1、线性代数自考题-16 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：22，分数：66.00)1.设矩阵 （分数：3.00）_2. （分数：3.00）_3.已知 （分数：3.00）_4.设矩阵 （分数：3.00）_5.已知 （分数：3.00）_6.设 （分数：3.00）_7.设 （分数：3.00）_8.设 （分数：3.00）_已知矩阵 （分数：3.00）(1).A T B；（分数：1.50）_(2).|A T B|（分数：1.50）_9.设 A、B 为两个三阶矩阵，且|A|=-1，|B|=5求|2(A T B -1 ) 2 | （分数：3.00）_10.设 A 是三阶
2、方阵，A*是 A 的伴随矩阵，且 （分数：3.00）_11.设 （分数：3.00）_12.设 （分数：3.00）_13.已知三阶方阵 A 的伴随矩阵 （分数：3.00）_（分数：3.00）(1).求 A -1 （分数：1.50）_(2).求解线性方程组 Ax=b，并将 b 用 A 的列向量组线性表出（分数：1.50）_14.设 （分数：3.00）_15.设矩阵 （分数：3.00）_16.设 （分数：3.00）_17.三阶矩阵 A 按列分块为 A=(A1 A 2 A 3 )，且|A|=-1，求|A 2 -2A 3 A 2 -3A 1 A 1 | （分数：3.00）_18.计算下列矩阵的逆： （分
3、数：3.00）_19.设矩阵 （分数：3.00）_20.设 （分数：3.00）_二、证明题(总题数：17，分数：34.00)21.设 A 为 n 阶方阵，且满足 AA T =E 和|A|=-1，E 表单位矩阵，证明：行列式|E+A|=0 （分数：2.00）_22.证明与对角矩阵 （分数：2.00）_23.如果 A k =O(k 为正整数)，求证： (E-A) -1 =E+A+A 2 +A k-1 （分数：2.00）_24.设 A、B 为 n 阶矩阵，且满足 A 2 =A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B，求证：AB=O （分数：2.00）_25.设 A 是二阶非零矩阵，若 A T =-
4、A，证明：|A|0 （分数：2.00）_26.设 A 为 n 阶对称矩阵，B 为 n 阶反对称矩阵，证明： (1)AB-BA 为对称矩阵； (2)AB+BA 为反对称矩阵 （分数：2.00）_27.奇数阶反对称行列式值为零 （分数：2.00）_设 A 为 n 阶方阵，证明：（分数：2.00）(1).A+A T 为对称矩阵，A-A T 为反对称矩阵；（分数：1.00）_(2).A 可以表示为对称矩阵与反对称矩阵的和（分数：1.00）_28.设 A，B 都是 n 阶对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA （分数：2.00）_设 A 为对称矩阵，证明：（分数：2.00）(1).
5、A -1 为对称矩阵；（分数：1.00）_(2).A*为对称矩阵(A*为 A 的伴随矩阵)（分数：1.00）_29.设 A、B、C 为 n 阶矩阵，|E-A|0，如果 C=A+CA，B=E+AB，证明：B-C=E （分数：2.00）_30.若 A 可逆，且 AB，证明：A*B* （分数：2.00）_31.证明若下三角矩阵 （分数：2.00）_32.设 A，B，C，均为 n 阶矩阵，B 和 C 都可逆，证明：秩 r(A)=r(BA)=r(AC) （分数：2.00）_33.设 A 是一个秩为 1 的 n 阶方阵，证明： (1) （分数：2.00）_34.设 A 是 n 阶方阵，如果存在 n 阶非零
6、矩阵 B 使 AB=O(零矩阵)证明：秩 An （分数：2.00）_35.设 mn 矩阵 A、B 的秩相等，证明：存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q 使得 PAQ=B （分数：2.00）_线性代数自考题-16 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：22，分数：66.00)1.设矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：2. （分数：3.00）_正确答案：()解析：3.已知 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：由于 AB=A 2 -E，又 所以 A 可逆，因此 B=A -1 (A 2 -E)=A-A -1 而 所以 4.设矩阵 （分数：
7、3.00）_正确答案：()解析：解：由于(A-2E)X=B，所以 5.已知 （分数：3.00）_正确答案：()解析：6.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：7.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：8.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：已知矩阵 （分数：3.00）(1).A T B；（分数：1.50）_正确答案：()解析：(2).|A T B|（分数：1.50）_正确答案：()解析：9.设 A、B 为两个三阶矩阵，且|A|=-1，|B|=5求|2(A T B -1 ) 2 | （分数：3.00）_正确答案：()解析：10.设 A 是三阶方阵，A*是 A 的伴随矩阵，且
