1、线性代数自考题模拟 14 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：10.00)1.零为矩阵 A 的特征值是 A 不可逆的_（分数：2.00）A.必要条件B.充分条件C.非充分、非必要条件D.充要条件2.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 与 是 A 的分别属于特征值 1 ， 2 的特征向量，则 与 _（分数：2.00）A.对应分量成比例B.线性无关C.可能有零向量D.线性相关3.设 1 与 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的分别属于 1 ， 2 的特征向量，则_（分数：2.00）A.存在常数 k10，k20，使
2、k1+k2 是 A 的特征向量B.存在唯一的一组常数 k10，k20，k1+k2 是 A 的特征向量C.对任意 k10，k20，k1+k2 是 A 的特征向量D.当 k10，k20 时，k1+k2 不可能是 A 的特征向量4.设三元实二次型 则其规范形为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0 E-A)x=0 的基础解系为 1 和 2 ，则 A的属于 0 的全部特征向量是_（分数：2.00）A.1 和 2B.C11+C22+C2(C1，C2 为任意常数)C.C11+C22(C1，C2 为不全为零的任意常数)D.1 或
3、 2二、第二部分 非选择题(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）7.设 A 是 n 阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，|A|=5，则方阵 B=AA * 的特征值是 1，特征向量是 2 （分数：2.00）8.已知矩阵 （分数：2.00）9.三阶方阵 A 的特征值为 1，-1，2，则 B=2A 3 -3A 2 的特征值为 1 （分数：2.00）10.已知矩阵 A 与对角矩阵 （分数：2.00）11.设 （分数：2.00）12.设二次型 （分数：2.00）13.已知矩阵 （分数：2.00）14.设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如
4、图所示，则 A 的正特征值的个数为 1 （分数：2.00）15.设 A，B 为 n 阶方阵，且|A|0，则仙和 BA 相似，这是因为存在可逆矩阵 P= 1，使得 P -1 ABP=BA （分数：2.00）三、计算题(总题数：7，分数：63.00)16.设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A 3 -3A 2 +5A-3E=0证明：A 正定 （分数：9.00）_设 =1 是矩阵 （分数：9.00）(1).t 的值；（分数：4.50）_(2).对于 =1 的所有特征向量（分数：4.50）_17.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B
5、为正定矩阵 （分数：9.00）_设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：9.00）(1).求 x 和 y 的值；（分数：4.50）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：4.50）_18.设有 n 元实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x n-1 +a n-1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，其中 a i (i=1，2，n)为实数，试问：当 a 1 ，a 2 ，a n 满足何种条件时，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )为正定二次型? （分数：9.00）_19
6、.设 （分数：9.00）_设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(a ij ) nn 中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 （分数：9.00）(1).记 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式，并说明二次型 f(x)的矩阵为 A -1 ；（分数：4.50）_(2).二次型 g(x)=x T Ax 与 f(x)的规范形是否相同?说明理由（分数：4.50）_四、证明题(总题数：1，分数：7.00)20.设 1 ， 2 是方阵 A 的特征根， 1 2 ， 1 ， r 是 A 的对应于 1 的线性无
7、关的特征向量， 1 ， s 是 A 的对应于 2 的线性无关的特征向量，证明 1 ， r ， 1 ， s 线性无关 （分数：7.00）_线性代数自考题模拟 14 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：10.00)1.零为矩阵 A 的特征值是 A 不可逆的_（分数：2.00）A.必要条件B.充分条件C.非充分、非必要条件D.充要条件 解析：考点 矩阵可逆性 解析 零为矩阵 A 的特征值 2.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 与 是 A 的分别属于特征值 1 ， 2 的特征向量，则 与 _（分数：2.00）A.对应分量成比例B.
