1、2016年河北省衡水中学高考一模试卷数学文 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=x|x-2 0， B=x|x a，若 A B=A，则实数 a的取值范围是 ( ) A.(-， -2 B.-2， + ) C.(-， 2 D.2， + ) 解析：集合 A=x|x-2 0=x|x 2， B=x|x a， A B=A， a 2. 故选： D 2.如图，在复平面内，复数 z1， z2对应的向量分别是 OA ， OB ，则 |z1+z2|=( ) A.2 B.3 C.2 2 D.3 3 解析：由图可知： O
2、A =(-2， -1)， OB =(0， 1). z1=-2-i， z2=i. z1+z2=-2-i+i=-2. |z1+z2|=2. 故选： A 3.已知平面直角坐标系内的两个向量 a =(1， 2)， b =(m， 3m-2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 a bc (，为实数 )，则 m的取值范围是 ( ) A.(-， 2) B.(2， + ) C.(-， + ) D.(-， 2) (2， + ) 解析：根据题意，向量 a 、 b 是不共线的向量 ， a =(1， 2)， b=(m， 3m-2)， 由向量 a 、 b 不共线 3212mm， 解之得 m 2， 所以实数 m的
3、取值范围是 m|m R且 m 2. 故选 D 4. 如图给出的是计算 11624 2011 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ( ) A.i 8 B.i 9 C.i 10 D.i 11 解析：经过第一次循环得到 S=12， i=2，此时的 i 应该不满足判断框中的条件 经过第二次循环得到 S=12+14， i=3，此时的 i应该不满足判断框中的条件 经过第三次循环得到 S=12+14+16， i=4，此时的 i 应该不满足判断框中的条件 经过第十次循环得到 S=12+14+16+ +120， i=11，此时的 i应该满足判断框中的条件，执行输出 ， 故判断框中的条件是 i 10.
4、 故选 C 5.将函数 f(x)= 3 sinx-cosx 的图象向左平移 m 个单位 (m 0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则 m的最小值是 ( ) A.23B.3C.8D.56解析： y= 3 sinx-cosx=2sin(x-6)然后向左平移 m(m 0)个单位后得到 y=2sin(x+m-6)的图象为偶函数，关于 y轴对称 ， 2sin(x+m-6)=2sin(-x+m-6)， sinxcos(m-6)+cosxsin(m-6)=-sinxcos(m-6)+cosxsin(m-6) sinxcos(m-6)=0， cos(m-6)=0， m-6=2k +2， m=23. m的最小值
5、为 23. 故选 A. 6.已知等比数列 an中， a3=2， a4a6=16，则10 1268aaaa 的值为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析： 设等比数列 an的公比是 q， 由 a3=2， a4a6=16得， a1q2=2， a1q3a1q5=16，则 a1=1， q2=2， 9 1 11 0 1 2 11576 8 1 1aa a q a qa a a q a q =4. 故选： B. 7.某社团有男生 30名，女生 20名，从中抽取一个容量为 5的样本，恰好抽到 2名男生和 3名女生，则 该抽样一定不是系统抽样； 该抽样可能是随机抽样； 该抽样不可能是分层抽样； 男生
6、被抽到的概率大于女生被抽到的概率； 其中说法正确的为 ( ) A. B. C. D. 解析：总体容量为 50，样本容量为 5，第一步对 50 个个体进行编号，如男生 1 30，女生 31 50；第二步确定分段间隔 k=505=10；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l 10)；第四步将编号为 l+10k(0 k 9)依次抽取，即可获得整个样本 .故该抽样可以是系统抽样 .因此不正确 . 因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故正确； 若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样 的比例相同， 但现在某社团有男生
7、 30名，女生 20名，抽取 2男三女，抽的比例不同，故正确； 该抽样男生被抽到的概率 = 2130 15；女生被抽到的概率 =320，故前者小于后者 .因此不正确 . 故选 B. 8.已知点 Q在椭圆 C： 22116 10xy上，点 P满足 112O P O F O Q(其中 O为坐标原点， F1为椭圆 C的左焦点 )，则点 P的轨迹为 ( ) A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 解析：因为点 P满足 112O P O F O Q， 所以 P是线段 QF1的中点， 设 P(a， b)，由于 F1为椭圆 C： 22116 10xy的左焦点，则 F1(- 6 ， 0)， 故 Q(2a+
