1、2015年普通高等学校招生全国统一考试 (安徽卷 )数学理 一、选择题 1. |-3|的倒数是 ( ) A.3 B.13C.-3 D.-13解析： |-3|=3， 3的倒数是 13， |-3|的倒数是 13. 答案： B. 2.已知 x=1是方程 x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是 ( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 解析： x=1是方程 x2+bx-2=0 的一个根， x1x2=ca=-2， 1 x2=-2，则方程的另一个根是：-2， 答案： C 3.若 x1， x2(x1 x2)是方程 (x-a)(x-b)=1(a b)的两个根，则实数 x1， x2， a， b 的大小
2、关系为 ( ) A.x1 x2 a b B.x1 a x2 b C.x1 a b x2 D.a x1 b x2 解析： 用作图法比较简单，首先作出 (x-a)(x-b)=0图象，随便画一个 (开口向上的，与 x轴有两个交点 )，再向下平移一个单位，就是 (x-a)(x-b)=1，这时与 x 轴的交点就是 x1， x2，画在同一坐标系下，很容易发现 . 答案是： x1 a b x2. 答案： C 4.二次函数 y=mx2+x-2m(m是非 0常数 )的图象与 x轴的交点个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或 2个 解析： 二次函数 y=mx2+x-2m(m是非 0常数 )的图象
3、与 x轴的交点个数即为 y=0时方程 mx2+x-2m=0的解的个数， =1+8m2 0，故图象与 x轴的交点个数为 2个 . 答案： C. 5.某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中 AB CD， EAB=45，则 FDC的度数是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.75 解析： EAB=45， BAD=180 - EAB=180 -45 =135， AB CD， ADC= BAD=135， FDC=180 - ADC=45 . 答案： B 6.如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E在对角线 BD上，且 BAE=22.5， EF AB，垂足为F，则 EF的长为 ( ) A.
4、1 B. 2 C.4-2 2 D.3 2 -4 解析：在正方形 ABCD 中， ABD= ADB=45， BAE=22.5， DAE=90 - BAE=90 -22.5 =67.5， 在 ADE中， AED=180 -45 -67.5 =67.5， DAE= AED， AD=DE=4， 正方形的边长为 4， BD=4 2 ， BE=BD-DE=4 2 -4， EF AB， ABD=45， BEF是等腰直角三角形， EF= 22BE= 22 (4 2 -4)=4-2 2 . 答案： C. 7.在直径为 200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图 .若油面的宽 AB=160cm，则油的最大深
5、度为 ( ) A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm 解析：连接 OA，过点 O作 OE AB，交 AB于点 M， 直径为 200cm， AB=160cm， OA=OE=100cm， AM=80cm， OM= 2 2 2 21 0 0 8 0O A A M =60cm， ME=OE-OM=100-60=40cm. 答案： A 8.如图，把图中的 ABC 经过一定的变换得到 A B C，如果图中 ABC上的点 P的坐标为 (a， b)，那么它的对应点 P的坐标为 ( ) A.(a-2， b) B.(a+2， b) C.(-a-2， -b) D.(a+2， -b) 解析：由图可知
6、， ABC与 A B C关于点 (-1， 0)成中心对称， 设点 P的坐标为 (x， y)，所以，2ax=-1，2by=0，解得 x=-a-2， y=-b，所以， P (-a-2，-b). 答案： C. 9.甲、乙两盒中各放入分别写有数字 1， 2， 3的三张卡片，每张卡片除数字外其他完全相同 .从甲盒中随机抽出一张卡片，再从乙盒中随机摸出一张卡片，摸出的两张卡片上的数字之和是 3的概率是 ( ) A.19B.29C.13D.49解析：列表如下： 所有等可能的情况数有 9种，其中数字之和为 3的有 2种，则 P 数字之和为 3=29. 答案： B 10.在反比例函数 y=kx(k 0)的图象上