8、线性无关 C.可能有零向量D.线性相关解析：考点 特征值与特征向量 解析 因 1 2 ， 与 是 A 的特征向量，则 则由定理 5.2.4 得 ， 线性无关3.设 1 与 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的分别属于 1 ， 2 的特征向量，则_（分数：2.00）A.存在常数 k10，k20，使 k1+k2 是 A 的特征向量B.存在唯一的一组常数 k10，k20，k1+k2 是 A 的特征向量C.对任意 k10，k20，k1+k2 是 A 的特征向量D.当 k10，k20 时，k1+k2 不可能是 A 的特征向量 解析：考点 特征向量 解析 假设 k 1 +k 2 是 A 的属于
9、 的特征向量， 即 A(k 1 +k 2 )=(k 1 +k 2 )， 即(k 1 1 +k 2 2 )=k 1 +k 2 ， 即(k 1 1 -k 1 )+(k 2 2 -k 2 )=0， 而 与 分属于 A 的两个不同特征值的特征向量， 故线性无关，故 4.设三元实二次型 则其规范形为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：考点 求二次型的规范型 解析 三元二次型 经过可逆线性变换： z 3 =2x 3 ，则其规范型为 5.设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0 E-A)x=0 的基础解系为 1 和 2 ，则 A的属于 0 的全部特征向量是_（分
10、数：2.00）A.1 和 2B.C11+C22+C2(C1，C2 为任意常数)C.C11+C22(C1，C2 为不全为零的任意常数) D.1 或 2解析：考点 特征向量 解析 对任意常数 C 1 ，C 2 ，都有( 0 E-A)(C 1 1 +C 2 2 )=C 1 ( 0 E-A) 1 +C 2 ( 0 E-A) 2 =0 即有 A(C 1 1 +C 2 2 )= 0 (C 1 1 +C 2 2 ) 但又由于零向量不是特征向量 故属于 0 的全部特征向量即为 C 1 1 +C 2 2 ，( 二、第二部分 非选择题(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）解析：0 考点
11、行列式计算 解析 7.设 A 是 n 阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，|A|=5，则方阵 B=AA * 的特征值是 1，特征向量是 2 （分数：2.00）解析：5 任意 n 维非零向量 考点 特征值与特征向量 解析 因为 AA * =A * A=|A|E，所以对于任意 n 维非零向量 ，有 AA * =|A|E=|A|所以|A|=5是 B=AA * 的特征值，任意 n 维非零向量 为其对应的特征向量8.已知矩阵 （分数：2.00）解析： 考点 特征值的性质 解析 A 的行列式等于 A 的所有特征值的乘积，因为 A 有一个特征值为 0，所|A|=5-2x=0， 9.三阶方阵 A 的特征值为
12、1，-1，2，则 B=2A 3 -3A 2 的特征值为 1 （分数：2.00）解析：-1，-5，4 考点 特征值的求法 解析 设 A 的特征向量 ，对应特征值 ，则有 B=(2A 3 -3A 2 )=2A 3 -3A 2 =2 3 -3 2 =(2 3 -3 2 )，故 2 3 -3 2 是 B 的特征值10.已知矩阵 A 与对角矩阵 （分数：2.00）解析：E 考点 相似矩阵 解析 因 A 与 D 相似，且 则存在可逆矩阵 T，使得 TAT -1 =D 则 即 两边分别左乘 T -1 ，右乘 T， 则 11.设 （分数：2.00）解析：2 和 1(二重) 考点 特征值的求法 解析 因为|E-
13、A|=|(E-A) T |=|E-A T |，即 A 与 A T 有相同的特征多项式，故有相同的特征值，又 A T =B故 B 的特征值即为 2 和 1(二重)12.设二次型 （分数：2.00）解析： 考点 二次型及其标准形 解析 由对称性易知为 13.已知矩阵 （分数：2.00）解析：0，1 考点 实对称矩阵的相似 解析 因 AB，故 tr(A)=tr(B)，故 2+x=2+y-1 又因 AB，故|A|=|B|，故-2=-2y，故 y=1，x=014.设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为 1 （分数：2.00）解析：
14、1 考点 空间解析几何与线性代数的问题 解析 由图形可知二次曲面为双叶双曲面，其标准方程应为 15.设 A，B 为 n 阶方阵，且|A|0，则仙和 BA 相似，这是因为存在可逆矩阵 P= 1，使得 P -1 ABP=BA （分数：2.00）解析：A 考点 相似矩阵 解析 由|A|0 知 A 可逆，又 A -1 (AB)A=BA，故 P=A三、计算题(总题数：7，分数：63.00)16.设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A 3 -3A 2 +5A-3E=0证明：A 正定 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明：设 是 A 的任一特征值，对应特征向量为 x0，即 Ax=x，则有 (A 3 -
