1、线性代数自考题-19 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：13，分数：48.00)1.已知向量组 （分数：2.00）_2.设三维列向量 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 ，满足： 1 + 3 +2 1 - 2 =0，3 1 - 2 + 1 - 3 =0，- 2 + 3 - 2 + 3 =0，且| 1 ， 2 ， 3 |=4，求| 1 ， 2 ， 3 | （分数：2.00）_3.设向量 ， 满足 5(-)+3(+)=0，其中 （分数：4.00）_4.设 1 =(2，3，5)， 2 =(3，7，8)， 3 =(1，-6，1)，求 使 =(7，-2，)
2、可用向量 1 ， 2 ， 3 线性表示 （分数：4.00）_5.已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，-1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)，问当 a，b 为何值时， 不能表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合? （分数：4.00）_6.设三阶矩阵 A=(，2 1 ，3 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 均为三维列向量，且已知|A|=18，|B|=2，求|A-B| （分数：4.00）_7.求 a 的值使向量组 （分数：4.00）_8.求向量组 1 =(1，2，1，0) T ， 2 =(1，1
3、，1，2) T ， 3 =(3，4，3，4) T ， 4 =(4，5，6，4) T 的秩与一个极大线性无关组 （分数：4.00）_9.求向量组 （分数：4.00）_10.设向量组 （分数：4.00）_11.已知向量组 （分数：4.00）_12.已知向量组 是 R 3 的一组基，求向量 （分数：4.00）_13.求 R 4 中由向量组 1 =(2，1，3，1)， 2 =(1，2，0，1)， 3 =(-1，1，-3，0)， 4 =(1，1，1，1)生成子空间的基和维数 （分数：4.00）_二、证明题(总题数：13，分数：52.00)14.已知向量 =(-1，2，s)可由 1 =(1，-1，2)，
4、2 =(0，1，-1)， 3 =(2，-3，t)惟一地线性表示，求证：t5 （分数：4.00）_设向量组 1 ， 2 ， 3 ，线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关 证明：（分数：4.00）(1). 1 能由 2 ， 3 线性表出（分数：2.00）_(2). 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出（分数：2.00）_15.设 为非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1 ， 2 ， r 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系，证明：， 1 ， 2 ， r 线性无关 （分数：4.00）_16.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，m 是大于 1 的自然数，已知 A m =0，而 A m
5、-1 0，求证：向量 1 ，A，A 2 ，A m-1 线性无关 （分数：4.00）_17.设有两个向量组 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ， r ， （分数：4.00）_18.若 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，证明：表示法惟一 （分数：4.00）_19.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明：向量组 1 = 1 ， 2 = 1 + 2 ， 2 = 1 + 2 + 3 也线性无关 （分数：4.00）_20.设向量组 1 ， 2 ， m 中每一个 1 i 都不能表示成前 i-1 个向量的线性组合，且 1 0，证明： 1 ， 2 ， m 的秩为 m （
6、分数：4.00）_21.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出，证明：其表示法惟一的充要条件是向量组 1 ， 2 ， m 线性无关 （分数：4.00）_22.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，向量 1 可由它们线性表出，向量 2 不能由它们线性表出证明：对任意数 ，向量组 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关 （分数：4.00）_23.已知向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m ， 有相同的秩，证明：可由 1 ， 2 ， m 线性表示 （分数：4.00）_24.设 V 1 是 R 4 由 生成的子空间，V 2 是 R 4 由 （分数：4.00）_25.
