1、2016年江西省新余一中高考一模试卷数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 . 1.已知集合 M=x|2x 1， N=y|y=1-x2，则 M N=( ) A.(-， 2 B.(0， 1 C.(0， 2 D.0， 1 解析：由 M中不等式 2x 1，解得： 0 x 2，即 M=(0， 2， 由 N中 y=1-x2 1，得到 N=(-， 1， 则 M N=(0， 1. 答案： B. 2.复数 3 2 3 22 3 2 3ii( ) A.0 B.2 C.-2i D.2i 解析： 3 2 2 3 3 2 2 33 2 3 2 1 3
2、1 3 22 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3i i i ii i i i i i ii i i i i i . 答案： D. 3.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间 14， 12内，则输入的实数 x 的取值范围是( ) A.(-， -2 B.-2， -1 C.-1， 2 D.2， + ) 解析 ：分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数 (2 2 22 2 2) ( )x xfxx ， ， ， ，的函数值 . 又输出的函数值在区间 14， 12内， x -2， -1. 答案： B 4.某班对八校联考成绩进行分析，利
3、用随机数表法抽取样本时，先将 70 个同学按 01， 02，03 70 进行编号，然后从随机数表第 9 行第 5 列的数开始向右读，则选出的第 7 个个体是( )(注：如表为随机数表的第 8行和第 9行 ) 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54. A.07 B.44 C.15 D.51 解析：找到第 9行第 9 列数开始向右读，符合条件
4、的是 29， 64， 56， 07， 52， 42， 44， 故选出的第 7个个体是 44. 答案： B. 5.已知等差数列 an的公差 d 0，且 a1， a3， a13成等比数列，若 a1=1， Sn是数列 an前 n项的和，则 2 163nnSa (n N+)的最小值为 ( ) A.4 B.3 C.2 3 2 D.92解析： a1=1， a1、 a3、 a13 成等比数列， (1+2d)2=1+12d. 得 d=2或 d=0(舍去 )， an =2n-1， 21 2 12nnnSn， 22 1 6 2 1 63 2 2nnS nan . 令 t=n+1，则 2 1 6 9 2 6 2 4
5、3nnS tat 当且仅当 t=3，即 n=2 时， 2 163nnSa 的最小值为 4. 答案： A. 6.已知不等式组 3 4 1 0 043xyxy 表示区域 D，过区域 D 中任意一点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线且切点分别为 A、 B，当 APB最大时， cos APB=( ) A. 32B.12C. 32D. 12解析：作出不等式组对应的平面区域如图， 要使 APB最大，则 OPB最大， 1OBs in O P BO P O P ， 只要 OP最小即可 . 则 P到圆心的距离最小即可， 由图象可知当 OP 垂直直线 3x+4y-10=0， 此时 22 101 0 3 4 2
6、5OP ， |OA|=1， 设 APB=，则 APO2，即2 12OAsin OP ， 此时 221 2 1 2 121 1 12 2 2c o s s i n ， 即 cos APB=12. 答案 ： B 7.一个 棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为 ( ) A.8 14 B.8 42 1 C.2 5 14 D.16 42 1 解析：由题意作图如右， ABC与 ADC是全等的直角三角形， 其中 5 4 3AB ， BC=2， 故 S ADC=S ABC=12 2 3=3， BDC是等腰直角三角形， BC=CD=2， 故 S BCD=12 2 2=2， ADB是等腰三角形， AB=AD
7、=3， BD=22， 故点 A到 BD 的距离 23 2 7d ， 故 1 2722 14BADS ， 故表面积 3 3 2 1 4 8 1 4S . 答案： A. 8.将函数 f(x)=sin(2x+ )(| |2)的图象向左平移6个单位后的图形关于原点对称，则函数 f(x)在 0，2上的最小值为 ( ) A. 32B.12C. 12D. 32解析：函数 f(x)=sin(2x+ )(| |2)的图象向左平移6个单位后， 得到函数 2263 ( ) ( )y s i n x s i n x 的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3 k k z ， ()233f x s i n x ， 由
