3 =AB=BC， ABC为等边三角形 . 令 23 413yx 中 y=0，则 21 33 40x ， 解得： x= 3 ，或 x=3 3 . 点 E的坐标为 ( 3 ， 0)，点 F的坐标为 (3 3 ， 0). ABP为等腰三角形分三种情况： 当 AB=BP时，以 B点为圆心， AB长度为半径做圆，与抛物线交于 C、 M、 N三点； 当 AB=AP时，以 A点为圆心
9、， AB长度为半径做圆，与抛物线交于 C、 M两点，； 当 AP=BP时，作线段 AB的垂直平分线，交抛物线交于 C、 M两点； 能使 ABP为等腰三角形的点 P的个数有 3个 . 答案： A. 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 3分，共 18 分 13. 分解因式： x2-36= . 解析：原式利用平方差公式分解即可 . 原式 =(x+6)(x-6). 答案： (x+6)(x-6) 14. 若式子 1x 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 . 解析：式子 1x 在实数范围内有意义， x-1 0， 解得 x 1. 答案： x 1. 15. 把一副普通扑克牌中的数字 2， 3， 4， 5
10、， 6， 7， 8， 9， 10的 9张牌洗均匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数恰为 3的倍数的概率是 . 解析：先确定 9 张扑克牌上的数字为 3 的倍数的张数，再根据随机事件 A 的概率 APA 事 件 可 能 出 现 的 结 果 数所 有 可 能 出 现 的 结 果 数，求解即可 . 数字为 3的倍数的扑克牌一共有 3张，且共有 9张扑克牌， 9 133PA. 答案： 13. 16. 正六边形的每个外角是 度 . 解析：正多边形的外角和是 360度，且每个外角都相等， 正六边形的一个外角度数是： 360 6=60 . 答案： 60. 17. 如图，在 Rt ACB
11、中， ACB=90， AC=BC=3， CD=1， CH BD 于 H，点 O是 AB中点，连接 OH，则 OH= . 解析：在 BD 上截取 BE=CH，连接 CO， OE， ACB=90 CH BD， AC=BC=3， CD=1， BD= 10 ， CDH BDC， CH CDBC BD， 03101CH， ACB是等腰直角三角形，点 O是 AB中点， AO=OB=OC， A= ACO= BCO= ABC=45， OCH+ DCH=45， ABD+ DBC=45， DCH= CBD， OCH= ABD， 在 CHO与 BEO中， C H B EH C O E B OO C O B， CHO
12、 BEO， OE=OH， BOE= HOC， OC BO， EOH=90， 即 HOE是等腰直角三角形， 1 0 1 0331 0 1 0 51010E H B D D H C H ， 22 5 53O H E H . 答案： 355. 18. 如图，正方形 OABC的边长为 2，以 O为圆心， EF 为直径的半圆经过点 A，连接 AE， CF相交于点 P，将正方形 OABC从 OA 与 OF重合的位置开始，绕着点 O逆时针旋转 90，交点P运动的路径长是 . 解析：如图点 P运动的路径是以 G为圆心的弧 EF ，在 G上取一点 H，连接 EH、 FH. 四边形 AOCB是正方形， AOC=9
13、0， AFP=12 AOC=45， EF是 O直径， EAF=90， APF= AFP=45， H= APF=45， EGF=2 H=90， EF=4， GE=GF， EG=GF=2 2 ， EF 的长 29 0 210 28 . 答案： 2 . 三、解答题：本大题共 8小题，共 66 分 19. 计算： 0124 5 3 4 4 5t a n . 解析：先去括号、计算绝对值、零指数幂、三角函数值，再计算乘法、减法即可 . 答案：原式 =4+5+1-4 1=6. 20. 解不等式组： 2 1 13 2 4xx . 解析：首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 . 答案：
14、 2 1 13 2 4xx ， 解得： x 2， 解得 x 5. 则不等式组的解集是： 2 x 5. 21. 如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O， E， F分别是 OA， OC 的中点，连接 BE， DF. (1)根据题意，补全原形 . 解析： (1)根据题意，对原形进行补充 . 答案： (1)如图所示： (2)求证： BE=DF. 解析： (2)由全等三角形的判定定理 SAS 证得 BEO DFO，得出全等三角形的对应边相等即可 . 答案： (2)四边形 ABCD是平行四边形，对角线 AC、 BD交于点 O， OB=OD， OA=OC. 又 E， F分别是 OA、
15、OC的中点， OE=12OA， OF=12OC， OE=OF. 在 BEO与 DFO中， OE OF BOE DOFOB OD O E O FB O E D O FO B O D， BEO DFO(SAS)， BE=DF. 22. 某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试 (满分 15 分，成绩均记为整数分 )，并按测试成绩 (单位：分 )分成四类： A 类(12 m 15)， B 类 (9 m 11)， C 类 (6 m 8)， D 类 (m 5)绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽取样本容量为 ，扇形统计图
