1、湖北省专升本（高等数学）-试卷 14 及答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.函数 y=lnx+arcsinx 的定义域为 ( )（分数：2.00）A.(0，+)B.(0，1C.1，1D.1，0)3.函数 f(x)= （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.可能是奇函数也可能是偶函数4.极限 （分数：2.00）A.B.C.0D.5.已知 （分数：2.00）A.a=2，b=3B.a=0，b=9C.a=4，b=3D.a=1，b=66.要使函数 f
2、x) （分数：2.00）A.0B.1C.2D.n37.曲线 y= （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条8.函数 f(x)=(x 2 x2)x 3 x 不可导点个数是 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.函数 f(x)在a，b上连续是积分 a b f(x)dx 存在的 ( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要10.若 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)=sinxB.f(x)=1+cosxC.f(x)=sinxD.f(x)=1sinx11.已知 f(x)连续，且 f(0)=0，设 (x)= （分数：2.00）A
3、f(0)B.C.1D.12.已知向量 a、b 的夹角为 ，且a=1，b= 则a+b= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.曲面 x 2 +y 2 =1=2z 2 表示 ( )（分数：2.00）A.旋转单叶双曲面B.旋转双叶双曲面C.圆锥面D.椭球面14.极限 （分数：2.00）A.e 1B.eC.1D.015.设 z=f(x，y)可微，且当 y=x 2 时，f(x，y)=1 及 =x，则当 y=x 2 (x0)时， （分数：2.00）A.B.C.0D.116.利用变量替换 u=x，v= ，一定可把方程 化成 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.17.曲面 xy+yz+zx=
4、1 在点 P(1，2，3)处的切平面方程为 ( )（分数：2.00）A.5x+2y+z+2=0B.5x2y+z+2=0C.5x+2yz+2=0D.5x+2yz4=018.设 D 由 y 2 =x，y=x 围成，则 xydxdy= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 D 由 x0，y0 及 x 2 +y 2 1 所围成，则 xy 2 dxdy= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.20.L 为 y=x 3 ,y=x 所围边界线第一象限部分，f(x，y)连续，则 L (x，y)ds= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.21.L 是沿 y=11x从点 O(0，0)到点
5、B(2，0)的折线段，则曲线积分 L (x 2 +y 2 )dx(x 2 y 2 )dy= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.22.若 =+，则级数 （分数：2.00）A.收敛于 0B.收敛于C.发散D.敛散性无法确定23.已知幂级数 （分数：2.00）A.1a3B.1a3C.1a3D.1a324.已知 a n (x1) n 收敛域为1，3，则 （分数：2.00）A.1，3B.2，2C.D.4，425.设连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +ln226.微分方程 y+y=2x 2 e x 的特解应
6、设为 y * = ( )（分数：2.00）A.(Ax 2 +Bx+C)e xB.(Ax 3 +Bx 2 +Cx)e xC.(Ax 2 +Bx+C)e xD.(Ax 3 +Bx 2 +Cx)e x27.求极限 （分数：2.00）A.1B.0C.D.228.若 =k0，则级数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.敛散性不确定D.收敛于 029.微分方程 y+xy=1 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=x+C 1 lnxB.y=x+C 1 lnx+C 2C.y=x+C 2D.y=C 1 lnx+C 230.函数 f(x)在点 x=1 处可导，且 ，则 f(1)= ( ) （分数：2.00）
7、A.B.C.D.31.函数 f(x)是连续函数，则 a a x 2 f(x)f(x)dx= ( )（分数：2.00）A.1B.2C.1D.0二、填空题(总题数：15，分数：30.00)32.设 f(x)为连续的奇函数且 f(2)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_33.极限 （分数：2.00）填空项 1:_34.曲线 y=x+e x 在点(0，1)处的切线斜率 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_35.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_36.函数 f(x)=x+2cosx 在 （分数：2.00）填空项 1:_37.曲线 y=x 3 3x 2 +2x+1 的拐点为 1（