8、题意 x 0，2，得 2233 3x ， 3()212 3s in x ，函数 2()3y sin x 在区间 0，2的最小值为 32. 答案 ： D. 9.在二项式412nx x 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为 ( ) A.16B.14C.13D.512解析 ：展开式的通项为 234112r nrrrnT C x ， 展开式的前三项系数分别为 0nC， 112 nC， 214 nC. 前三项的系数成等差数列 ， 1 0 214n n nC C C， 解得 n=8. 所以展开式共有 9项， 所以展开式的通项为 1 6 3 34441
9、 8 81122rrrrrrrT C x C r C x . 当 x的指数为整数时，为有理项 所以当 r=0， 4， 8时 x 的指数为整数即第 1， 5， 9项为有理项共有 3个有理项 所以有理项不相邻的概率 636799512AAPA . 答案： D 10.已知点 A是抛物线 x2=4y 的对称轴与准线的交点，点 B为抛物线的焦点， P在抛物线上且满足 |PA|=m|PB|，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 A， B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 12B. 21 C. 512D. 51 解析：过 P作准线的垂线，垂足为 N， 则由抛物线的定义可得 |PN|=|P
10、B|， |PA|=m|PB|， |PA|=m|PN| 1 PNm PA， 设 PA的倾斜角为，则 1sinm ， 当 m取得最大值时， sin最小，此时直线 PA与抛物线相切， 设直线 PA的方程为 y=kx-1，代入 x2=4y，可得 x2=4(kx-1)， 即 x2-4kx+4=0， =16k2-16=0， k= 1， P(2， 1)， 双曲线的实轴长为 212P A P B ， 双曲线的离心率为 2 121 22 . 答案： B. 11.在菱形 ABCD中， A=60， AB= 3 ，将 ABD沿 BD 折起到 PBD的位置，若二面角 P-BD-C的大小为 23，则三棱锥 P-BCD 的
11、外接球体积为 ( ) A.43B. 32C.776 D.772 解析：取 BD 中点 E，连接 AE， CE，则 PEC=23， PE=CE=32. 设 BCD的外接圆的圆心与球心的距离为 h， 三棱锥 P-BCD的外接球的半径为 R，则222 223 3 5144RhhR ， 3272Rh， 三棱锥 P-BCD的外接球体积为 34 7 7 73 2 6 . 答案： C. 12.关于函数 2f x lnxx，下列说法错误的是 ( ) A.x=2是 f(x)的极小值点 B.函数 y=f(x)-x有且只有 1个零点 C.存在正实数 k，使得 f(x) kx恒成立 D.对任意两个正实数 x1， x2
12、，且 x2 x1，若 f(x1)=f(x2)，则 x1+x2 4 解析： 22xfx x ， (0， 2)上，函数单调递减， (2， + )上函数单调递增， x=2是 f(x)的极小值点，即 A正确； 2y f x x l n x xx ， 2 2 2 0xxy x ，函数在 (0， + )上单调递减， x 0，y +，函数 y=f(x)-x有且只有 1个零点，即 B正确； f(x) kx，可得22 lnxk xx ，令 22 ln xgx xx ，则 34 x x ln xgx x ， 令 h(x)=-4+x-xlnx，则 h (x)=-lnx， (0， 1)上，函数单调递增， (1， +
13、)上函数单调递减， h(x) h(1) 0， g (x) 0， 22 lnxgx xx在 (0， + )上函数单调递减，函数无最小值， 不存在正实数 k，使得 f(x) kx 恒成立，即 C不正确； 对任意两个正实数 x1， x2，且 x2 x1， (0， 2)上，函数单调递减， (2， + )上函数单调递增，若 f(x1)=f(x2)，则 x1+x2 4，正确 . 答案 ： C. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13.已知 a， b， c分别是 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边，若 a 1， b 3 ， A+C 2B，则 ABC的面积为 . 解析： A+C=2B，
14、 A+B+C=， B=3， 由余弦定理得 2 2 2 21322 12a c b cc o s B a c c ， 解得 c=2或 c=-1(舍 ). 1 1 3 32 12 2 22ABCS a c s i n B . 答案： 32. 14.如图在平行四边形 ABCD中，已知 AB=8， AD=4 3CP PD ， 2AP BP ，则 AB AD 的值是 . 解析：如图所示， 由 2AP BP ，得 2A D D P B C P C ， 13 244A D A B A D A B ， 即 2231 2162A D A B A D A B . 31 6 6 4 2112 6A B A D ，
