1、2016年广西贵港市中考真题数学 一、 (共 12小题，每小题 3分，满分 36 分 )每小题都给出标号为 (A)、 (B)、 (C)、 (D)的四个选项，其中只有一个是正确的 .请考生用 2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑 . 1. -2的绝对值是 ( ) A.2 B.-2 C.0 D.1 解析：根据负数的绝对值是它的相反数，可知 -2的绝对值是 2. 答案： A. 2.下列运算正确的是 ( ) A.3a+2b=5ab B.3a 2b=6ab C.(a3)2=a5 D.(ab2)3=ab6 解析：分别利用单项式乘以单项式以及合并同类项法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出
2、答案 . A、 3a+2b无法计算，故此选项错误； B、 3a 2b=6ab，正确； C、 (a3)2=a6，故此选项错误； D、 (ab2)3=a3b6，故此选项错误 . 答案： B. 3.用科学记数法表示的数是 1.69 105，则原来的数是 ( ) A.169 B.1690 C.16900 D.169000 解析：根据科学记数法的表示方法， n是几小数点向右移动几位，可知： 1.69 105，则原来的数是 169000. 答案： D. 4.在 ABC中，若 A=95， B=40，则 C的度数为 ( ) A.35 B.40 C.45 D.50 解析：三角形的内角和是 180， 又 A=95
3、， B=40 C=180 - A- B =180 -95 -40 =45 . 答案： C. 5.式子 11x在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ( ) A.x 1 B.x 1 C.x 1 D.x 1 解析：被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到： x-1 0，解得 x 1. 答案： C. 6.在平面直角坐标系中，将点 A(1， -2)向上平移 3个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A，则点 A的坐标是 ( ) A.(-1， 1) B.(-1， -2) C.(-1， 2) D.(1， 2) 解析：向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加 . 将点 A(1， -2)向上平移 3个单位长
4、度，再向左平移 2个单位长度，得到点 A， 点 A的横坐标为 1-2=-1，纵坐标为 -2+3=1， A的坐标为 (-1， 1). 答案 ： A. 7.从 5 ， 0， 4 ， 3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是 ( ) A.15B.25C.35D.45解析： 5 ， 0， 4 ， 3.5这五个数中，无理数有 2个， 随机抽取一个，则抽到无理数的概率是 25. 答案： B. 8.下列命题中错误的是 ( ) A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B.矩形的对角线相等 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 解析：直接利用平行四边形以及
5、矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析得出答案 . A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意； B、矩形的对角线相等，正确，不合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，不合题意 . 答案： C. 9.若关于 x 的一元二次方程 x2-3x+p=0(p 0)的两个不相等的实数根分别为 a 和 b，且a2-ab+b2=18，则 abba的值是 ( ) A.3 B.-3 C.5 D.-5 解析： a、 b为方程 x2-3x+p=0(p 0)的两个不相等的实数根， a+b=3， ab=p， a2-ab+b
6、2=(a+b)2-3ab=32-3p=18， p=-3. 当 p=-3时， =(-3)2-4p=9+12=21 0， p=-3符合题意 . 222 2 22 32 2 53a b a b a ba b a bb a a b a b a b . 答案： D. 10.如图，点 A在以 BC为直径的 O内，且 AB=AC，以点 A为圆心， AC 长为半径作弧，得到扇形 ABC，剪下扇形 ABC围成一个圆锥 (AB 和 AC重合 )，若 BAC=120， BC=2 3 ，则这个圆锥底面圆的半径是 ( ) A.13B.23C. 2 D. 3 解析：根据扇形的圆心角的度数和直径 BC 的长确定扇形的半径，