8、分数：2.00）填空项 1:_38.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_39.不定积分 （分数：2.00）填空项 1:_40. （分数：2.00）填空项 1:_41.极限 （分数：2.00）填空项 1:_42.将 xOz 平面内的曲线 z 2 =5x 绕 x 轴旋转一周，生成的旋转曲面的方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_43.由方程 e x+y +xyz=e z 确定的隐函数 z=z(x，y)的偏导数 （分数：2.00）填空项 1:_44.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_45.级数 （分数：2.00）填空项 1:_46.以 y=C 1 e x +C 2 e 2x 为
9、通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)47.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_48.求极限 （分数：2.00）_49.函数 y=y(x)由方程 （分数：2.00）_50.计算广义积分 （分数：2.00）_51.求函数 z=e xy .sin(x+y)的全微分（分数：2.00）_52.计算 （分数：2.00）_53.求 （分数：2.00）_54.将函数 f(x)= （分数：2.00）_55.求微分方程 y+ （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)56.(1)求曲线 y=x 2 ，y
10、2x 2 所围图形的面积 (2)求(1)中图形绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积（分数：2.00）_57.设 f(x)具有二阶导数，试确定 f(x)，使曲线积分 C e x 2f(x)f(x)ydx+f(x)dy 与积分路径无关（分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)58.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_湖北省专升本（高等数学）-试卷 14 答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.函数 y=lnx+ar
11、csinx 的定义域为 ( )（分数：2.00）A.(0，+)B.(0，1 C.1，1D.1，0)解析：解析：要使函数有意义，须3.函数 f(x)= （分数：2.00）A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶D.可能是奇函数也可能是偶函数解析：解析：因 f(x)=4.极限 （分数：2.00）A.B. C.0D.解析：解析：用等价无穷小代换简单些，5.已知 （分数：2.00）A.a=2，b=3B.a=0，b=9 C.a=4，b=3D.a=1，b=6解析：解析：因为当 x3 时，分母0 必有分子0，否则一定无极限，即有 9+3a+b=0，应用洛必达法则，左端=6.要使函数 f(x) （分数：2.00）A
12、0B.1C.2D.n3 解析：解析：A 错，因函数在 x=0 处不连续；B 错，虽然函数在 x=0 处连续，但不可导；C 也错，函数在x=0 处可导，进而函数在(，+)上均可导，但导函数在 x=0 处不连续，下面证明 因为 f(0)=0， 当 x0 时，f(x)= 所以当 x0 时，f(x)不存在，所以 f(x)在 x=0 处不连续； 仅 D正确，当 n3 时，f(x)= =0 当 x0 时，f(x)=7.曲线 y= （分数：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析：当 x0 时，y，所以 x=0 为垂直渐近线，当 x时，y ，所以 y= 为水平渐近线，当 x1 或 x
13、2 时，y8.函数 f(x)=(x 2 x2)x 3 x 不可导点个数是 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：因 f(x)=(x2)(x1)xx+1 x1，可知函数在 x=0，x=1 处不可导，而在x=1 处函数可导，原因是函数 g(x)=(x1)x1在 x=1 处左、右导数存在且相等，即 g(1)=09.函数 f(x)在a，b上连续是积分 a b f(x)dx 存在的 ( )（分数：2.00）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要解析：解析：连续为条件，积分存在为结论，显然由 a b f(x)dx 存在 10.若 f(x)= （分数：2.00）A
14、f(x)=sinx B.f(x)=1+cosxC.f(x)=sinxD.f(x)=1sinx解析：解析：令 t=x=u，dt=du，t=0，u=x，t=x，u=0 所以 f(x)=11.已知 f(x)连续，且 f(0)=0，设 (x)= （分数：2.00）A.f(0)B. C.1D.解析：解析：为求 (0)，先判断 (x)在 x=0 处连续，考虑 = f(0)=0=(0)，所以 (x)在 x=0处连续，而12.已知向量 a、b 的夹角为 ，且a=1，b= 则a+b= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为a+b 2 =(a+b) 2 =a 2 +b 2 +2a.b=1+