15、解得： 4AB AD . 答案 ： 4. 15.已知双曲线 mx2-ny2=1(m 0、 n 0)的离心率为 2，则椭圆 mx2+ny2=1的离心率为 . 解析：双曲线 mx2-ny2=1即为 22111xymn，可得离心率为1121mnm ， 化简可得 m=3n， 则椭圆 mx2+ny2=1 即为 22111xymn， 可得离心率为 131161131nmnmm . 答案： 6316.若在定义域内存在实数 x，满足 f(-x)=-f(x)，称 f(x)为“局部奇函数”，若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域 R上的“局部奇函数”，则实数 m的取值范围是 . 解析：根据“局部奇函数”的
16、定义可知，函数 f(-x)=-f(x)有解即可， 即 f(-x)=4-x-m2-x+1+m2-3=-(4x-m2x+1+m2-3)， 4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0， 即 (2x+2-x)2-2m (2x+2-x)+2m2-8=0有解即可 . 设 t=2x+2-x，则 t=2x+2-x 2， 方程等价为 t2-2m t+2m2-8=0在 t 2时有解， 设 g(t)=t2-2m t+2m2-8， 对称轴 22mxm ， 若 m 2，则 =4m2-4(2m2-8) 0， 即 m2 8， 22 2 2m ，此时 222m ， 若 m 2，要使 t2-2m t+2m2-8=0在
17、t 2时有解， 则 2200mf ， 即2112233mmm ， 解得 123 m ， 综上： 1 322m . 答案 ： 1 322m . 三、解答题：解答， 写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 a1=12， an+1 12nnan. ( )求 an的通项公式 . 解析： ( )由已知得 11 12nnaa ，其中 n N*，利用等比数列的通项公式即可得出 . 答案： ( )由已知得 11 12nnaa ，其中 n N*， 数列 nan是公比为 12的等比数列，首项 a1 12， 12n nan， 12nnan. ( )设 bn=n(2-Sn)
18、， n N*，若 bn， n N*恒成立，求实数的取值范围 . 解析： ( )利用“错位相减法”、等比数列的其前 n项和公式即可得出 . 答案： ( )由 ( )知23222 21nnnS ， 3 4 12211 32 2 222nnnS ， 2 3 3 4 12 3 3 4 4 12 3 1221 1 12 2 211222 3 2 32 2 2 2 2 22 3 2 4 3 12 2 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2 212nn nnn n nnnSSn n nn 即122 21 1nnnS ， 222n nnS . 因此 22n nnnb ， 21 111 3 2 32 2 2
19、nn n n nn n n n nbb ， 当 n=1， b2-b1 0，即 b2 b1， n 2， bn+1-bn 0，即 bn+1 bn. b2是最大项 b2=2， 2. 18.在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1 分，白球记 2 分，黄球记 3 分 .现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得分数分别记为 x、 y，设 o为坐标原点，点 p的坐标为 (x-2)， x-y)，记 2OP . ( )求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率 . 解析： ( )x， y可能的取值为 1、 2、 3，仅有 x=1， y=3或 x=3， y=1时随机
20、变量的最大值为 5，可得符合题意的基本事件有 2 个，而总的基本事有件 3 3=9 种，由古典概型可得概率 . 答案： ( ) x， y可能的取值为 1、 2、 3， |x-2| 1， |y-x| 2， =(x-2)2+(x-y)2 5，当且仅当 x=1， y=3或 x=3， y=1时， =5， 因此随机变量的最大值为 5，因为有放回摸两球所有情况有 3 3=9种， 259()P . ( )求随机变量的分布列和数学期望 . 解析： ( )的所有的取值为 0， 1， 2， 5，同 ( )的求法分别可求得概率，列表可得分布列，由期望的定义可得期望值 . 答案： ( )的所有的取值为 0， 1， 2
21、， 5 =0 时，只有 x=2， y=2这一情况， =1时，有 x=1， y=1，或 x=2， y=1，或 x=2， y=3 或 x=3， y=3四种情况， =2时，有 x=1， y=2 或 x=3， y=2两种情况， 109()P ， 419()P ， 229()P . 故随机变量的分布列为： 因此数学期望 1 4 2 20 1 2 5 29 9 9 9E . 19.如图，在直角梯形 ABCD中， AD BC， ADC=90， AE平面 ABCD， EF CD， BC=CD=AE=EF=12 AD=1. ( )求证： CE平面 ABF. 解析： ( )作 FG EA， AG EF，连结 EG