7、然后确定扇形的弧长，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列式求解即可 . 如图，连接 AO， BAC=120， BC=2 3 ， OAC=60， OC= 3 ， AC=2， 设圆锥的底面半径为 r，则 1 2 0 2 421 8 0 3r ， 解得： 23r. 答案： B. 11.如图，抛物线 2 211 2 33 5y x x 与 x轴交于 A， B两点，与 y轴交于点 C.若点 P是线段 AC上方的抛物线上一动点，当 ACP的面积取得最大值时，点 P的坐标是 ( ) A.(4， 3) B.(5， 3512) C.(4， 3512) D.(5， 3) 解析 ：连接 PC、 PO、 PA，设点 P
8、坐标 (m， 2152 3132mm ) 令 x=0，则 y=53，点 C坐标 (0， 53)， 令 y=0则 2 231501 2 3xx ，解得 x=-2或 10， 点 A坐标 (10， 0)，点 B坐标 (-2， 0)， S PAC=S PCO+S POA-S AOC 225 1 5 5 5 1 2 51 0 1 0 53 1 2 3 3 1 21 11 2 12 2 3 2 2m m m m ， x=5时， PAC面积最大值为 12512， 此时点 P坐标 (5， 3512). 故点 P坐标为 (5， 3512). 答案： B. 12.如图， ABCD的对角线 AC， BD交于点 O，
9、 CE平分 BCD交 AB于点 E，交 BD于点 F，且 ABC=60， AB=2BC，连接 OE.下列结论： ACD=30；A B C DS A C B C； OE： AC= 3 ： 6； S OCF=2S OEF成立的个数有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：四边形 ABCD 是平行四边形， ABC= ADC=60， BAD=120， CE平分 BCD交 AB 于点 E， DCE= BCE=60 CBE是等边三角形， BE=BC=CE， AB=2BC， AE=BC=CE， ACB=90， ACD= CAB=30，故正确； AC BC， A B C DS A C B C，
10、故正确， 在 Rt ACB中， ACB=90， CAB=30， AC= 3 BC， AO=OC， AE=BE， OE= 12BC， 123BCO E A C BC： ， OE： AC=3： 6；故正确； AO=OC， AE=BE， OE BC， OEF BCF， 12CF BCEF OE， 12O C F O E F CFSS OE：， S OCF=2S OEF；故正确 . 综上所述，正确的个数有 4个 . 答案： D. 二、填空题 (共 6小题，每小题 3分，满分 18分 ) 13. 8的立方根是 . 解析： 利用立方根的定义计算 ： 38=2 ， 8的立方根为 2. 答案 ： 2. 14.
11、分解因式： a2b-b= . 解析：首先提取公因式 b，进而利用平方差公式分解因式得出答案 . a2b-b =b(a2-1) =b(a+1)(a-1). 答案： b(a+1)(a-1). 15.如图，已知直线 a b， ABC 的顶点 B 在直线 b 上， C=90， 1=36，则 2 的度数是 . 解析：过点 C作 CF a， 1=36， 1= ACF=36 . C=90， BCF=90 -36 =54 . 直线 a b， CF b， 2= BCF=54 . 答案： 54 . 16.如图， AB是半圆 O的直径， C是半圆 O上一点，弦 AD平分 BAC，交 BC于点 E，若 AB=6，AD
12、=5，则 DE 的长为 . 解析 ：如图，连接 BD， AB为 O的直径， AB=6， AD=5， ADB=90， 226 5 1 1BD ， 弦 AD 平分 BAC， CD BD ， DBE= DAB， 在 ABD和 BED中， B A D E B DA D B B D E ， ABD BED， ED BDBD AD，即 BD2=ED AD， 21 1 5ED， 解得 DE=115. 答案 ： 115. 17.如图，在 Rt ABC 中， C=90， BAC=60，将 ABC绕点 A逆时针旋转 60后得到 ADE，若 AC=1，则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分 (阴影部分 )的面积是