7、证明 是 R 3 的一组基，求向量 （分数：4.00）_线性代数自考题-19 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：13，分数：48.00)1.已知向量组 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解：3 1 -3+2 3 +2=5 2 +5，6=3 1 -5 2 +2 3 ， 所以 2.设三维列向量 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 ，满足： 1 + 3 +2 1 - 2 =0，3 1 - 2 + 1 - 3 =0，- 2 + 3 - 2 + 3 =0，且| 1 ， 2 ， 3 |=4，求| 1 ， 2 ， 3 | （分数：2.00）_正确答案：()
8、解析：解：由条件可知 而 所以 两边取行列式，得 3.设向量 ， 满足 5(-)+3(+)=0，其中 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由于 5-5+3+3=0，所以 4.设 1 =(2，3，5)， 2 =(3，7，8)， 3 =(1，-6，1)，求 使 =(7，-2，)可用向量 1 ， 2 ， 3 线性表示 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：求解非齐次线性方程组 5.已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，-1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)，问当 a，b 为何值时， 不能表示为 1 ， 2 ， 3
9、 ， 4 的线性组合? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 ，不难求得有线性方程组 对这个线性方程组的增广矩阵进行初等变换 6.设三阶矩阵 A=(，2 1 ，3 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 均为三维列向量，且已知|A|=18，|B|=2，求|A-B| （分数：4.00）_正确答案：()解析：7.求 a 的值使向量组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：由于 1 ， 2 ， 3 线性相关，因此以 1 ， 2 ， 3 为列向量的矩阵 A 的秩小于3，所以 8.求向量组 1 =(1，2，1，0)
10、T ， 2 =(1，1，1，2) T ， 3 =(3，4，3，4) T ， 4 =(4，5，6，4) T 的秩与一个极大线性无关组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为列向量构成矩阵 A 9.求向量组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为列向量的矩阵作初等行变换，有 所以 1 ， 2 为极大无关组，并且 10.设向量组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：以 1 ， 2 ， 3 为列向量的矩阵作初等行变换，有 11.已知向量组 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：对以 1 ，2， 3 ， 4 ，
11、 5 为列向量的矩阵 A 进行初等变换，有 12.已知向量组 是 R 3 的一组基，求向量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为列向量的矩阵 A 作初等行变换，有 13.求 R 4 中由向量组 1 =(2，1，3，1)， 2 =(1，2，0，1)， 3 =(-1，1，-3，0)， 4 =(1，1，1，1)生成子空间的基和维数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：生成子空间的基就是 1 ， 2 ， 3 ， 4 的极大无关组， 二、证明题(总题数：13，分数：52.00)14.已知向量 =(-1，2，s)可由 1 =(1，-1，2)， 2 =(0，
12、1，-1)， 3 =(2，-3，t)惟一地线性表示，求证：t5 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 1 ， 2 ， 3 是 3 个三维向量，如果它们线性无关，则任意一个三维向量均可惟一地由它们线性表示反之，若它们线性相关，则或者不能表示，或者表示不惟一，而 1 ， 2 ， 3 要线性无关，由它们组成的矩阵必须是非奇异矩阵，即 设向量组 1 ， 2 ， 3 ，线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关 证明：（分数：4.00）(1). 1 能由 2 ， 3 线性表出（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明由 1 ， 2 ， 3 线性相关得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0
13、 k 1 0，否则 2 ， 3 线性相关，与 2 ， 3 ， 4 线性无关矛盾，从而得 1 能由 2 ， 3 线性表出(2). 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明反证法，若 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，可得出 4 也能由 3 ， 4 线性表出，与 2 ， 3 ， 4 线性无关矛盾，从而得 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出15.设 为非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1 ， 2 ， r 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系，证明：， 1 ， 2 ， r 线性无关 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明方法一：因为