8、（分数：3.00）_正确答案：()解析：11.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：提示 因为 A*=|A|A -1 所以|A|A -1 X=A -1 +2X 12.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：提示 因为 所以 13.已知三阶方阵 A 的伴随矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：由于 因此 A*可逆，并且 A 也可逆， 所以|A*|=|A|A -1 |=|A 3 |A -1 |=|A| 2 ，所以 因此 （分数：3.00）(1).求 A -1 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由于|A|=-10，故 A 可逆 且 (2).求解线性方程组 Ax
9、=b，并将 b 用 A 的列向量组线性表出（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：线性方程组 Ax=b 的解为 14.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：由于|A|=2，所以 A 可逆 经计算 又由于|B|=1，所以 B 可逆且 则 15.设矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析： 因此 A 可逆并且 所以 16.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：由 AB=A+2B 可得(A-2E)B=A，故 17.三阶矩阵 A 按列分块为 A=(A1 A 2 A 3 )，且|A|=-1，求|A 2 -2A 3 A 2 -3A 1 A 1 | （分数：3.00）_正确答案：
10、()解析：解：提示 |A 2 -2A 3 A 2 -3A 1 A 1 | =|-2A 3 A 2 A 1 | =(-2)(-1)|A 1 A 2 A 3 | =-218.计算下列矩阵的逆： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：我们用初等变换法计算： 因此原矩阵的逆阵为： 19.设矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：对矩阵 A 作初等变换，有 20.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：对 A 进行初等行变换，得 二、证明题(总题数：17，分数：34.00)21.设 A 为 n 阶方阵，且满足 AA T =E 和|A|=-1，E 表单位矩阵，证明：行列式|E+A|
11、=0 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明|E+A|=|AA T +A|=|AA T +AE| =|A(A T +E)|=|A|A T +E| =|A|(A+E) T |=|A|E+A| =-|E+A| 2|E+A|=0，|E+A|=022.证明与对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明设与 可交换的矩阵为 23.如果 A k =O(k 为正整数)，求证： (E-A) -1 =E+A+A 2 +A k-1 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明证(E-A)(E+A+A 2 +A k-1 )=E24.设 A、B 为 n 阶矩阵，且满足 A 2 =A，B 2 =B 及(
12、A+B) 2 =A+B，求证：AB=O （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明由已知得(A+B) 2 =A 2 +AB+BA+B 2 =A+AB+BA+B=A+B 所以 AB+BA=0 (1) 又(1)式左乘以 A 得：A 2 B+ABA=AB+ABA=0 (1)式右乘以 A 得：ABA+BA 2 =ABA+BA=0 所以 AB=BA 代入(1)式得 AB=025.设 A 是二阶非零矩阵，若 A T =-A，证明：|A|0 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明设 由 A=-A T 得到 因此 a=d=0，b=-c，于是 26.设 A 为 n 阶对称矩阵，B 为 n 阶反对称矩阵，