8、6 ， 2b)，由点 Q在椭圆 C： 22116 10xy上， 则点 P的轨迹方程为 2 226 2 11 6 1 0a b ，故点 P的轨迹为椭圆 . 故选： D 9.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A.27-32B.18-32C.27-3 D.18-3 解析：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱， 由三视图中的数据可得：四棱柱的高为 3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为 2、 4，高为 2， 圆柱的高为 3，圆柱底面的半径都是 1， 几何体的体积 V=12 (2+4) 2 3-12 12 3=18-32. 故选： B 10.三棱锥 P
9、-ABC中， PA平面 ABC， AC BC， AC=BC=1， PA= 3 ，则该三棱锥外接球的表面积为 ( ) A.5 B. 2 C.20 D.4 解析： PA平面 ABC， AC BC， BC平面 PAC， PB是三棱锥 P-ABC的外接球直径； Rt PBA中， AB= 2 ， PA= 3 ， PB= 5 ，可得外接球半径 R=12PB= 52， 外接球的表面积 S=4 R2=5 . 故选 A 11.若函数 y1=sin2x1- 32(x1 0， )，函数 y2=x2+3，则 (x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为 ( ) A. 212 B. 2182()7 C. 2( 812)
10、D. 23 3 172( 5) 解析：设 z=(x1-x2)2+(y1-y2)2，则 z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方， 求函数 y=sin2x- 32(x 0， )的导数， f (x)=2cos2x，直线 y=x+3的斜率 k=1， 由 f (x)=2cos2x=1，即 cos2x=12， 即 2x=3，解得 x=6，此时 y=six2x- 32= 32- 32=0， 即函数在 (6， 0)处的切线和直线 y=x+3平行，则最短距离 d=|623 ， (x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值 d2=(|623 )2= 2182()7 . 故选： B 12. 已知 x， y R，
11、且 4300xyxyy ，则存在 R，使得 (x-4)cos +ysin + 2 =0 的概率为( ) A.4B.8C.2-4D.1-8解析：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形 OAB， 若存在 R，使得 (x-4)cos +ysin + 2 =0成立， 则 2 22 22 244 c o s s i n44 2xyxyxyxy ， 令 sin = 2 244xxy，则 cos = 2 24yxy， 则方程等价为 2 24xysin( + )=- 2 ， 即 sin( + )= 2 224xy ， 存在 R，使得 (x-4)cos +ysin + 2 =0成立， | 2 224
12、xy | 1，即 2 24xy 2， 即 (x-4)2+y2 2， 则对应的区域在 (4， 0)为圆心，半径为 2的外部， 由 430xyxy，解得 31xy，即 A(3， 1)， A也在圆上，则三角形 OAC的面积 S=12 4 1=2， 直线 x+y=4的倾斜角为 34， 则 ACB=4，即扇形的面积为 S=12 ( 2 )24=4， 则 P(x， y)构成的区域面积为 S=2-4， 则对应的概率 P=2 42 =1-8. 故选： D 二、填空题 (每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ) 13.已知 p： |x-1| 2， q： x2-2x+1-a2 0， (a 0)，若 p是
13、q 的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 解析： p： |x-1| 2，得 -1 x 3， p： x 3或 x -1，记 A=x|x 3或 x -1， q： x2-2x+1-a2 0， x-(1-a) x-(1+a) 0， a 0， 1-a 1+a.解得 x 1+a或 x 1-a. 记 B=x|x 1+a或 x 1-a. p是 q的充分不必要条件， A B， 即 01113aaa ，解得 022aaa ，解得 0 a 2. 答案： (0， 2 14. 已知函数 f(x)= 2 31m x m x 的值域是 0， + )，则实数 m 的取值范围是 . 解析：当 m=0时， f(x)= 31