15、 =5 所以a+b= 13.曲面 x 2 +y 2 =1=2z 2 表示 ( )（分数：2.00）A.旋转单叶双曲面 B.旋转双叶双曲面C.圆锥面D.椭球面解析：解析：该曲面可看做由双曲线14.极限 （分数：2.00）A.e 1 B.eC.1D.0解析：解析：15.设 z=f(x，y)可微，且当 y=x 2 时，f(x，y)=1 及 =x，则当 y=x 2 (x0)时， （分数：2.00）A.B. C.0D.1解析：解析：16.利用变量替换 u=x，v= ，一定可把方程 化成 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：17.曲面 xy+yz+zx=1 在点 P(1，2，3)处的切
16、平面方程为 ( )（分数：2.00）A.5x+2y+z+2=0 B.5x2y+z+2=0C.5x+2yz+2=0D.5x+2yz4=0解析：解析：令 F(x，y，z)=xy+yz+zx1，则曲面上任一点处的切平面的法向量为： n=F x ，F y ，F z =y+z，x+z，y+x 于是点 P(1，2，3)处的切平面的法向量为：n 1 =5，2，1 故切平面方程为：5(x1)2(y+2)(z+3)=0 即 5x+2y+z+2=018.设 D 由 y 2 =x，y=x 围成，则 xydxdy= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：观察被积函数先积谁都一样，再看积分区域 D，应
17、先积 x，否则，会出现根号19.设 D 由 x0，y0 及 x 2 +y 2 1 所围成，则 xy 2 dxdy= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：用极坐标20.L 为 y=x 3 ,y=x 所围边界线第一象限部分，f(x，y)连续，则 L (x，y)ds= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 当沿 y=x 3 从 O 到 A 时，y=3x 2 这时 ds= 当沿 y=x 从 O 到 A 时，y=1，这时 ds= 所以 21.L 是沿 y=11x从点 O(0，0)到点 B(2，0)的折线段，则曲线积分 L (x 2 +y 2 )dx(x 2 y
18、 2 )dy= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： L = OA + AB = 0 1 2x 2 dx+ 1 2 (x 2 +(2x) 2 (x 2 (2x) 2 dx = 22.若 =+，则级数 （分数：2.00）A.收敛于 0B.收敛于 C.发散D.敛散性无法确定解析：解析：23.已知幂级数 （分数：2.00）A.1a3 B.1a3C.1a3D.1a3解析：解析：由幂级数的系数可得其收敛半径为 1，所以其收敛域为a1，a+1，因为 2a1，a+1)，即 a12，2a+1，所以 1a324.已知 a n (x1) n 收敛域为1，3，则 （分数：2.00）A.1，3B.
19、2，2C. D.4，4解析：解析：由已知条件知，幂级数的收敛半径为 2，且在端点处收敛，所以级数 收敛域为2，2，即2t2，令 t=x 2 ，则 ，所以幂级数 的收敛域为 25.设连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析：解析：f(x)=f(x).2，即 y=2y，所以 y=Ce 2x ，当 x=0 时，y=ln2，所以 C=ln2，所以 f(x)=e 2x ln226.微分方程 y+y=2x 2 e x 的特解应设为 y * = ( )（分数：2.00）A.(Ax 2 +Bx+C)e xB.(
20、Ax 3 +Bx 2 +Cx)e x C.(Ax 2 +Bx+C)e xD.(Ax 3 +Bx 2 +Cx)e x解析：解析：因为与方程对应的齐次方程 y+y=0 的通解为 Y=C 1 +C 2 e x ，由于齐次方程中不含有e x ，且原方程缺函数 y，于是特解应设为： y * =(Ax 2 +Bx+C).x.e x 27.求极限 （分数：2.00）A.1B.0C. D.2解析：解析：28.若 =k0，则级数 （分数：2.00）A.收敛 B.发散C.敛散性不确定D.收敛于 0解析：解析：29.微分方程 y+xy=1 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=x+C 1 lnxB.y=x+C
21、1 lnx+C 2 C.y=x+C 2D.y=C 1 lnx+C 2解析：解析：微分方程变形(xy)=1，所以 xy=x+C，即 y=1+ 30.函数 f(x)在点 x=1 处可导，且 ，则 f(1)= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：31.函数 f(x)是连续函数，则 a a x 2 f(x)f(x)dx= ( )（分数：2.00）A.1B.2C.1D.0 解析：解析：被积函数 x 2 f(x)f(x)是奇函数，故 a a x 2 f(x)f(x)dx=0二、填空题(总题数：15，分数：30.00)32.设 f(x)为连续的奇函数且 f(2)=1，则 （分数：2.00
22、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：因 f(x)为奇函数，有 f(2)=f(2)=1；又 f(x)连续， 故33.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 3）解析：解析： 34.曲线 y=x+e x 在点(0，1)处的切线斜率 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因 y1+e，故由导数的几何意义知，点(0，1)处的切线斜率 k=f(0)=2，故填 235.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因 f(x)= ，x0，3，故罗尔定理的结论为：f()=36