15、3A 2 +5A-3E)x=( 3 -3 2 +5-3)x=0， 也即 满足 3 -3 2 +5-3=(-1)( 2 -2+3)=0， 解得 =1 或 设 =1 是矩阵 （分数：9.00）(1).t 的值；（分数：4.50）_正确答案：()解析：即 t 为任何值时，矩阵都有特征值 1(2).对于 =1 的所有特征向量（分数：4.50）_正确答案：()解析：17.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明：因为 B T =(E+A T A) T =E+A T A=B，所以 B
16、 是 n 阶实对称矩阵，构造二次型 x T Bx，那么 x T Bx=x T (E+A T A)x=x T x+x T A T Ax=x T x+(Ax) T (Ax) ，恒有 x T x0，(Ax) T (Ax)0，因此，0 时， 设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：9.00）(1).求 x 和 y 的值；（分数：4.50）_正确答案：()解析：A 的特征值为-1，1，x；B 的特征值为 y，1，1 AB，故特征值相同，相比较得 y=-1，x=1(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：4.50）_正确答案：()解析： 令 =1，解(E-A)x=0 得 1 =(1，1，0)
17、 T ， 2 =(1，0，1) T 再令 =-1，解(E-A)x=0 得 3 =(1，0，0) T 取 18.设有 n 元实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x n-1 +a n-1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，其中 a i (i=1，2，n)为实数，试问：当 a 1 ，a 2 ，a n 满足何种条件时，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )为正定二次型? （分数：9.00）_正确答案：()解析：由已知条件知，对任意的 x 1 ，x 2 ，x n ，恒有 f(x 1 ，x 2
18、 ，x n )0， 其中等号成立的充分必要条件是 根据正定的定义，只要 x0，恒有 x T Ax0，则 x T Ax 是正定二次型，为此，只要方程组(1)仅有零解，就必有当 x0 时，x 1 +a 1 x 2 ，x 2 +a 2 x 3 ，不全为 0，从而 f(x 1 ，x 2 ，x n )0，亦即f 是正定二次型而方程组中只有零解的充分必要条件是系数行列式 19.设 （分数：9.00）_正确答案：()解析：可求得 A 的特征值 1 =-1， 2 =1， 3 =2，对应特征向量分别为 令 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(a ij ) nn 中元素 a ij 的代
19、数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 （分数：9.00）(1).记 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式，并说明二次型 f(x)的矩阵为 A -1 ；（分数：4.50）_正确答案：()解析：由于 因为 r(A)=n，知 A 可逆，又因 A 是实对称的，有(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ， 可知 (2).二次型 g(x)=x T Ax 与 f(x)的规范形是否相同?说明理由（分数：4.50）_正确答案：()解析：经坐标变换 x=A -1 y，有 g(x)=x T Ax=(A -1 y) T A(A -1 y)=y
20、T (A -1 ) T y=y T A -1 y=f(y) 即 g(x)与 f(x)有相同的规范形 考点 实二次型四、证明题(总题数：1，分数：7.00)20.设 1 ， 2 是方阵 A 的特征根， 1 2 ， 1 ， r 是 A 的对应于 1 的线性无关的特征向量， 1 ， s 是 A 的对应于 2 的线性无关的特征向量，证明 1 ， r ， 1 ， s 线性无关 （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明：由题意 A i = 1 i (i=1，r)，A i = 2 i (i=1，s) 设 k 1 1 +k r r +l 1 1 +l s s =0(*) 左乘 A 得 1 (k 1 1 +k r r )+ 2 (l 1 1 +l s s )=0 (*)式再两边同乘以 1 ，得 1 (k 1 1 +k r r )+ 1 (l 1 1 +l s s )=0 -得( 2 - 1 )(l 1 1 +l s s )=0，由 2 1 ，可知，l 1 1 +l s s =0， 又 1 ， 2 ， s 线性无关，所以 l 1 =l s =0，代入(*)可得 k 1 =k r =0， 故 1 ， r ， 1 ， s 线性无关，得证 考点 线性相关