14、x，值域是 0， + )，满足条件； 当 m 0时， f(x)的值域不会是 0， + )，不满足条件； 当 m 0时， f(x)的被开方数是二次函数， 0， 即 (m-3)2-4m 0， m 1或 m 9. 综上， 0 m 1或 m 9， 实数 m的取值范围是： 0， 1 9， + )， 答案： 0， 1 9， + ). 15.若点 P 是以 F1， F2为焦点的双曲线 22xyab=1 上一点，满足 PF1 PF2，且 |PF1|=2|PF2|，则此双曲线的离心率为 . 解析： |PF1|=2|PF2|， |PF1|-|PF2|=2a， |PF1|=4a， |PF2|=2a， PF1 PF2
15、， F1F2=2c PF12+ PF22=F1F22 c2=5a2 e=ca= 5 答案 ： 5 16.已知函数 f(x)=Acos2( x+ )+1(A 0， 0， 02)的最大值为 3， f(x)的图象与 y 轴的交点坐标为 (0， 2)，其相邻两条对称轴间的距离为 2，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2016)= . 解析：已知函数 f(x)=Acos2( x+ )+1(A 0， 0， 02)的最大值为 3， f(x)的图象与 y轴的交点坐标为 (0， 2)， 可得 A=2， f(0)=2cos +1=2， cos =12， =3，即 f(x)=2cos2( x+3)+1. 再根据
16、其相邻两条对称轴间的距离为 =2，可得 =2， f(x)=2cos2(2x+3)+1=cos( x+23 )+2，故函数的周期为 4. f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= 5 3 5 32222=8 ， f(1)+f(2)+f(3)+ +f(2016)=504 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4032， 答案： 4032. 三、解答题 (本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.设数列 an的前 n项和为 Sn，且首项 a1 3， an+1=Sn+3n(n N*). (1)求证： Sn-3n是等比数列； (2)若 an为递增数列，求 a1
17、的取值范围 . 解析： (1)由 an+1=Sn+3n(n N*)，可得数列 Sn-3n是公比为 2，首项为 a1-3的等比数列； (2)n 2时， an=Sn-Sn-1=(a1-3) 2n-2+2 3n-1，利用 an为递增数列，即可求 a1的取值范围 . 答案： (1) an+1=Sn+3n(n N*)， Sn+1=2Sn+3n， Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)， a1 3，数列 Sn-3n是公比为 2，首项为 a1-3的等比数列； (2)由 (1)得 Sn-3n=(a1-3) 2n-1， Sn=(a1-3) 2n-1+3n， n 2时， an=Sn-Sn-1=(a1-3) 2n-2
18、+2 3n-1， an为递增数列， n 2时， (a1-3) 2n-1+2 3n (a1-3) 2n-2+2 3n-1， n 2时， 2n-212 (32)n-2+a1-3 0， a1 -9， a2=a1+3 a1， a1的取值范围是 a1 -9. 18.今年 5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属 25 家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按 60， 70， 70， 80， 80， 90， 90， 100分成 4 组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为 A、 B、 C、 D 四个等级，等级评定标准如下表所示： ( )估计该商业集团各连锁店
19、评估得分的众数和平均数； ( )从评估分数不少于 80分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求至少选一家 A等级的概率 . 解析： ( )根据最高小矩形下底边的中点值为得出众数是多少，根据直方图中各小矩形的面积及底边中点值求出数据的平均数； ( )求出 A、 B等级的频数是多少，利用古典概型求出至少选一家 A等级的概率 . 答案： ( )最高小矩形下底边的中点值为 75， 估计评估得分的众数为 75； 直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为 0.28、 0.16、 0.08， 第二个小矩形的面积为 1-0.28-0.16-0.08=0.48； .x=65 0.28+75 0.48+8