22、 交 AF于 H，连结 BH， BG，由题设条件推导出四边形 AEFG为正方形，从而得到 CDAG为平行四边形，由此能够证明 CE面 ABF. 答案： ( )如图，作 FG EA， AG EF， 连结 EG 交 AF于 H，连结 BH， BG， EF CD且 EF=CD， AG CD，即点 G在平面 ABCD内 . 由 AE平面 ABCD，知 AE AG， 四边形 AEFG为正方形， CDAG为平行四边形， H为 EG的中点， B为 CG中点， BH CE， CE面 ABF. ( )求证： BE AF. 解析： ( )利用已知条件推导出 BG面 AEFG，从而得到 AF平面 BGE，由此能够证
23、明 AFBE. 答案： ( )在平行四边形 CDAG中， ADC=90， BG AG.又由 AE平面 ABCD，知 AE BG， BG面 AEFG， BG AF. 又 AF EG， AF平面 BGE， AF BE. ( )在直线 BC上是否存在点 M，使二面角 E-MD-A 的大小为6？若存在，求出 CM 的长；若不存在，请说明理由 . 解析： ( )以 A 为原点， AG 为 x 轴， AD 为 y 轴， AE 为 z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz.利用向量法能够求出结果 . 答案： ( )如图，以 A 为原点， AG为 x轴， AE 为 z轴， AD 为 y轴， 建立空间直角坐标系
24、A-xyz. 由题意得： A(0， 0， 0)， G(1， 0， 0)， E(0， 0， 1)， D(0， 2， 0)， 设 M(1， y0， 0)，则 ED (0， 2， -1)， DM (1， y0-2， 0)， 设面 EMD的一个法向量 n =(x， y， z)， 则 02020n E D y zn D M x y y ，令 y=1，得 z=2， x=2-y0， n =(2-y0， 1， 2). 又 AE 面 AMD， AE (0， 0， 1)为面 AMD的法向量， 二面角 E-MD-A的大小为6， 2026123|21 |4c o s n A E c o sy ， ， 解得0332y
25、， 在 BC 上存在点 M，且 22 33| ( ) |CM . 20.已知椭圆 C1： 221yxab(a b 0)与抛物线 C2： x2=2py(p 0)有一公共点，抛物线 C2的准线 l与椭圆 C1有一交点坐标是 ( 2 ， -2). ( )求椭圆 C1与抛物线 C2的方程 . 解析： ( )由准线方程 y=-2，可得抛物线的方程；再由椭圆的焦点坐标，可得椭圆的 c=2，运用椭圆的定义可得 a，求得 b，进而得到椭圆方程 . 答案： ( )抛物线 C2的准线方程是 y=-2， 所以 242p p ，所以抛物线 C2的方程是： x2=8y， 椭圆 C1： 221yxab(a b 0)的焦点
26、坐标是 (0， -2)， (0， 2)， 所以 c=2， 22 2 0 2 4 222a ， 所以 a 2 2 ， b 2，即椭圆 C1的方程是 22184yx. ( )若点 P是直线 l上的动点，过点 P作抛物线的两条切线，切点分别为 A， B，直线 AB 与椭圆 C1分别交于点 E， F，求 OE OF 的取值范围 . 解析： ( )设点 P(t， 0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， E(x3， y3)， F(x4， y4)，求得切线的斜率，得到切线 AP 的方程，求得 AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，由向量的数量积的坐标表示，即可得到所求范围 . 答案： ( )设
27、点 P(t， 0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， E(x3， y3)， F(x4， y4)， 抛物线方程可以化为： 21184y x y x ， ， 所以 AP 的方程为： 1 1 114y y x x x， 所以1 1 11422y x t y ，即11214y tx ，同理：22214y tx ， 所以直线 AB 的方程为：4 21y tx ， 将直线 AB方程代入椭圆 C1的方程得到： (t2+32)x2+16tx-64=0， 则 =256t2+256(t2+32) 0， 且3 4 3 4221 6 6 43 2 3 2tx x x xtt ， ， 所以 223 4 3
28、4 3 4 3 4 228 6 4 3 2 01 4 81 6 2 3 2 3 2t t tO E O F x x y y x x x xtt ， 因为 0232032t 10， 所以 OEOF 的取值范围是 (-8， 2. 21.设函数 bxf x axlnx. ( )若 a=0，求 f(x)的单调增区间 . 解析： ( )求 bxfxlnx的定义域，再求导 221b l n x b n xf x b ll n x l n x ，从而讨论确定函数的单调性 . 答案： ( )当 a=0时， bxfxlnx的定义域为 (0， 1) (1， + )， 22 1b l n x b l n xf x