13、 (结果保留 ). 解析： C=90， BAC=60， AC=1， AB=2， 扇形 BAD的面积是： 26 0 2 23 6 0 3 ， 在直角 ABC中， 36 0 2 32B C A B s i n ， AC=1， 1 1 3221 32A B C A D ES S A C B C . 扇形 CAE的面 322积是： 260 1360 6 ， 则阴影部分的面积是： 23 6 2A B C A D ED A B A C ES S S S 扇 形 扇 形. 答案：2. 18.已知1 1ta t ，2 111a a ，3 211a a ，111n na a (n为正整数，且 t 0， 1)，则
14、 a2016= (用含有 t的代数式表示 ). 解析 ：根据题意得：1 1ta t ，2 111a a ，3 211a a ，41=1 11tatt， 2016 3=672， a2016的值为 1t. 答案： 1t. 三、解答题 (本大题共 8 小题，满分 66分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19. (1)计算： 1 02 7 2 0 1 6 9 3) 01 (2 t a n . 解析： (1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式 的化简 ，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案： (1)原式 2 3 1 9 2 3 1 33333 13 . (2)解
15、分式方程： 33122xxx . 解析： (2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案： (2)去分母得： x-3+x-2=3， 解得： x=4， 经检验 x=4是分式方程的解 . 20.如图，在 ABCD中， AC为对角线， AC=BC=5， AB=6， AE是 ABC的中线 . (1)用无刻度的直尺画出 ABC的高 CH(保留画图痕迹 ). 解析： (1)连接 BD， BD与 AE 交于点 F，连接 CF 并延长到 AB，与 AB 交于点 H，则 CH为 ABC的高 . 答案： (1)如图，连接 BD， BD与 AE 交于点 F，
16、连接 CF并延长到 AB，则它与 AB 的交点即为H. 理由如下： BD、 AC是 ABCD 的对角线， 点 O是 AC 的中点， AE、 BO是等腰 ABC 两腰上的中线， AE=BO， AO=BE， AO=BE， ABO BAE(SSS)， ABO= BAE， ABF中， FAB= FBA， FA=FB， BAC= ABC， EAC= OBC， 在 AFC与 BFC中， A C B CE A C O B CF A F B， AFC BFC(SAS)， ACF= BCF，即 CH 是等腰 ABC顶角平分线， 所以 CH 是 ABC的高 . (2)求 ACE的面积 . 解析： (2)首先由三线
17、合一，求得 AH 的长，再由勾股定理求得 CH 的长，继而求得 ABC 的面积，又由 AE是 ABC的中线，求得 ACE的面积 . 答案： (2) AC=BC=5， AB=6， CH AB， AH=12AB=3， 22 4C H A C A H ， 112 6 4 1 22ABCS A B C H ， AE是 ABC的中线， 12 6A C E A B CSS. 21.如图，已知一次函数 12y x b的图象与反比例函数 kyx(x 0)的图象交于点 A(-1，2)和点 B，点 C在 y轴上 . (1)当 ABC的周长最小时，求点 C的坐标； 解析： (1)作点 A关于 y轴的对称点 A，连接
18、 A B交 y轴于点 C，此时点 C即是所求 .由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象 点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点 A、 B的坐标，再根据点 A与点 A关于 y轴对称，求出点 A的坐标，设出直线 A B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线 A B的解析式，令直线 A B解析式中x为 0，求出 y的值，即可得出结论 . 答案： (1)作点 A关于 y 轴的对称点 A，连接 A B交 y轴于点 C，此时点 C即是所求，如图所示 . 反比例函数 kyx(x 0)的图象过点 A(-1
19、， 2)， k=-1 2=-2， 反比例函数解析式为 2yx(x 0)； 一次函数 12y x b的图象过点 A(-1， 2)， 2 12 b ，解得： 52b， 一次函数解析式为 5212yx. 联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组： 22125yxyx ， 解得： 124xy ，或 12xy， 点 A的坐标为 (-1， 2)、点 B的坐标为 (-4， 12). 点 A与点 A关于 y 轴对称， 点 A的坐标为 (1， 2)， 设直线 A B的解析式为 y=mx+n， 则有 2412mnmn ，解得：3101710mn ， 直线 A B的解析式为 3 1710 10yx. 令 3 1