20、5 0.16+95 0.08=18.2+36+13.6+7.6=75.4， 即估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为 75.4； ( ) A等级的频数为 25 0.08=2， B等级的频数为 25 0.16=4， 从 6家连锁店中任选 2家，共有 652=15种选法， 其中选 1家 A等级和 1家 B等级的选法有 2 4=8种， 选 2家 A等级的选法有 1种； P=8 11 355 ， 即至少选一家 A等级的概率是 35. 19.如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 ACC1A1与侧面 CBB1C1都是菱形， ACC1= CC1B1=60，AC=2. (1)求证： AB1 CC1
21、； (2)若 AB1= 6 ，求四棱锥 A-BB1C1C的体积 . 解析： ( )连接 AC1， CB1，取 CC1中点 O，连接 OA， OB1，利用正三角形的性质可得： CC1 OA，CC1 OB1，可得 CC1平面 OAB1，即可证明 . (II)利用勾股定理的逆定理可得： OA OB1.利用线面垂直的判定定理可得： OA平面 BB1C1C.再利用四棱锥的体积计算公式即可得出 . 答案： ( )连接 AC1， CB1， 则 ACC1和 B1CC1皆为正三角形 . 取 CC1中点 O，连接 OA， OB1，则 CC1 OA， CC1 OB1， 又 AO B1O=O， CC1平面 OAB1，
22、 CC1 AB1. ( )由 ( )知， OA=OB1= 3 ，又 AB1= 6 ， OA2+B1O2=AB12， OA OB1. 又 OA CC1， OB1 CC1=O， OA平面 BB1C1C. 11BBCCS=BC BB1sin60 =2 3 ，故1 1 1 113 2A B B C C B B C CV S O A . 20.设抛物线 C1： y2=4x 的准线与 x 轴交于点 F1，焦点为 F2，椭圆 C2以 F1和 F2为焦点，离心率 e=12.设 P是 C1与 C2的一个交点 . (1)求椭圆 C2的方程 . (2)直线 l过 C2的右焦点 F2，交 C1于 A1， A2两点，且
23、 |A1A2|等于 PF1F2的周长，求 l的方程 . 解析： (1)由条件， F1(-1， 0)， F2(1， 0)是椭圆 C2 的两焦点，离心率为 12，由此能求出 C2的方程和其右准线方程 . (2) PF1F2 的周长 |PF1|+|PF2|+|F1F2|=6.设 l 方程为 y=k(x-1)，与 C1 方程联立可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，由此利用弦长公式能求出 l的方程 . 答案： (1)由条件， F1(-1， 0)， F2(1， 0)是椭圆 C2的两焦点， 故半焦距为 1，再由离心率为 12知半长轴长为 2， 从而 C2的方程为 22143xy，其右准线方程为 x=4
24、. (2)由 (1)可知 PF1F2的周长 |PF1|+|PF2|+|F1F2|=6. 又 C1： y2=4x而 F2(1， 0). 若 l垂直于 x轴，由题意知 |A1A2|=4，矛盾，故 l不垂直于 x轴， 可设其方程为 y=k(x-1)，与 C1方程联立可得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0， 从而 |A1A2|= 2 1k |x1-x2|= 2 1k 22 4 2222 4 4 4 1k k kkk ， |A1A2|等于 PF1F2的周长， |A1A2|=6， 解得 k2=2，即 k= 2 ，故 l的方程为 y= 2 (x-1)或 y=- 2 (x-1). 21.已知函数 f(x)
25、=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e为自然对数的底数 )处的切线的斜率为 3. (1)求实数 a的值； (2)若 f(x) kx2对任意 x 0成立，求实数 k的取值范围； (3)当 n m 1(m， n N*)时，证明： nmmmnn. 解析： (1)求出 f(x)的导数，由切线的斜率为 3，解方程，即可得到 a； (2)f(x) kx2对任意 x 0 成立 k 1 lnxx对任意 x 0 成立，令 g(x)=1 lnxx，则问题转化为求 g(x)的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令 k不小于最大值即可； (3)令 h(x)= ln1xxx，求出导数，判断单调性，即得 h(x
26、)是 (1， + )上的增函数，由 n m 1，则 h(n) h(m)，化简整理，即可得证 . 答案： (1) f(x)=ax+xlnx， f(x)=a+lnx+1， 又 f(x)的图象在点 x=e处的切线的斜率为 3， f(e)=3，即 a+lne+1=3， a=1； (2)由 (1)知， f(x)=x+xlnx， f(x) kx2对任意 x 0成立 k 1 lnxx对任意 x 0成立， 令 g(x)=1 lnxx，则问题转化为求 g(x)的最大值， g (x)= 221 1 ln lnxx xxxx ，令 g(x)=0，解得 x=1， 当 0 x 1时， g(x) 0， g(x)在 (0，
