1、线性代数自考题-2 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 （分数：2.00）A.B.C.D.2.如果 n 阶方阵 A 满足 ATA=AAT=I，则 A 的行列式|A|为_ A.|A|=1 B.|A|=-1 C.|A|=1 或-1 D.|A|=0（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 是 n 阶方阵，已知 A2-2A-2I=0，则(A+I) -1=_A3I-A B3I+ACA-3I D （分数：2.00）A.B.C.D.4.已知 是齐次线性方程组 Ax=0 的
2、两个解，则矩阵 A 可为_ A(5，-3，-1) B CD （分数：2.00）A.B.C.D.5.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 A 为 n 阶方阵，且|A|=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_9.分块矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 1， 2线性无关而 1， 2， 3线性相关，则向量组 1，3 2，7 3的极大无关组为 1（分数：2.00）填空项 1:
3、_11.设矩阵 A 为 46 矩阵，如果秩 A=3，则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有解向量的个数为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 =2 是 n 阶方阵 A 的一个特征且|A|0，则 n 阶方阵 B=A3-3E+A-1必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 3 阶方阵 A 的特征值为 1=-1， 2=1， 3=2，则|A|= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知三阶矩阵 有一个特征向量 p= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_五、B计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_1
4、7.设 f(x)是二次多项式，已知 f(1)=1，f(-1)=9，f(2)=-3，求出 f(3)（分数：9.00）_18.设 A、B 为两个三阶矩阵，且|A|=-1，|B|=5求|2(A TB-1)2|（分数：9.00）_19.设向量 ， 满足 5(-)+3(+)=0，其中 （分数：9.00）_20.设向量 （分数：9.00）_21.将线性无关向量组 ， （分数：9.00）_22.用正交变换将二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：9.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.已知向量 =(-1，2，s)可由 1=(1，-1，2)， 2=(0，1，-1)， 3=(2，-
5、3，t)惟一地线性表示，求证：t5（分数：7.00）_线性代数自考题-2 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 *， *， * 解得 y=x+1答案为 C2.如果 n 阶方阵 A 满足 ATA=AAT=I，则 A 的行列式|A|为_ A.|A|=1 B.|A|=-1 C.|A|=1 或-1 D.|A|=0（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 |AA T|=|A|AT|=|A|2=|I|=1，所以|A|=
6、1答案为 C3.设 A 是 n 阶方阵，已知 A2-2A-2I=0，则(A+I) -1=_A3I-A B3I+ACA-3I D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 把已知关系式 A2-2A-2I=O 写成(A+I)M=I 的形式，则 M 是(A+I)的逆方阵，由题设关系式A2-2A-2I=O，可得 A(A+I)-3(A+I)=-I，即(A+I)(3I-A)=I，故(A+I) -1=3I-A答案为 A4.已知 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，则矩阵 A 可为_ A(5，-3，-1) B CD （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 将四个选项代入验证 Ax=0 是否成立
7、即可答案为 A5.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对系数矩阵作初等变换得：*，即*故*所以 x2，x 4为自由未知量答案为 C三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 按定义计算，可得结果为 07.设 A 为 n 阶方阵，且|A|=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *8.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *9.分块矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_
8、（正确答案：*）解析：解析 由转置矩阵的定义知10.已知 1， 2线性无关而 1， 2， 3线性相关，则向量组 1，3 2，7 3的极大无关组为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： 1，3 2）解析：解析 分析：由于 1与 3 2线性无关，并且 7 3可由 1，3 2线性表示11.设矩阵 A 为 46 矩阵，如果秩 A=3，则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有解向量的个数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 由于 AX=0 是 6 个未知量的齐次线性方程组6-r(A)=6-3=3，所以基础解系中含有 3 个解向量12.设 =2 是 n 阶方阵
9、A 的一个特征且|A|0，则 n 阶方阵 B=A3-3E+A-1必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 |A|0，因此 A 可逆，又 =2 是 A 的特征值，因此存在非零向量 使得 A=2，所以A3=A 2(A)= 2(2)=2A(A)=4A=8，*，所以*，所以 B 有特征值*13.设 3 阶方阵 A 的特征值为 1=-1， 2=1， 3=2，则|A|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 |A|= 1 2 3=-214.已知三阶矩阵 有一个特征向量 p= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x=-2，y=6，=-4
10、）解析：解析 设矩阵 A 的特征向量 p 所对应的特征值为 ，则有 (I-A)p=0， 即 * 或* 解得 x=-2，y=6，=-415.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 因为二次型 f(x1，x 2，x 3)=*+*，故由二次型矩阵的定义知矩阵为*五、B计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：17.设 f(x)是二次多项式，已知 f(1)=1，f(-1)=9，f(2)=-3，求出 f(3)（分数：9.00）_正确答案：(设 f(x)=ax2+bx+c，则有*解得 a=0，b=-4，c=5，从而 f(x)
11、=-4x+5，f(3)=-7)解析：18.设 A、B 为两个三阶矩阵，且|A|=-1，|B|=5求|2(A TB-1)2|（分数：9.00）_正确答案：(*)解析：19.设向量 ， 满足 5(-)+3(+)=0，其中 （分数：9.00）_正确答案：(由于 5-5+3+3=0，所以 * 所以*)解析：20.设向量 （分数：9.00）_正确答案：(* *因此 r(A)=3)解析：21.将线性无关向量组 ， （分数：9.00）_正确答案：(用施密特正交化方法，有*则 1， 2， 3是正交向量组，再单位化，有*，则 1， 2， 3是单位正交向量组)解析：22.用正交变换将二次型 f(x1，x 2，x
12、3)= （分数：9.00）_正确答案：(首先写出二次型的系数矩阵为*A 的特征多项式|E-A|=(-3) 2，所以 A 的特征值为 1= 2=3， 3=0对于 1= 2=3 解齐次线性方程组(3E-A)X=0，求出基础解系 1=*将 1， 2标准正交化得*， 2*对于 3=0，解齐次线性方程组(-A)X=0，求出基础解系*将 3标准化得*令*，则 P 为正交矩阵，经过正交变换 X=PY，二次型化为标准型*)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.已知向量 =(-1，2，s)可由 1=(1，-1，2)， 2=(0，1，-1)， 3=(2，-3，t)惟一地线性表示，求证：t5（分数：7.00）_正确答案：(证明 1， 2， 3是 3 个 3 维向量，如果它们线性无关，则任意一个 3 维向量均可惟一地由它们线性表示反之，若它们线性相关，则或者不能表示，或者表示不惟一，而 1， 2， 3要线性无关，由它们组成的矩阵必须是非奇异矩阵，即*通过计算得 t5)解析：