7、有两点， (-1， y1)， (-14， y2)，则 y1-y2的值是 ( ) A.正数 B.非正数 C.负数 D.不能确定 解析 ：点 (-1， y1)， (-14， y2)在反比例函数 y=kx(k 0)的图象上， 代入得： y1=-k， y2=-4k， y1-y2=-k-(-4k)=3k， k 0， y1-y2的值是负数 . 答案： C 二、填空题 11.如图，二次函数 y=x2-6x+5 的图象交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C，则 ABC 的面积为 . 解析：在 y=x2-6x+5中， 当 y=0时， x=1或 5；当 x=0时， y=5；则 A(1， 0)、 B(5，
8、 0)、 C(0， 5) 故 ABC的面积为： 12 4 5=10. 答案 ： 10 12.若关于 x的二次方程 (m2-2)x2-(m-2)x+1=0的两实根互为倒数，则 m= . 解析： 设方程的两根为 x1， x2， 根据题意得 x1 x2=21 2m =1， m2=3，解得 m= 3 或 - 3 ， 当 m= 3 时，原方程化为 x2+(2- 3 )x+1=0， =(2- 3 )2-4 0，原方程无实数根，所以 m=3 舍去， 当 m=- 3 时，原方程化为 x2+(2+ 3 )x+1=0， =(2+ 3 )2-4 0，原方程有两个实数根， 所以 m的值为 - 3 . 答案 ： - 3
9、 13.如图， a b， 1=40， 2=80，则 3= 度 . 解析：如图， a b， 2=80， 4= 2=80 (两直线平行，同位角相等 ) 3= 1+ 4=40 +80 =120 . 答案 ： 120 14.如图，在矩形 ABCD 中， AB=8， AD=6， P， Q分别是 AB和 CD上的任意一点，且 AP=CQ，线段 EF 是 PQ 的垂直平分线，交 BC 于 F，交 PQ 于 E.设 AP=x， BF=y，则 y 与 x 的函数关系式为 . 解析：连接 PF， QF， 线段 EF是 PQ的垂直平分线， PF=QF， 在矩形 ABCD中， AB=8， AD=6， BC=AD=6，
10、 AP=x， BF=y， PB=8-x， CF=6-y， CQ=AP=x， 在 Rt PBF中， PF2=PB2+BF2=(8-x)2+y2，在 Rt CQF中， QF2=CF2+CQ2=(6-y)2+x2， (8-x)2+y2=(6-y)2+x2，即 y=43x-73. 答案： y=43x-73. 15.从 -3、 1、 -2这三个数中任取两个不同的数，积为正数的概率是 . 解析：根据题意画出树状图如下： 一共有 6种情况，积是正数的有 2种情况，所以， P(积为正数 )=26 13. 答案： 13. 16.如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D 和点 F 处分别竖立高是 2 米的
11、标杆 CD和 EF，两标杆相隔 52 米，并且建筑物 AB、标杆 CD 和 EF在同一竖直平面内，从标杆 CD后退 2米到点 G处，在 G 处测得建筑物顶端 A和标杆顶端 C在同一条直线上；从标杆 FE后退4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，则建筑物的高是 米 . 解析： AB BH， CD BH， EF BH， AB CD EF， CDG ABG， EFH ABH， CD DGAB DG BD ， E F F HA B F H D F B D ， CD=DG=EF=2m， DF=52m， FH=4m， 222AB BD ， 244 5 2A B
12、B D ， 22+BD=44+52+BD，解得 BD=52m， 222 52AB ，解得 AB=54m. 答案： 54 17.如图， AD 是 ABC 的高， AE 是 ABC 的外接圆 O 的直径，且 AB=4 2 ， AC=5， AD=4，则 O的直径 AE= . 解析 ： 由圆周角定理可知， E= C， ABE= ADC=90， E= C， ABE ACD. AB： AD=AE： AC， AB=4 2 ， AC=5， AD=4， 4 2 ： 4=AE： 5， AE=5 2 . 答案： 5 2 18.如图， l m，矩形 ABCD的顶点 B在直线 m上，则 = 度 . 解析 ： 延长 DC
13、交直线 m于 E. l m， CEB=65 . 在 Rt BCE中， BCE=90， CEB=65， =90 - CEB=90 -65 =25 . 答案： 25 三、解答题 19.先化简，再求值： ( 2111xx) (x2-1)，其中 x= 3 13. 解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x的值代入进行计算即可 . 答案：原式 = 2 1 111xx (x2-1)=2x+2+x-1=3x+1， 当 x= 3 13时，原式 = 3 . 20.某班组织班团活动，班委会准备用 15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本 2元 /本，中性笔 1元 /支，且每种奖品至少买