29、bl n x l n x ， 当 b 0时， x (e， + )时， f (x) 0； 故 f(x)的单调增区间为 (e， + )； 当 b 0时， x (0， 1) (1， e)时， f (x) 0； 故 f(x)的单调增区间为 (0， 1)， (1， e). ( )当 b=1时，若存在 x1， x2 e， e2，使 f(x1) f (x2)+a成立，求实数 a的最小值 .(其中 e为自然对数的底数 ) 解析： ( )当 b=1时， bxf x axlnx， 21ln xf x aln x ，从而可得当 x2=e2 时， f(x2)+a有最大值 14，从而只需使存在 x1 e， e2，使 f
30、(x1) 0，从而可得114a lnx x，从而解得 . 答案： ( )当 b=1时， xf x axlnx， 21ln xf x aln x ， 故 222 2221 1 1124l n xf x al n x l n x ， 故当 x2=e2时， f (x2)+a有最大值 14， 故只需使存在 x1 e， e2，使 f(x1) 14， 故1 1114x axlnx ， 即114a lnx x， 令 2224114 4l n x xg x g xl n x x x l n x ，； 故 114gx ln x x在 e， e2上是减函数， 2 2111 4 1 42g e g eee ， ；
31、故只需使2412 1a e ； 故实数 a的最小值为212 14e . 四 .请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 . 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为 x cosy sin(为参数 )，曲线 C2的参数方程为 x acosy bsin(a b 0，为参数 )在以 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l： =与 C1， C2各有一个交点 .当 =0 时，这两个交点间的距离为 2，当 =2时，这两个交点重合 . ( )分别说明 C1， C
32、2是什么曲线，并求出 a与 b的值 . 解析： ( )有曲线 C1的参数方程为 x cosy sin(为参数 )，曲线 C2的参数方程为 x acosy bsin(a b 0，为参数 )，消去参数的 C1是圆， C2是椭圆，并利用 .当 =0 时，这两个交点间的距离为 2，当 =2时，这两个交点重合，求出 a及 b. 答案： ( )C1是圆， C2是椭圆 . 当 =0 时，射线 l与 C1， C2交点的直角坐标分别为 (1， 0)， (a， 0)， 因为这两点间的距离为 2，所以 a=3 当2时，射线 l与 C1， C2交点的直角坐标分别为 (0， 1)(0， b)， 因为这两点重合 所以 b
33、=1. ( )设当 =4时， l与 C1， C2的交点分别为 A1， B1，当 =4时， l与 C1， C2的交点为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1的面积 . 解析： ( )利用 C1， C2的普通方程，当 =4时， l 与 C1， C2的交点分别为 A1， B1，当 =4时， l与 C1， C2的交点为 A2， B2，利用面积公式求出面积 . 答案： ( )C1， C2的普通方程为 x2+y2=1 和 2 2 19x y . 当4时，射线 l与 C1交点 A1的横坐标为 x 22， 与 C2交点 B1的横坐标为 x 3 1010. 当4时，射线 l与 C1， C2的两个交点 A2，
34、B2分别与 A1， B1关于 x 轴对称，因此四边形 A1A2B2B1为梯形 . 故四边形 A1A2B2B1的面积为 2 2 225( ) ( )x x x x . 选修 4-5：不等式选讲 23.设函数 f(x)=|x-a|+2x，其中 a 0. ( )当 a=2时，求不等式 f(x) 2x+1的解集 . 解析： ( )当 a=2 时，不等式即 |x-2| 1，可得 x-2 1，或 x-2 -1，解得 x 的范围，可得不等式的解集 . 答案： ( )当 a=2时，不等式 f(x) 2x+1，即 |x-2| 1， x-2 1，或 x-2 -1. 解得 x 1，或 x 3， 故不等式的解集为 x
35、|x 1，或 x 3. ( )若当 x (-1， + )时，恒有 f(x) 0，求 a的取值范围 . 解析： ( )由于 f(x)的解析式及 a 0，可得函数 f(x)在它的定义域 (-2， + )上是增函数 .再 由 f(x) 0在它的定义域 (-2， + )上恒成立， 可得 f(-2)=a-2 0，由此求得 a的范围 . 答案： ( ) 3 0x a x af x ax a x a ， ， ， ， 故函数 f(x)在它的定义域 (-1， + )上是增函数 . 再由 f(x) 0在它的定义域 (-1， + )上恒成立， 可得 f(-1)=a-1 0，解得 a 1. 故 a的范围是 1， + ).
