1、线性代数自考题-12 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：23，分数：69.00)1.计算 （分数：3.00）_2.设行列式 （分数：3.00）_3.计算 n 阶行列式 （分数：3.00）_4.计算 （分数：3.00）_5.计算 （分数：3.00）_6.计算 n+1 阶行列式 （分数：3.00）_7.计算行列式 （分数：3.00）_8.计算 n 阶行列式 （分数：3.00）_9.计算 n 阶行列式 （分数：3.00）_10.计算 （分数：3.00）_11.计算行列式 （分数：3.00）_12.计算 （分数：3.00）_13.计算 （分数：3.00）_14.
2、计算 n 阶行列式 （分数：3.00）_15.计算 （分数：3.00）_16.计算 （分数：3.00）_17.计算 （分数：3.00）_18.求行列式 （分数：3.00）_19.计算行列式 （分数：3.00）_20.计算 （分数：3.00）_21.计算 （分数：3.00）_22.用行列式解线性方程组： （分数：3.00）_23.设 f(x)是二次多项式，已知 f(1)=1，f(-1)=9，f(2)=-3，求出 f(3) （分数：3.00）_二、证明题(总题数：13，分数：31.00)24.设 （分数：3.00）_25.证明 （分数：3.00）_26.证明 （分数：3.00）_27.用数学归纳法
3、证明 （分数：3.00）_28.证明 （分数：3.00）_29.证明 （分数：2.00）_30.证明 （分数：2.00）_31.证明行列式 （分数：2.00）_32.求证 （分数：2.00）_33.证明行列式 （分数：2.00）_34.设 （分数：2.00）_35.证明等式 （分数：2.00）_36.设 a 1 ，a 2 ，a n 互不相同，求证：下列线性方程组有惟一组解： （分数：2.00）_线性代数自考题-12 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：23，分数：69.00)1.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：直接按对角线法则展开，并整理化
4、简得 4a 2 b 2 c 2 2.设行列式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：由于 所以 x=-2，因此 3.计算 n 阶行列式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：4.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：5.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：6.计算 n+1 阶行列式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：7.计算行列式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：提示第 1 列乘(-a 1 )加到第二列上，第 1 列乘(-a 2 )加到第二列上，第一列乘(-a 3 )加到第三列上，得 D=b 1 b 2 b 3 8.计算 n 阶行列式 （分数：3.0
5、0）_正确答案：()解析：9.计算 n 阶行列式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：10.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：将各行乘 1 加到第一行上，提取公因子 3a+b，再利用行列式的性质化为三角形，从而得结果为(3a+b)(b-a) 3 11.计算行列式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：将第 2 列的-a 倍加于第 1 列，第 3 列的-b 倍加于第 1 列，第 4 列的-c 倍加于第 1 列，第 5 列的-d 倍加于第 1 列，行列式等于 12.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：将第一行乘-1 加到其余各行上，形成三线型，最后得结果为1
6、3.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：提示第一行乘 1 加第二行，再让第二行乘 1 加第三行以此类推得 D=114.计算 n 阶行列式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：提示各行乘 1 加到第一行上，提出公因子(2n-1)，再将第 1 行乘(-1)加到其余各行上，得D=(2n-1)(n-1) n-1 15.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：将第一行乘 1 加到第二行上，再将新的第二行乘 1 加到第三行上，依次类推，最后可得行列式的值为 116.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：将各行元素乘 1 加到第一行上，提取公因子 10，再利用行列
7、式的性质化为三角形，从而得值为 16017.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：将第二列和第三列加到第一列上，提到公因子 2(a+b+c)，再利用行列式的性质化为下三角形，从而得结果为 2(a+b+c) 3 18.求行列式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：19.计算行列式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：20.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：行列式中第 i 列元素均有 b i (i=1，2，n)，把第 1 行的(-1)倍加到其他各行，可简化计算 21.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：这个行列式看上去比较复杂，但可以利用范得蒙德行
8、列式来计算因为 a 1 、a 2 、a 3 、a 4 都非零可在第一行提出 ，第二行提出 ，第三行提出 ，第四行提出 ，则原式等于 22.用行列式解线性方程组： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：用克拉默法则解得：x 1 =1，x=2，x 3 =-123.设 f(x)是二次多项式，已知 f(1)=1，f(-1)=9，f(2)=-3，求出 f(3) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：设 f(x)=ax 2 +bx+c，则有 二、证明题(总题数：13，分数：31.00)24.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明将行列式按第一行展开，得到 D n =2D n-1 -D
9、 n-2 于是 D n -D n-1 =D n-1 -D n-2 ，即证得D 1 ，D 2 ，D n 是等差数列25.证明 （分数：3.00）_正确答案：()解析：26.证明 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明将第二列与第三列都加到第四列上，提出公因子 p+q+r+s，得到两列相同，从而值为 027.用数学归纳法证明 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明n=1，n=2 时显然成立 28.证明 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明利用行列式的分列相加性，将其分成八个行列式，再化简整理即可得29.证明 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明利用行列式的分列相加性，将
10、其分成八个行列式，再化简整理即可得30.证明 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明将第二行加到第三行上，得到与第四行成比例，从而可得证31.证明行列式 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明将第 4 列乘 x 加于第 3 列，再将得到的第 3 列乘 x 加于第 2 列，再将得到的第 2 列乘 x 加于第 1 列，最后得 32.求证 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明按第一列展开得原行列式值等于 33.证明行列式 （分数：2.00）_正确答案：()解析：34.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明p(x)为范德蒙德行列式，由公式 p(x)=(a-x)(b-x)(
11、c-x)(b-a)(c-a)(c-b)，已知 a，b，c 各不相同，故 x 3 的系数-(b-a)(c-a)(c-b)0，所以 p(x)是 x 的 3 次多项式显然，3 次方程 p(x)=0 的根为 x 1 =a，x 2 =b，x 3 =c35.证明等式 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明记 根据范德蒙德行列式的计算公式，有 D=(b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c) =x 3 -(a+b+c)x 2 +(bc+ac+ab)x-abc(b-a)(c-a)(c-b) 又 所以 另外，将 D 按最后一行展开，可得 比较 D 的上述两个结果中的一次项的系数，得到 36.设 a 1 ，a 2 ，a n 互不相同，求证：下列线性方程组有惟一组解： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明由克拉默法则知当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有惟一解，而这个线性方程组的系数矩阵是一个范德蒙德行列式(事实上是范德蒙德行列式的转置，由行列式性质知道行列式和其转置的值相同)，当 a 1 ，a 2 ，a n 互不相同时，其值不等于零，由此即得结论