14、1件 . (1)若设购买笔记本 x 本，中性笔 y支，写出 y与 x之间的关系式； (2)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果； (3)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率 . 解析： (1)首先由题意可得： 2x+y=15，继而求得 y与 x之间的关系式； (2)根据每种奖品至少买 1件，即可求得所有可能的结果； (3)由买到的中性笔与笔记本数量相等的只有 1 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (1)根据题意得： 2x+y=15， y=15-2x； (2)购买方案： x=1， y=13； x=2， y=11， x=3， y=9； x=4，
15、y=7； x=5， y=5； x=6， y=3， x=7， y=1； 共有 7种购买方案； (3)买到的中性笔与笔记本数量相等的只有 1种情况， 买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为： 17. 21.如图，在 Rt ABC 中， ACB=90，以 AC为直径的 O与 AB边交于点 D，过点 D作 O的切线，交 BC于点 E. (1)求证： EB=EC； (2)若以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形，试判断 ABC的形状，并说明理由 . 解析： (1)连接 OD，由 BC是 O的切线得出 BCA=90，由 DE是 O的切线，得出 ED=EC， ODE=90，故可得出 EDB= EB
16、D，由此可得出结论 . (2)当以点 O、 D、 E、 C为顶点的四边形是正方形时，则 DEB是等腰直角三角形，据此即可判断 . 答案 (1)连接 OD， AC是直径， ACB=90， BC 是 O的切线， BCA=90 . 又 DE 是 O的切线， ED=EC， ODE=90， ODA+ EDB=90， OA=OD， OAD= ODA， 又 OAD+ DBE=90， EDB= EBD， ED=EB， EB=EC. (2)当以点 O、 D、 E、 C 为顶点的四边形是正方形时，则 DEB=90， 又 ED=EB， DEB是等腰直角三角形，则 B=45， ABC是等腰直角三角形 . 22.某数学
17、兴趣小组在全校范围内随机抽取了 50 名同学进行“舌尖上的长沙 -我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图： 请根据所给信息解答以下问题： (1)请补全条形统计图； (2)若全校有 2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？ (3)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号 A、 B、C、 D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“ A”的概率 . 解析： (1)总人数以及条形统计图求出喜欢“唆螺”的人数，补全条形统计图即可； (2)求出喜欢“臭豆
18、腐”的百分比，乘以 2000即可得到结果； (3)列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“ A”的情况数，即可求出所求的概率 . 答案： (1)根据题意得：喜欢“唆螺”人数为： 50-(14+21+5)=10(人 )， 补全统计图，如图所示： (2)根据题意得： 2000 1450 100%=560(人 )， 则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有 560人； (3)列表如下： 所有等可能的情况有 16种，其中恰好两次都摸到“ A”的情况有 1种， 则 P=116. 23.如图，在正方形 ABCD中， E为 BC 边上的点 (不与 B， C重合 )， F为 CD 边上的点 (不与 C
19、，D重合 )，且 AE=AF， AB=4，设 AEF的面积为 y， EC 的长为 x，求 y关于 x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围 . 解析：首先求出 Rt ABF Rt ADE，进而得出 AEF的面积为： y=16-S ABF-S ADE-S EFC即可 . 答案：在正方形 ABCD中， AB=AD， AE=AF，在 Rt ABF和 Rt ADE中 AE AFAB AD， Rt ABF Rt ADE(HL)， BF=DE， EC的长为 x， FC=x， BF=4-x， DE=4-x， AEF 的面积为： y=16-S ABF-S ADE-S EFC=16-12 4(4-x)-12 4(4-x)-12x2=-12x2+4x(0 x 4).