16、中 A类所对的圆心角是 度 . 解析： (1)根据统计图可以得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇形统计图可以求得扇形圆心角的度数 . 由题意可得， 抽取的 学生数为： 10 20%=50， 扇形统计图中 A类所对的圆心角是： 360 20%=72 . 答案： (1)50， 72. (2)请补全统计图 . 解析： (2)根据统计图可以求得 C 类学生数和 C类与 D 类所占的百分比，从而可以将统计图补充完整 . 答案： (2)C类学生数为： 50-10-22-3=15， C类占抽取样本的百分比为： 15 50 100%=30%， D类占抽取样本的百分比为： 3 50 100%=6%， 补
17、全的统计图如图所示， (3)若该校九年级男生有 300 名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为 C类的有多少名？ 解析： (3)根据统计图可以估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为 C类的有多少名 . 答案： (3)300 30%=90(名 ) 即该校九年级男生“引体向上”项目成绩为 C类的有 90名 . 23. 已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作度量论一书中给出了计算公式 海伦公式 S p p a p b p c (其中 a， b， c是三角形的三边长，2abcp ，S为三角形的面积 )，并给出了证明 例如：在 ABC中， a
18、=3， b=4， c=5， 那么它的面积可以这样计算： a=3， b=4， c=5 62abcp 6 3 2 1 6S p p a p b p c 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决 . 如图，在 ABC中， BC=5， AC=6， AB=9 (1)用海伦公式求 ABC的面积 . 解析： (1)先根据 BC、 AC、 AB的长求出 P，再代入到公式 S p p a p b p c 即可求得 S的值 . 答案： (1) BC=5， AC=6， AB=9， 569 1022B C A C A Bp ， 1 0 5 4 1 1
19、0 2S p p a p b p c . 故 ABC的面积 10 2 . (2)求 ABC的内切圆半径 r. 解析： (2)根据公式 S=12r(AC+BC+AB)，代入可得关于 r的方程，解方程得 r 的值 . 答案： (2) S=12r(AC+BC+AB)， 062 91215r ， 解得： r= 2 ， 故 ABC的内切圆半径 r= 2 . 24. 五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共 2000 件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵 10元，用 350元购买甲种物品的件数恰
20、好与用300元购买乙种物品的件数相同 (1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？ 解析： (1)设每件乙种物品的价格是 x 元，则每件甲种物品的价格是 (x+10)元，根据用 350元购买甲种物品的件数恰好与用 300元购买乙种物品的件数相同 列出方程，求解即可 . 答案： (1)设每件乙种物品的价格是 x元，则每件甲种物品的价格是 (x+10)元， 根据题意得， 350 30010xx， 解得： x=60. 经检验， x=60是原方程的解 . 答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是 70元、 60 元 . (2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的 3 倍，若该爱心组织按照
21、此需求的比例购买这 2000 件物品，需筹集资金多少元？ 解析： (2)设甲种物品件数为 m件，则乙种物品件数为 3m件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这 2000件物品列出方程，求解即可 . 答案： (2)设甲种物品件数为 m件，则乙种物品件数为 3m件， 根据题意得， m+3m=2000， 解得 m=500， 即甲种物品件数为 500 件，则乙种物品件数为 1500 件，此时需筹集资金： 70 500+601500=125000(元 ). 答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这 2000件物品，需筹集资金 125000元 . 25. 如图，在四边形 ABCD中， AB=6， BC=8，