23、函数 f(x)=x+2cosx 在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 f(x)=12sinx，令 f(x)=0，得驻点：x= ；又 ；于是通过比较知，f(x)在上最大值 M=37.曲线 y=x 3 3x 2 +2x+1 的拐点为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1)）解析：解析：因 y=3x 2 6x+2，y=6x6，令 y=0 得：x1，又 x1，y0；x1 时，y0，故曲线的拐点为(1，1)38.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 f(x)= +cos2x，
24、于是 f (n) (x)= ， 故 f (27) ()= 39.不定积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：40. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 1 2 sin2xdx 是定积分，是一常数，故 41.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：42.将 xOz 平面内的曲线 z 2 =5x 绕 x 轴旋转一周，生成的旋转曲面的方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +z 2 =5x）解析：解析：由旋转曲面的方程特征知，所求曲面的方程为：y 2
25、z 2 =5x43.由方程 e x+y +xyz=e z 确定的隐函数 z=z(x，y)的偏导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程可化为：e x+y +xyze z =0，于是，令 F(x，y，z)=e x+y +xyze z ，有： 44.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，1）解析：解析：因 a n = ，于是 p= 45.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因46.以 y=C 1 e x +C 2 e 2x 为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 1（分数：2.00）填空
26、项 1:_ （正确答案：正确答案：y+y2y=0）解析：解析：因方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 所以，方程有特征根：r 1 =1，r 2 =2 于是特征方程为：r 2 +r2=0 故，相应的微分方程为：y+y2y=0三、解答题(总题数：9，分数：18.00)47.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：48.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：49.函数 y=y(x)由方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两端 y 对 x 求导有 即 xyy=x+yy，所以 y= )解析：50.计算广义积分 （分数：2.00）_正
27、确答案：(正确答案：令 =t，x=t 2 ，dx=2tdt，x=0，t=0；x+，t+ 所以 0 + )解析：51.求函数 z=e xy .sin(x+y)的全微分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 z=e xy sin(x+y)，于是 dz=de xy sin(x+y)=d(e xy ).sin(x+y)+ee xy dsin(x+y) =e xy .(ydx+xdy).sin(x+y)+e xy .cos(x+y)(dx+dy) =e xy ysin(x+y)+cos(x+y)dx+xsin(x+y)+cos(x+y)dy)解析：52.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
28、案：积分区域如图所示 由被积表达式知，该题必须先积 y，于是： )解析：53.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分路径 C 如图所示 )解析：54.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：55.求微分方程 y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：变量分离 +e x dx=0 积分得 +e x =C，当 x=0，y=1，所以 C=1 所以原方程的解为 )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)56.(1)求曲线 y=x 2 ，y=2x 2 所围图形的面积 (2)求(1)中图形绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积（分数：2.00）_正确答
29、案：(正确答案：联立方程 得交点(1，1)，由对称性所求面积为 S= 所求体积V=2 0 1 x 2 dy=2 0 1 ydy=(立方单位) )解析：57.设 f(x)具有二阶导数，试确定 f(x)，使曲线积分 C e x 2f(x)f(x)ydx+f(x)dy 与积分路径无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 由曲线积分与路径无关，所以有 )解析：五、证明题(总题数：1，分数：2.00)58.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)=arctanx+ 0，所以 f(x)单调递减又 =0，所以 f(x)0故当 x0 时，arctanx+ )解析：