27、 1)上是增函数； 当 x 1时， g(x) 0， g(x)在 (1， + )上是减函数 . 故 g(x)在 x=1处取得最大值 g(1)=1， k 1即为所求； (3)令 h(x)= ln1xxx，则 h (x)= 21 ln1xxx， 由 (2)知， x 1+lnx(x 0)， h(x) 0， h(x)是 (1， + )上的增函数， n m 1， h(n) h(m)，即 ln ln11n n m mnm， mnlnn-nlnn mnlnm-mlnm， 即 mnlnn+mlnm mnlnm+nlnn， lnnmn+lnmm lnmmn+lnnn， ln(mnn)m ln(nmm)n， (mn
28、n)m (nmm)n， nmmmnn. 22.如图，已知 O是 ABC 的外接圆， AB=BC， AD是 BC边上的高， AE是 O的直径 . (1)求证： AC BC=AD AE； (2)过点 C作 O的切线交 BA的延长线于点 F，若 AF=4， CF=6，求 AC 的长 . 解析： ( )首先连接 BE，由圆周角定理可得 C= E，又由 AD 是 ABC 的高， AE 是 ABC的外接圆的直径，可得 ADC= ABE=90，则可证得 ADC ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得 AC AB=AD AE； ( )证明 AFC CFB，即可求 AC的长 . 答案： ( )连接 B
29、E， AD是 ABC的高， AE是 ABC的外接圆的直径， ADC= ABE=90， C= E， ADC ABE. AC： AE=AD： AB， AC AB=AD AE， 又 AB=BC， 故 AC BC=AD AE. ( ) FC是 O的切线， FC2=FA FB， 又 AF=4， CF=6，从而解得 BF=9， AB=BF-AF=5， ACF= CBF， CFB= AFC， AFC CFB， AF ACCF CB， AC=103. 23.在极坐标系中， Ox 为极点，点 A(2，2)， B(2 2 ，4). ( )求经过 O， A， B的圆 C的极坐标方程； ( )以极点为坐标原点，极轴为
30、 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 D 的参数方程为11x acosY asin ，(是参数， a为半径 )，若圆 C与圆 D相切，求半径 a的值 . 解析： (I)以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求出过三点 O， A，B的圆的普通方程，再化为极坐标方程； (II)把圆 D 的参数方程化为普通方程，求出圆心距 |CD|，当圆 C 与圆 D 相切 (内切或外切 )时，求出 a的值 . 答案： (I)以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系， 点 O(0， 0)， A(0， 2)， B(2， 2)； 过 O， A， B三点的圆 C 的普通方程是 (x-
31、1)2+(y-1)2=2，即 x2-2x+y2-2y=0； 化为极坐标方程是 2=2 cos +2 sin，即 =2 2 cos( -4)； (II)圆 D的参数方程 11x acosY asin ，化为普通方程是 (x+1)2+(y+1)2=a2； 圆 C与圆 D的圆心距 |CD|= 221 1 1 1 =2 2 ， 当圆 C与圆 D相切时， 2 +a=2 2 ，或 a- 2 =2 2 ， a= 2 ，或 a=3 2 . 24.已知函数 f(x)=|x|， g(x)=-|x-4|+m ( )解关于 x的不等式 gf(x)+2-m 0； ( )若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方
32、，求实数 m的取值范围 . 解析： ( )把函数 f(x)=|x|代入 gf(x)+2-m 0 可得不等式 |x|-4| 2，解此不等式可得解集； ( )函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方，则 f(x) g(x)恒成立，即 m |x-4|+|x|恒成立，只要求 |x-4|+|x|的最小值即可 . 答案： ( )把函数 f(x)=|x|代入 gf(x)+2-m 0并化简得 |x|-4| 2， -2 |x|-4 2， 2 |x| 6， 故不等式的解集为 (-6， -2) (2， 6)； ( )函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方， f(x) g(x)恒成立，即 m |x-4|+|x|恒成立， |x-4|+|x| |(x-4)-x|=4， m的取值范围为 m 4.