14、1 ， 2 ， r ，是 Ax=0 的基础解系 所以 1 ， 2 ， r 线性无关， 若 ， 1 ， 2 ， r 线性相关， 则 必可由 1 ， 2 ， r 线性表出， 从而 为 Ax=0 的解，这与 为 Ax=b 的解矛盾，故 ， 1 ， 2 ， r 线性无关 方法二(反正法)：若 ， 1 ， 2 ， r 线性相关，则存在不全为零的数 l，k 1 ，k 2 ，k r 使 l+k 1 1 +k 2 2 +k r r =0 若 l0，则 16.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，m 是大于 1 的自然数，已知 A m =0，而 A m-1 0，求证：向量 1 ，A，A 2 ，A m-1
15、线性无关 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明提示设存在一组数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 +k 2 A+k m A m-1 =0 两端左乘 A m-1 得：k 1 A m-1 +k 2 A m +k m A 2(m-1) =0 由于 A m =0，A m-1 0 所以 k 1 =0 式变为 k 2 A+k m A m-1 =0 两端左乘 A m-2 得：k 2 A m-1 +k m A 2m-3 =0 可得 k 2 =0 同理可推得 k 1 =k 2 =k m =0 从而 、A、A 2 、A m-1 线性无关17.设有两个向量组 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ，
16、 r ， （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明将 r 个式子相加得： 1 + 2 + r =(r-1)( 1 + 2 + r )， 18.若 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，证明：表示法惟一 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明提示设 =h 1 1 +h 2 2 +h s s =l 1 1 +l 2 2 +l s a s 则(h 1 -l 1 ) 1 +(h 2 -l 2 ) 2 +(h s -l s ) s =0 而 1 ， 2 ， s ，线性无关 所以 h 1 -l 1 =0，h 2 -l 2 =0，h s =l s =0 即 h 1 =
17、l 1 ，h 2 =l 2 ，h s =l s 表示法惟一19.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明：向量组 1 = 1 ， 2 = 1 + 2 ， 2 = 1 + 2 + 3 也线性无关 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明令 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0， 则 k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+k 3 ( 1 + 2 + 3 )=0， (k 1 +k 2 +k 3 ) 1 +(k 2 +k 3 ) 2 +k 3 3 =0， 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 线性方程组的系数行列式 20.设向量组 1 ， 2 ， m 中每一个 1 i 都不能表
18、示成前 i-1 个向量的线性组合，且 1 0，证明： 1 ， 2 ， m 的秩为 m （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明用反证法证明，如果 1 ， 2 ， m 线性相关，则存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m =0， 不妨设非零的 k i 中下标最大的为 k s 且 s1，即 k s+1 =k s+2 =k m =0，而 k s 0，则 21.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出，证明：其表示法惟一的充要条件是向量组 1 ， 2 ， m 线性无关 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明必要性：用反证法 充分性：
19、设 =h 1 1 +h 2 2 +h m m =l 1 1 +l 2 2 +l m m 则(h 1 -l 1 ) 1 +(h 2 -l 2 ) 2 +(h m -l m ) m =0 由 1 ， 2 ， m 线性无关得 h i =l i (i=1，2，m) 从而表示法惟一22.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，向量 1 可由它们线性表出，向量 2 不能由它们线性表出证明：对任意数 ，向量组 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明反证法 设 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关，已知 1 ， 2 ， m 线性无关，则得 1 + 2
20、 可由 1 ， 2 ，a m ，线性表出，从而得 2 也可由 1 ， 2 ， m 线性表出，矛盾23.已知向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m ， 有相同的秩，证明：可由 1 ， 2 ， m 线性表示 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明设 i1 ， i2 ， ir 是 1 ， 2 ， m 的一个极大无关组，由于 1 ， 2 ， m ， 的秩也是 r，所以 i1 ， i2 ， ir 也是 1 ， 2 ， m ， 的一个极大无关组，所以 可由 i1 ， i2 ， im 线性表示，而 i1 ， i2 ， ir 仅是 1 ， 2 ， m 的一个部分向量组，所以 也可由 1 ， 2 ， m 线性表示24.设 V 1 是 R 4 由 生成的子空间，V 2 是 R 4 由 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明以 1 ， 2 ， 1 ， 2 为列向量的矩阵作初等行变换，有 由此得出 1 =- 1 +3 2 ， 2 = 1 - 2 ，所以 V 2 V 1 ；又对矩阵进一步作初等行变换得 由此得出 25.证明 是 R 3 的一组基，求向量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明以 1 ， 2 ， 3 ， 为列向量的矩阵作初等行变换，有