20、710 10yx中 x=0，则 1710y， 点 C的坐标为 (0， 1710). (2)当 12 kxbx 时，请直接写出 x的取值范围 . 解析： (2)根据两函数图象的上下关系结合点 A、 B的坐标，即可得出不等式的解集 . 答案： (2)观察函数图象，发现： 当 x -4或 -1 x 0时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 当 52212 x x时， x的取值范围为 x -4或 -1 x 0. 22.在国务院办公厅发布中国足球发展改革总体方案之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答
21、下列问题： (1)本次接受问卷调查的学生总人数是 . 解析： (1)根据折线统计图可得出本次接受问卷调查的学生总人数是 20+60+30+10=120(人 ). 答案： (1)120. (2)扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ， m的值为 . 解析： (2)用 360乘以“了解”占的百分比即可求出所对应扇形的圆心角的度数，用基本了解的人数除以接受问卷调查的学生总人数即可求出 m的值 . “了解”所对应扇形的圆心角的度数为： 103 6 0 3 0120 . 10 1 0 0 % 2 5 %120 ，则 m的值是 25. 答案： (2)30； 25. (3)若该校共有学生 150
22、0名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“基本了解”的人数 . 解析： (3)用该校总人数乘以对足球的了解程度为“基本了解”的人数所占的百分比即可 . 答案： (3)若该校共有学生 1500名，则该校学生对足球的了解程度为“基本了解”的人数为：1500 25%=375. 23.为了经济发展的需要，某市 2014 年投入科研经费 500 万元， 2016 年投入科研经费 720万元 . (1)求 2014至 2016年该市投入科研经费的年平均增长率 . 解析： (1)等量关系为： 2014年投入科研经费 (1+增长率 )2=2016年投入科研经费，把相关数值代入求解即可 . 答案：
23、 (1)设 2014至 2016年该市投入科研经费的年平均增长率为 x， 根据题意，得： 500(1+x)2=720， 解得： x1=0.2=20%， x2=-2.2(舍 )， 答： 2014至 2016年该市投入科研经费的年平均增长率为 20%. (2)根据目前经济发展的实际情况，该市计划 2017 年投入的科研经费比 2016 年有所增加，但年增长率不超过 15%，假定该市计划 2017 年投入的科研经费为 a 万元，请求出 a 的取值范围 . 解析： (2)根据： 2 0 1 7 2 0 1 6 1 0 0 % 1 5 %2016 年 的 科 研 经 费 年 的 科 研 经 费年 的 科
24、 研 经 费解不等式求解即可 . 答案： (2)根据题意，得： 720 1 0 0 % 1 5 %720a ， 解得： a 828， 又该市计划 2017年投入的科研经费比 2016年有所增加 故 a的取值范围为 720 a 828. 24.如图，在 ABC中， AB=AC， O为 BC 的中点， AC与半圆 O相切于点 D. (1)求证： AB 是半圆 O 所在圆的切线 . 解析： (1)根据等腰三角形的性质，可得 OA是 BAC的角平分线 ，根据角平分线的性质，可得 OD=OE，根据切线的判定，可得答案 . 答案： (1)如图 1， 作 OD AC于 D， OE AB于 E， AB=AC，
25、 O为 BC 的中点， CAO= BAO. OD AC于 D， OE AB于 E， OD=OE， AB经过圆 O半径的外端， AB是半圆 O所在圆的切线 . (2)若 cos ABC=23， AB=12，求半圆 O所在圆的半径 . 解析： (2)根据余弦，可得 OB 的长，根据勾股定理，可得 OA 的长，根据三角形的面积，可得 OE的长 . 答案： (2)cos ABC=23， AB=12，得 OB=8. 由勾股定理，得 22 4 5A O A B O B . 由三角形的面积，得 1122A O BS A B O E O B A O， 8 3 5O B A OOE AB， 半圆 O所在圆的半径