13、证明： (1)AB-BA 为对称矩阵； (2)AB+BA 为反对称矩阵 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明已知 A T =A，B T =-B，则 (1)(AB-BA) T =(AB) T -(BA) T =B T A T -A T B T =-BA+AB=AB-BA 所以 AB-BA 为对称矩阵 (2)(AB+BA) T =(AB) T +(BA) T =B T A T +A T B T =-BA-AB=-(AB+BA) 所以 AB+BA 为反对称矩阵27.奇数阶反对称行列式值为零 （分数：2.00）_正确答案：()解析：设 A 为 n 阶方阵，证明：（分数：2.00）(1).A+A
14、 T 为对称矩阵，A-A T 为反对称矩阵；（分数：1.00）_正确答案：()解析：证明根据矩阵转置运算的规则，有 (A+A T ) T =A T +(A T ) T =A T +A=A+A T ， 即 A+A T 为对称矩阵 同理 (A-A T ) T =A T -(A T ) T =A T -A=-(A-A T )， 即 A-A T 为反对称矩阵(2).A 可以表示为对称矩阵与反对称矩阵的和（分数：1.00）_正确答案：()解析：证明因为 由题(1)的证明可知 为对称矩阵， 28.设 A，B 都是 n 阶对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA （分数：2.00）_正确
15、答案：()解析：证明必要性：AB 是对称矩阵，即(AB) T =AB，又根据矩阵转置的运算规律，以及 A，B 都是对称矩阵，得 (AB) T =B T A T =BA， 从而有 AB=BA 充分性：设 AB=BA，根据矩阵转置的运算规律及已知条件，得 (AB) T =B T A T =BA=AB， 即 AB 是对称矩阵设 A 为对称矩阵，证明：（分数：2.00）(1).A -1 为对称矩阵；（分数：1.00）_正确答案：()解析：证明因为 A 为对称矩阵，所以 A“=A 又(A -1 )“=(A“) -1 =A -1 ，所以 A -1 为对称矩阵(2).A*为对称矩阵(A*为 A 的伴随矩阵)
16、（分数：1.00）_正确答案：()解析：证明由(1)知 A 可逆，且 A -1 是对称矩阵，又 A*=|A|A -1 ，所以 A*亦为对称矩阵29.设 A、B、C 为 n 阶矩阵，|E-A|0，如果 C=A+CA，B=E+AB，证明：B-C=E （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明提示 由 C=A+CA 得 C(E-A)=A， 所以 C=A(E-A) -1 由 B=E+AB 得(E-A)B=E， 所以 B=(E-A) -1 E 于是 B-C=(E-A) -1 E-A(E-A) -1 =(E-A)(E-A) -1 =E30.若 A 可逆，且 AB，证明：A*B* （分数：2.00）_正确
17、答案：()解析：证明提示因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，于是 P -1 A -1 P=B -1 ，且|A|=|B|，所以 P -1 |A|A -1 P=|B|B -1 即 P -1 A*P=B*，从而 A*B*31.证明若下三角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：()解析： 因为 A 可逆，从而|A|0，故 32.设 A，B，C，均为 n 阶矩阵，B 和 C 都可逆，证明：秩 r(A)=r(BA)=r(AC) （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明B，C 都可逆存在初等矩阵 P 1 ，P s ；Q 1 ，Q t ， 使 B=P 1 P s ，C=Q 1 Q t
18、 ， 则 BA=P 1 P s A 表示对 A 进行相应的初等行变换， AC=AQ 1 Qt 表示对 A 进行相应的初等列变换 初等变换不改变秩，结论成立33.设 A 是一个秩为 1 的 n 阶方阵，证明： (1) （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明设 A=( 1 ， 2 ， n )，其中 1 ， 2 ， n 是 A 的列向量，由于 r(A)=1，所以 1 ， 2 ， n 的极大无关组仅含一个列向量 设 是 1 ， 2 ， n 的极大无关组， 则其余向量可由 1 线性表示，因此 2 =b 2 1 ， 3 =b 3 1 ， n =b n 1 ， 所以 其中 b 1 =1 34.设 A 是 n 阶方阵，如果存在 n 阶非零矩阵 B 使 AB=O(零矩阵)证明：秩 An （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明由于 B 是非零矩阵，因此至少存在一个非零元素，设某一非零元素所在的列为35.设 mn 矩阵 A、B 的秩相等，证明：存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q 使得 PAQ=B （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明不妨设 A 与 B 的秩均为 r，则存在 m 阶可逆矩阵 P 1 ，P 2 和 n 阶可逆矩阵 Q 1 ，Q 2 使得 其中 E r 是 r 阶单位阵，令