22、 CD=24， AD=26， B=90，以 AD为直径作圆 O，过点 D作 DE AB 交圆 O于点 E (1)证明点 C在圆 O上 . 解析： (1)如图 1，连结 CO.先由勾股定理求出 AC=10，再利用勾股定理的逆定理证明 ACD是直角三角形， C=90，那么 OC 为 Rt ACD斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 OC=12AD=r，即点 C在圆 O 上 . 答案： (1)如图 1，连结 CO. AB=6， BC=8， B=90， AC=10. 又 CD=24， AD=26， 102+242=262， ACD是直角三角形， C=90 . AD为 O的直径，
23、AO=OD， OC 为 Rt ACD斜边上的中线， OC=12AD=r， 点 C在圆 O上 . (2)求 tan CDE的值 . 解析： (2)如图 2，延长 BC、 DE 交于点 F， BFD=90 .根据同角的余角相等得出 CDE= ACB.在 Rt ABC中，利用正切函数定义求出 368 4ta n A C B ，则 34tan C D E tan AC B . 答案： (2)如图 2，延长 BC、 DE交于点 F， BFD=90 . BFD=90， CDE+ FCD=90， 又 ACD=90， ACB+ FCD=90， CDE= ACB. 在 Rt ABC中， 368 4ta n A
24、C B ， 34ta n C D E ta n A C B . (3)求圆心 O到弦 ED的距离 . 解析： (3)如图 3，连结 AE，作 OG ED 于点 G，则 OG AE，且 OG=12AE.易证 ABC CFD，根据相似三角形对应边成比例求出 725CF，那么 1125B F B C C F.再证明四边形ABFE是矩形，得出 AE=BF=1125，所以 56512O G A E. 答案： (3)如图 3，连结 AE，作 OG ED 于点 G， 则 OG AE，且 OG=12AE. 易证 ABC CFD， AB ACCF CD，即 6 1024CF， 725CF， 7 2 1 1 28
25、55B F B C C F . B= F= AED=90， 四边形 ABFE是矩形， 1125A E B F， 56512O G A E， 即圆心 O到弦 ED 的距离为 565. 26. 如图 1，已知开口向下的抛物线 y1=ax2-2ax+1 过点 A(m， 1)，与 y轴交于点 C，顶点为 B，将抛物线 y1绕点 C旋转 180后得到抛物线 y2，点 A， B的对应点分别为点 D， E. (1)直接写出点 A， C， D的坐标 . 解析： (1)直接将点 A的坐标代入 y1=ax2-2ax+1得出 m的值，因为由图象可知点 A在第一象限，所以 m 0，则 m=2，写出 A， C的坐标，点
26、 D 与点 A关于点 C对称，由此写出点 D的坐标 . 答案： (1)由题意得： 将 A(m， 1)代入 y1=ax2-2ax+1得： am2-2am+1=1， 解得： m1=2， m2=0(舍 )， A(2， 1)、 C(0， 1)、 D(-2， 1). (2)当四边形 ABCD是矩形时，求 a的值及抛物线 y2的解析式 . 解析： (2)根据顶点坐标公式得出抛物线 y1的顶点 B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角 BMC 中，由勾股定理列方程求出 a 的值得出抛物线 y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线 y2的解析式 . 答案： (2)如图 1， 由 (1)知： B(1
27、， 1-a)，过点 B作 BM y轴， 若四边形 ABDE为矩形，则 BC=CD， BM2+CM2=BC2=CD2， 12+(-a)2=22， 3a ， y1抛物线开口向下， 3a ， y2由 y1绕点 C旋转 180得到，则顶点 E(-1， 1 3 )， 设 22 11 3y a x ，则 3a ， 22 2133y x x . (3)在 (2)的条件下，连接 DC，线段 DC上的动点 P 从点 D出发，以每秒 1个单位长度的速度运动到点 C停止，在点 P 运动的过程中，过点 P作直线 l x轴，将矩形 ABDE沿直线 l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为 S平方单位，点 P的运动时间为
28、t秒，求 S与 t的函数关系 . 解析： (3)分两种情况讨论：当 0 t 1时， S=S GHD=S PDH+S PDG，作辅助线构建直角三角形，求出 PG 和 PH，利用面积公式计算；当 1 t 2 时， S=S 直角三角形 +S 矩形 -S 不重合 ，这里不重合的图形就是 GE F，利用 30角和 60角的直角三角形的性质进行计算得出结论 . 答案： (3)如图 1， 当 0 t 1时，则 DP=t，构建直角 BQD， 得 BQ=3， DQ= 3 ，则 BD=2 3 ， BDQ=30， 33PH t， 3PG t ， 21 2 323S P E P F D P t ， 如图 2， 当 1 t 2时， 2 133E G E G t ， E F=2(t-1)， 2233 1St不 重 合 ， 2 212 2 3 3 2 3 2 3 3 33 3 34 8 41 3 3 31S S S S t t t t 不 重 合. 综上所述： 2233St(0 t 1)或 22 3 3 333438S t t (1 t 2).