26、是 853. 25.如图，抛物线 y=ax2+bx-5(a 0)与 x轴交于点 A(-5， 0)和点 B(3， 0)，与 y轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式 . 解析： (1)把 A、 B两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式 . 答案： (1)把 A、 B两点坐标代入解析式可得 2 5 5 5 09 3 5 0abab ，解得1323ab ， 抛物线解析式为 2 51233y x x . (2)若点 E为 x轴下方抛物线上的一动点，当 S ABE=S ABC时，求点 E的坐标 . 解析： (2)当 S ABE=S ABC时，可知 E点和 C点的纵坐标相同，可求得 E点坐标
27、 . 答案： (2)在 2 51233y x x 中，令 x=0可得 y=-5， C(0， -5)， S ABE=S ABC，且 E点在 x轴下方， E点纵坐标和 C点纵坐标相同， 当 y=-5时，代入可得 2123 53 xx ，解得 x=-2 或 x=0(舍去 )， E点坐标为 (-2， -5). (3)在 (2)的条件下，抛物线上是否存在点 P，使 BAP= CAE？若存在，求出点 P的横坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (3)在 CAE中，过 E作 ED AC于点 D，可求得 ED和 AD的长度，设出点 P坐标，过P 作 PQ x轴于点 Q，由条件可知 EDA PQA，利用相似三
28、角形的对应边可得到关于 P 点坐标的方程，可求得 P 点坐标 . 答案： (3)假设存在满足条件的 P点，其坐标为 (m， 2123 53 mm)， 如图，连接 AP、 CE、 AE，过 E作 ED AC于点 D，过 P作 PQ x轴于点 Q， 则 AQ=AO+OQ=5+m， 2 51233P Q m m ， 在 Rt AOC中， OA=OC=5，则 AC=5 2 ， ACO= DCE=45， 由 (2)可得 EC=2，在 Rt EDC中，可得 DE=DC= 2 ， 24225A D A C D C ， 当 BAP= CAE时，则 EDA PQA， ED PQAD AQ，即2122 33 55
29、24mmm ， 21 2 133 554m m m 或 21 2 13 3 455m m m ， 当 21 2 133 554m m m 时，整理可得 4m2-5m-75=0，解得 m=154或 m=-5(与 A点重合，舍去 )， 当 21 2 13 3 455m m m 时，整理可得 4m2+11m-45=0，解得 m=94或 m=-5(与 A点重合，舍去 )， 存在满足条件的点 P，其横坐标为 154或 94. 26.如图 1，在正方形 ABCD内作 EAF=45， AE交 BC于点 E， AF交 CD 于点 F，连接 EF，过点 A作 AH EF，垂足为 H. (1)如图 2，将 ADF
30、绕点 A顺时针旋转 90得到 ABG. 求证： AGE AFE； 若 BE=2， DF=3，求 AH的长 . 解析： (1)由旋转的性质可知： AF=AG， DAF= BAG，接下来在证明 GAE= FAE，然后依据 SAS证明 GAE FAE即可；由全等三角形的性质可知： AB=AH， GE=EF=5.设正方形的边长为 x，接下来，在 Rt EFC中，依据勾股定理列方程求解即可 . 答案： (1)由旋转的性质可知： AF=AG， DAF= BAG. 四边形 ABCD为正方形， BAD=90 . 又 EAF=45， BAE+ DAF=45 . BAG+ BAE=45 . GAE= FAE. 在
31、 GAE和 FAE中， =A G A FG A E F A EA E A E， GAE FAE. GAE FAE， AB GE， AH EF， AB=AH， GE=EF=5. 设正方形的边长为 x，则 EC=x-2， FC=x-3. 在 Rt EFC中，由勾股定理得： EF2=FC2+EC2，即 (x-2)2+(x-3)2=25. 解得： x=6. AB=6. AH=6. (2)如图 3，连接 BD 交 AE 于点 M，交 AF 于点 N.请探究并猜想：线段 BM， MN， ND 之间有什么数量关系？并说明理由 . 解析： (2)将 ABM 逆时针旋转 90得 ADM .在 NM D 中依据勾股定理可证明 NM2=ND2+DM 2，接下来证明 AMN ANM，于的得到 MN=NM，最后再由 BM=DM证明即可 . 答案： (2)如图所示：将 ABM逆时针旋转 90得 ADM . 四边形 ABCD为正方形， ABD= ADB=45 . 由旋转的性质可知： ABM= ADM =45， BE=DM . NDM =90 . NM 2=ND2+DM 2. EAM =90， EAF=45， EAF= FAM =45 . 在 AMN和 ANM中， A M A MM A N M A NA N A N， AMN ANM . MN=NM . 又 BM=DM， MN2=ND2+BM2.
